Что такое обратные равенства

Числовые равенства, свойства числовых равенств

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

Источник

Урок математики «Обратные действия» 3 класс

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выбранный для просмотра документ обратные действия.doc

Тема урока: «Обратные действия»

Учитель Галахова Н.В.

1) Учащиеся должны знать, какие действия являются обратными и почему;

-уметь составлять равенства с обратными действиями;

-уметь составлять обратные задачи;

-знать названия компонентов математических действий

— уметь определять тему урока, формулировать цели и задачи.

2) Развивать навыки счета, логическое мышление, умения обобщать, анализировать, группировать.

3) Воспитывать аккуратность, уверенность, любознательность, чувство бережного отношения к природе.

Оборудование : учебник, записи примеров на доске, схемы, таблички для использования на уроке приема «Что знаем? Что хотим знать? Что узнали?», таблички с ответами к устному счету, гербарий растений, карточки-задания для групповой работы.

Продолжаем путешествие по стране Математики. Сначала проведем устный счет.

-Прочитайте выражения с названиями компонентов. Найдите их значения.

-Как вы его понимаете?

-Где в жизни можно встретить это слово?

— Дорога в школу одного ученика изображена на этом рисунке:

Дом Школа

-Сколько вариантов обратного пути можно найти? (4)

-Это слово будет ключевым на протяжении всего урока.

3. Определение темы урока.

-На какие две группы их можно разделить? (1ступени, 2 ступени).

-Действия 1 ступени подчеркнем одной чертой, а 2 –двумя.

Мы не случайно это вспомнили.

Появилось второе ключевое слово: действия. Итак, тема урока: Обратные действия.

Сложение, вычитание, умножение- математические действия.

Какое отношение имеет к названиям этих действий слово ОБРАТНЫЕ?

Какие математические действия являются обратными?

Работа над новым материалом.

-Для того, чтобы ответить на этот вопрос, проведем маленькое исследование по заданию в учебнике стр. 111 №273.

-Найдите значения выражений.

-Сравните равенства каждой строки.

-Какая связь между ними?

-Чем похожа связь равенств этих строк?

-Какой можно сделать вывод, сравнивая равенства первой строки?

(Из значения суммы вычитаем одно из слагаемых, получаем второе)

-Вычитание называют действием обратным сложению. Как вы думаете, почему?

(Позволяет по значению суммы и одному слагаемому найти второе слагаемое)

Запишем, что мы узнали о действиях 1 ступени.

-Можно ли деление считать действием обратным умножению? Почему?

Какой вывод вы бы сделали?

Запишем, что узнали о действиях первой и второй ступени и их взаимосвязи в таблицу.

Сложение, вычитание, умножение- математические действия.

Какое отношение имеет к названиям этих действий слово ОБРАТНЫЕ?

Какие математические действия являются обратными?

5. Закрепление изученного.

Работа по учебнику.

1.Найдите значения выражений. №273 (6) стр. 112.

К каждому данному равенству запишите все возможные равенства

А) с комментированием.

Б) самостоятельно 47+37 9*3

Г0 вывод: Какие действия называются обратными?

2.Решение задачи (текст на доске)

(Деревья приносят пользу.)

Одно дерево за год выделяет столько кислорода, сколько нужно одному человеку. Многие деревья, их цветы, плоды используют в лекарственных целях. Например, отвар липового цвета полезен при простуде.

Прочитайте текс. Можно ли его считать задачей?

Для школьного парка привезли 27 саженцев. Лип-14 деревьев, берез-7 деревьев, а остальные сосны. Сколько всего привезли саженцев?

-Как нужно изменить текст, чтобы получилась задача?

-Какие действия используются для решения задачи? (сложение и вычитание)

-Что мы здесь находим? (одно из слагаемых действием вычитания)

-Составьте обратную задачу.

Для школьного парка привезли саженцы. Лип-14 деревьев, берез-7 деревьев, а сосен-6. Сколько всего привезли саженцев?

-Что будем находить? (сумму)

-Как называются задачи по отношению друг к другу, которые мы решали?(обратные)

-Что можно сказать о действиях, с помощью которых решали задачи. Сложение и вычитание обратные действия)

– На какие группы можно разделить математические действия? Назовите все возможные способы. (1 и 2 ступени)

-Как их еще называют по отношению друг к другу?

-При выполнении каких математических заданий мы можем использовать полученные знания?

