Что такое область определения функции 9 класс
Функция. Область определения и область значений функции
Урок 1. Алгебра 9 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Функция. Область определения и область значений функции»
Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.
В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.
Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.
Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.
В общем виде любую функцию можно записать так:
Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.
Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.
Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.
Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.
Можно записать её в таком виде:
Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.
Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).
Проведём прямую через полученные точки.
Мы изобразили график функции.
Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.
Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.
В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.
Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.
Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.
Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.
Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.
Определение функции.
Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.
х — называется независимой переменной или аргументом.
y – называется зависимой переменной или значением функции.
Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.
Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.
Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.
В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.
В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.
Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.
Разберём пример №1:
Найдите область определения и область значения числовой функции y=x 2
Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.
А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).
Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).
Разберём пример №2:
Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?
Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.
Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).
Область определения функции. Примеры.
Что такое область определения функции? Как её находить? Эти вопросы частенько представляются сложными и непонятными. Хотя, на самом деле, всё чрезвычайно просто. В чём вы сможете убедиться лично, прочитав эту страничку. Поехали?)
В элементарном понятии функции фигурируют две величины. Независимая переменная (аргумент) x и зависимая переменная (функция) y.
Все допустимые (разрешённые) значения аргумента x и есть область определения функции. И всё.
Достаточно разобраться в этой нехитрой фразе, как всё сразу становится на свои места.
Что такое «допустимые значения»? Говоря по-простому, это те значения икса, для которых можно посчитать игрек. В принципе. Например, дана функция:
Разумеется, функция может быть такой замороченной, что и не посчитаешь ничего, да. Это не страшно. Нам ведь не считать надо, а область определения найти). Чуть ниже мы научимся легко и элегантно расправляться с любыми функциями. Даже самыми злыми.)
Слова «можно посчитать в принципе«, «принципиальные запреты» я не зря употребил. Вот вам другой простенький пример. Дана функция:
Область определения любой функции устанавливают:
1. Математика. Это законы и правила, которые всегда должны выполняться. Эти правила не зависят от нашего желания и вида задания. Они работают всегда. Область определения по этим правилам иногда называют «естественной».
2. Люди. Это дополнительные ограничения на область определения функции, которые могут быть (а могут и не быть) в любом конкретном задании и зависят исключительно от составителя задания.
Самым важным является первый пункт. С него и начнём.
Как найти область определения функции?
На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. Т.е. ищем потенциально опасные операции.
На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.
Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет.
Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете). Перечисляю:
До 9-го класса включительно:
1. Деление. Нельзя делить на ноль.
2. Извлечение корня. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел.
В выпускных классах и ВУЗах:
3. Логарифмы. Ограничения в логарифмах: если logab = c, то а>0, a≠1, b>0.
4. Тригонометрия. Ограничения в тригонометрии: значения углов, для которых тангенс и котангенс не существуют, ограничения на выражения под знаком арксинуса, арккосинуса.
Это, практически, весь набор потенциально опасных операций. Можно запомнить, правда?)
Вот и всё, что надо знать, чтобы найти область определения любой функции.
Теперь самое время применить эти знания в деле. Найдём область определения самой первой функции. Не перебором, а вполне научно):
D(f)=(-∞;+∞)
Как видите, в этом примере второй этап вовсе не понадобился. Бывает. Хорошая функция.)
Определяем иксы, которые не приводят к запретному действию, т.е. делению на ноль. Собственно, к делению на ноль приводит лишь одно значение икса: x=0. Следовательно, все остальные значения безопасны. Областью определения функции будут все действительные числа, кроме нуля. В краткой записи:
D(f)=(-∞;0) ∪ (0; +∞)
Это были совсем простые примеры. Для знакомства). Переходим к более солидным заданиям.
Найти область определения функции:
Что, внушает?) Ничего не боимся и работаем по схеме.
Выполняем первый этап: осматриваем функцию, на предмет потенциально опасных операций.
Внимание! Мы ничего не решаем! Не упрощаем, не складываем дроби, не раскладываем на множители, не извлекаем корни, ни-че-го! Мы именно осматриваем функцию. Любые преобразования могут изменить область определения функции и мы получим неверный ответ.
Сразу же выполняем и второй этап: то, что найдём в процессе осмотра, будем записывать, чтобы не забыть.)
Итак, в первом слагаемом видим квадратный корень из выражения с иксом. Это потенциально опасная операция. Под корнем, при каких-то иксах, может оказаться отрицательное число. Обезопасим себя вот такой записью (второй этап):
Уловили? Квадратный корень извлекается только из положительных чисел и нуля. Всё подкоренное выражение должно быть больше, либо равно нулю. Не икс, а всё подкоренное выражение, целиком. Прошу заметить: в этой записи уже нет знака корня! А то так и норовят его написать. Корень нам не нужен, нас интересует только подкоренное выражение. Так, с корнем разобрались, идём дальше.
Второе слагаемое. В нём есть деление на выражение с иксом. Знаменатель (весь знаменатель, целиком!) не может быть равен нулю. Записываем (второй этап):
х-3 ≠ 0
Так, соломки подстелили, идём дальше. В третьем слагаемом опять есть деление. Записываем:
х+1 ≠ 0
Ну, всё, функция кончилась.) Теперь сводим все наши записи в систему неравенств:
Система необходима, так как все наши условия должны выполняться одновременно.