-Соедините стрелочкой обратные математические действия.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДA-030669

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Псковских школьников отправили на дистанционку до 10 декабря

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Наоборот, всякое логическое равенство есть уравнение, коль скоро одна его часть не может быть тождественно сведена на другую без подобия каких-либо других равенств. Например, взятое изолированно, равенство a=b+c есть уравнение, и притом уравнение, решенное относительно a. Но его же можно решать относительно b и c и отрицаний a1,b1, c1, а также относительно каких угодно сложных классов, например, относительно ac1, относительно a1+b и пр. Вообще решение равенства есть новое равенство, служащее следствием первоначального. Например, умножая равенство a=b+c на c1 и потом складывая его же с b1, мы получим следующие два его следствия, т. е. решения:

Первое из этих последних равенств есть решение исходного равенства относительно ac1, второе же относительно a+b1.

Решение равенства будет полное или частное, смотря по тому, вполне или отчасти первое исчерпывает второе. Выражаясь точнее, если не только решение представляется следствием первоначального равенства, но, и обратно, первоначальное равенство есть следствие решения, то решение будет полное. Если же второе из этих условий не удовлетворяется, то решение есть частное. Равенства, служащие следствиями друг друга, мы будем называть тождественными между собою. Например, два равенства

вполне тождественны между собою, потому что умножение первого на b доставляет нам второе равенство, а сложение второго с a доставляет первое равенство.

Легко показать, что отрицание всякого равенства A=B представляет новое равенство A1=B1, вполне тождественное с первоначальным. В самом деле, если A1 есть отрицание A и B1 есть отрицание B, то повторяются две пары условий:

Но, по условию, A=B, и след. первая пара принимает вид:

Т. е. прямо показывает, что A1 есть отрицание B, или A1=B1. Таким образом, равенство A=B приводит нас, как к следствию, к равенству A1=B1. Обратно, второе из этих равенств, приводит нас к первому. В самом деле, если A1=B1, то первая из написанных выше двух пар условий доставляет нам:

т. е. прямо показывает, что A есть отрицание B, или A=B. Таким образом, два равенства A=B и A1=B1 взаимно друг друга обусловливают (служат следствиями одно другого), т. е. вполне тождественны между собою.

Но если отрицание отдельного равенства A=B всегда приводит к тождественному с ними равенству A1=B1, то, наоборот, вообще нельзя того сказать о сложении обеих частей равенства с каким-либо классом и об умножении обеих его частей на один и тот же класс. Получаемые при этом новые равенства суть только верные равенства, но вообще представляют не полные, а только частные решения (следствия) первоначального равенства. Например, равенства

получаемые из равенства

через умножение его на a и на a1, суть только частные его следствия. Это видно из того, что сложение первых двух равенств доставляет нам третье, а след. ни одно из первых двух не в состоянии, без пособия другого, привести нас к третьему. Здесь мы имеем случай, когда пара равенств a=am, a1=a1n тождественна с одним равенством 1=am+a1n. Приведенный пример относится к умножению равенства (1=am+a1n) на отдельные классы (m и n). А вот пример на сложение. Сложение обеих частей равенства 1=am+a1n сначала с классом am1, а потом с классом a1n1 доставляет нам два равенства: 1=a+a1n и 1=am+a1, перемножение которых, обратно, приводит нас к исходному равенству. Таким образом, каждое из равенств 1=a+a1n и 1=am+a1 есть только частное следствие исходного равенства; совокупность же их вполне тождественна с этим равенством.

Надо заметить, что бывают случаи, когда сложение и умножение, примененные к отдельному равенству, не изменяют (т. е. не уменьшают) его логического значения, а приводят к равенству, тождественному с первоначальным. Например, равенство a=as, происходящее из равенства 1=a1+s через умножение этого последнего на a, вполне с ним тождественно, потому что, обратно, сложение обеих частей равенства a=as с классом a1 доставляет нам: 1=a1+as=a1(1+s)+as=a1+a1s+as= =a1+s(a+a1)=a1+s, т. е. первое равенство. Это пример на умножение. А вот пример на сложение. Возьмем равенство 0=a1q и сложим обе его части с a. Получим: a=a+a1q=a(1+q)+ +a1q=a+q(a+a1)=a+q. Наоборот, умножая это последнее равенство на a1, получим: 0=a1q, т. е. исходное равенство. И так, сложение обеих частей равенства 0=a1q с классом a изменяет только форму этого равенства, не изменяя его содержания.

Общее заключение относительно операций над отдельным равенством будет таково. Отрицание всякого равенства доставляет новое равенство, не только верное, но и тождественное с первоначальным; сложение же обеих частей равенства с одним и тем же классом, или умножение обеих его частей на один и тот же класс, вообще приводят нас только к верному равенству ( поскольку верно исходное равенство) хотя в частности могут также получаться равенства, тождественные с исходными.