Осталось решить эту систему. В ответе получится как раз область определения этой функции. Ответ будет такой:
Как видим, функция может быть каким угодно монстром. Но в процессе осмотра и соответствующих записей мы получаем системку неравенств, которая вполне решаема.
Так поступаем при нахождении области определения любой функции.
Не знаете, как решать системы!? Ну, это вопрос не к функциям. Имейте в виду: задание как найти область определения функции почти всегда заканчивается решением системы неравенств. Как решать квадратные неравенства можно посмотреть по ссылке. Там, кстати, решено с пояснениями именно наше квадратное неравенство. Чисто случайно. )
Последовательный осмотр и запись системы неравенств обычно особого труда не составляют. Хуже, когда потенциально опасные операции ещё и наслаиваются друг на друга. Здесь требуется пристальное внимание, чтобы чего не упустить. Например:
Найти область определения функции:
На первом этапе замечаем квадратный корень. Сразу пишем условие для всего подкоренного выражения:
Так, квадратный корень обезопасили. Но двигаться дальше ещё рано. Внутри корня есть ещё две потенциально опасные операции! Логарифм и деление. Для логарифма записываем:
Для деления записываем:
Вот теперь первое слагаемое разобрано по косточкам. Можно двигаться дальше. Для тангенса нужно записать:
Вот и всё. Сводим все наши записи в систему:
Повторю алгоритм ещё раз:
1. Работаем с исходной функцией! Ничего не упрощаем и не преобразовываем! Это всё делаем (если надо будет) после нахождения области определения.
2. Внимательно осматриваем функцию на предмет потенциально опасных операций.
3. В процессе осмотра записываем в систему неравенства, которые обеспечивают допустимость опасных операций.
4. Решаем систему неравенств и записываем ответ.
Самые внимательные, наверняка, почувствовали схожесть этого процесса с нахождением области допустимых значений (ОДЗ).
Ну, что тут сказать. Только респект.) Да! Естественная область определения функции (о которой здесь идёт речь) совпадает с ОДЗ выражений, входящих в функцию. Соответственно, и ищутся они по одним и тем же правилам.
А сейчас рассмотрим не совсем естественную область определения.)
Дополнительные ограничения на область определения функции.
Здесь речь пойдёт об ограничениях, которые накладываются заданием. Т.е. в задании присутствуют какие-то дополнительные условия, которые придумал составитель. Или ограничения выплывают из самого способа задания функции.
Например, такое задание:
Найти область определения функции:
на множестве положительных чисел.
Естественную область определения этой функции мы нашли выше. Эта область:
А теперь учитываем дополнительные ограничения. Слова «на множестве положительных чисел» означают, что иксы могут быть только положительные. Вместо этих слов может быть задано условие «где x>0″, или «где х ∈ (0; +∞)». Если наложить это ограничение на ответ, получим новую область определения:
D(f)=(0; 2] ∪ [6; +∞)
Всё предыдущее относилось к области определения аналитически заданных функций. Это самые популярные функции. Но существуют и другие способы задания функции. Они менее привычны и могут поставить в тупик. Во избежание таких фокусов, кратенько пробежимся по D(f) для функций, заданных НЕ аналитически.
В табличном способе областью определения функций будут только те значения икса, которые даны в таблице. Других иксов для такой функции просто не существует. Разумеется, если в задании будут дополнительные ограничения на D(f), их надо будет учесть. Но основным источником информации будет таблица.
Найти область определения функции у=f(x):
При значении х=+6, на графике отмечена закрашенная точка. Это значит, что при х=+6 функция существует. Этот икс необходимо включить в D(f). Вот и всё. Ответ:
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да. ) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств. И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система.
Презентация к уроку «Область определения и область значения функции» 9 класс, алгебра
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Какую зависимость называют функцией? Как читают запись y = f(x)? Что называют аргументом функции? Что такое область определения функции? Что называют значением функции? Как читают запись f(2) = 6 и что она означает? Что называют областью значений функции?
g(2) = g(- 2) = g(x) = 0 при x = g(x) = 1 при х = или х = D(g) = E(g) =
y x k> 0 y x k 0 х > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x k> 0 y x k 0 у > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x k> 0 y x k 0 х > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x k> 0 y x k 0 у > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x k> 0 y x k 0 х > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x k> 0 y x k 0 y > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x а> 0 y x а 0 х > 0 Iч. IIIч. IIч. IVч.
y x D(у) = [0; + ∞); х Є [0; + ∞) + ∞ О х ≥ 0 Iч.
y x Е(у) = [0; + ∞); у(х) Є [0; + ∞) + ∞ О у ≥ 0 Iч.
y x Е(у) = [0; + ∞); у(х) Є [0; + ∞) + ∞ О Iч. у ≥ 0 IIч.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-023118
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
В Хабаровском крае введут уроки по вакцинации в некоторых школах и колледжах
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.