Переходим к операциям над системами равенств (т. е. совместными или совокупными равенствами). К соединению двух и более равенств в одно новое равенство пригодны только две логические операции: сложение и умножение отдельных частей равенств ( причем предварительно каждое отдельное равенство может быть в случае надобности заменено его отрицанием). Это потому, что даже при операциях над отдельными классами отрицание выполняется без посредства каких-либо других классов; например, отрицание суммы a+b есть произведение a1b1, т. е. не требует посредства посторонних классов c,d и пр.

Относительно сложения и перемножения[6] нескольких равенств имеет место следующая истина: как сложение, так и перемножение равенств доставляют нам новые равенства, на столько же верные, на сколько верны исходные равенства; т. е. это суть совершенно верные заключения из исходных равенств. Эта истина вполне понятна сама собою, и не требует доказательства. – К сказанному мы прибавим, что вообще теория логических равенств неизмеримо проще теории равенств алгебраических, так как математическая логика доказывает (см. доказательство в нашем введении), что всякая система логических равенств тождественно замещается одним равенством и притом в весьма многих формах.

Вот мы имеем все данные, чтобы сделать общее заключение о методе математической логики. Так как (в логике, как и в алгебре) операции над равенствами представляют только употребление (с известными целями и с соблюдением известных правил) операций над отдельными классами ( а в алгебре количествами), то и можем сказать вообще, что метод математической логики, состоящий в простом употреблении в каком бы то ни было порядке, трех элементарных операций: сложения, умножения и отрицания классов, следует рассматривать: 1) столь же совершенным, как и метод алгебры, и 2) существенно отличным в самых разных основаниях от этого последнего.

А теперь обратимся к ещё одному существенно-важному вопросу, а именно: что нового вносит математическая логика в логику умозрительную? Прежде всего, конечно, она вносит в нее залог возможного успеха – новый метод, неизмеримо более совершенный, чем простое умозрение. Превосходство первого метода перед вторым и важность для каждой науки иметь, возможно-совершенный метод, суть такие общеизвестные истины, останавливаться на которых даже как-то неловко. А во 2-х, математич. логика вносит в умозрит. логику целый ряд новых истин. Укажем некоторые из этих истин.

1) Система трех операций, вполне достаточная для построения полной теории качественных умозаключений, показывает нам, что мышление над качественными формами, основанное на этих трех операциях, не обнимает собою даже алгебраического мышления, не говоря уже о математическом мышлении вообще (имеющем такие сложные операции, как, напр., интегрирование и дифференцирование, связь которых с четырьмя основными операциями алгебры столь неуловима и чисто отвлечена, что смело может быть рассматриваема как бы вовсе несуществующею). А потому, если действительно все процессы логического мышления основаны на началах теории качественных умозаключений, то необходимо будет признать логическое мышление не только не общим, но, наоборот крайне специальным и притом вполне элементарным, так как оно может быть поставлено в параллель только с теми початками количественного мышления, которые соответствуют элементарной стороне алгебры.

2) В пределах самой теории качественных умозаключений, цели, преследуемые умозрительной и математической логикой, далеко не совпадают. По примеру математики, математическая логика полагает, что прямая задача каждой теории должна состоять в построении необходимых формул, т. е. отношений между классами, при чем самые приемы построения формул (т. е. мыслительные процессы) отодвигаются на задний план, потому что эти приемы могут быть весьма разнообразны, и все общее между ними может и должно состоять только в их одинаковой зависимости от основных операций. Наоборот, логика умозрительная утверждает, что главная задача теории умозаключений состоит в изучении процессов мысли, а не в изучении отношений между качественными формами. По нашему мнению, причина указанного различия между обеими логиками заключается в том, что изучение отношений между качеств. формами (в смысле точного указания зависимости окончательных форм от первоначальных) превышает силы умозрения, почему и приходится довольствоваться второстепенной целью – анализом процессов.

3) Хотя, таким образом, изучение мыслительных процессов и не составляет главной задачи логики (в смысле учения о качественных формах), однако некоторые материалы для этой цели получаются сами собою и, так сказать, попутно (т. е. между прочим). А именно, математическая логика может указать на правила трех ее основных операций как на основные законы, действительно управляющие всеми теми процессами мысли, какие только встречаются в теории качественных умозаключений. Что же касается тех истин, которые выставляет умозрительная логика под громким названием основных законов человеческого мышления вообще, (например, законы: тождества, отличия и пр.), то это суть только условия (или пределы) правильного мышления, но отнюдь не законы, потому, что в сколько-нибудь точных науках законами называются истины, заключающие в себе какое-либо определенное указание на самую природу изучаемого материала.

Наконец, 4) математическая логика вносит в умозрительную логику целый ряд впервые ею открытых специальных истин касательно тех отношений (т. е. формул) между качественными формами, какие получаются при процессах качественных умозаключений. Можно сказать без преувеличений что, разработанная по методу математической логики, теория качественных умозаключений вполне исчерпана в самых своих основаниях, а может быть даже и во всех своих подробностях. Математическая логика предлагает нам весьма простые и недлинные выкладки, приводящие нас от какой бы то, ни было системы посылок к какому угодно из них заключению, и указывает нам, каким образом формулы, представляющие умозаключения, получаются из формул, изображающих посылки. Мало того, математическая логика оборачивает задачу и показывает нам, как можно построить всевозможные посылки, из которых каждое данное суждение (предложение) выводилось бы в качестве умозаключения.- Далее, математическая логика указывает всевозможные формы, какие только может принять всякая данная посылка с полным сохранением всего объема ее логического значения.- Кроме того, математическая логика учит процессу разложения всякой задачи (состоящей из посылок) на элементарные посылки. Затем, она предлагает рецепт для составления сколь угодно сложных и замысловатых логических задач. Наконец, ее выкладки, каждый отдельный акт которых вполне нагляден и понятнее логически, могут быть рассматриваемы как действительное разоблачение тайны некоторых мыслительных процессов во всей их постепенности и обстоятельности, т. е. означают как бы введение нас в самую лабораторию человеческого ума.

С литературой и главными пунктами истории математической логики читатель может ознакомиться частью из нашего введения, частью же из нашего изложения и критической оценки способов Буля, Шредера и Джевонса (часть I, § 1, 2, 3 и 4).

Обращаясь к нашему сочинению, предлагаемому ныне на суд читателя, мы должны сказать, что: 1) оно заключает в себе первый опыт (не только в нашей, но и в иностранной литературе) построения полной и вполне законченной теории качественных умозаключений и 2) оно представляет собою (за исключением немногих страниц, посвященных изложению приемов других авторов) вполне самостоятельную работу, имеющую тем большее значение, что самые общие формулы и приёмы этой теории полученные впервые только нами, целая же часть этой теории (переход от умозаключений к посылкам) вполне и безраздельно принадлежит нам, как по приемам, так и по самой идее о возможности решения этой задачи.

ВВЕДЕНИЕ.

В виду мало распространенного знакомства с математической логикой, я счел необходимым составить настоящее введение, в котором содержится в кратком виде все существенно необходимое для понимания главного предмета моих сообщений[7].

Пусть a, b, c, … означают классы предметов мысли или речи. Слово «предмет» мы употребляем в самом обширном смысле, относя сюда не только материальные предметы, но и предметы отвлеченные, а также явления, случаи, понятия, суждения и проч. и проч. Единственное ограничение, которому мы подчиняем символы a, b, c…, состоит в том, чтобы в пределах одной и той же задачи они относились к одному и тому же миру предметов речи. Отдельные классы a, b, c… мы будем представлять себе в смысле некоторых объемов, на которые разбивается данный мир речи, объемов, составленных из предметов, характеризуемых известными качествами A, B, C… Число отдельных предметов, входящих в каждый из этих объемов, для нас безразлично, потому что мы будем обращать внимание только на взаимные отношения между этими объемами. Величайший из объёмов, класс мир (предметов речи), мы будем символически изображать знаком единицы, т. е. 1, желая этим символом выразить, что все прочие классы a, b, c, … суть только доли этой великой единицы речи. Изучение отношений между такими дробями речи и составляет собственно предмет математической логики[8].

Начнем с объяснения связи между каждым данным классом a и универсальным классом речи 1. С этою целью заметим, что если мы выделим из единицы объем, характеризуемый качеством A, т. е. класс a, то получим дополнительный объем, составленный из предметов, не имеющих качества A. Этот дополнительный объем мы будем называть классом не-a, или отрицанием a, и изображать символически тою же буквою a, но с присоединением к ней внизу черточки, т. е. знаком a1. Для других классов b1, c1, d1… Действие, необходимое для перехода от каждого данного класса a к дополнительному классу a1, мы будем называть действия отрицания a, или также отрицанием a. (По смыслу речи, всегда легко отличить, что разумеется в каждом данном случае под словом отрицание: действие, или получаемый результат). Как видим, сущность этого действия состоит в том, чтобы вместо класса a взять объем, получаемый из 1 после удаления из нее всех предметов, обладающих качеством A. Выражая эту мысль в точности, Буль изображал отрицание a помощью разности 1-a, и действие, необходимое для перехода от a к a1, называл вычитанием a из 1[9].

Из предыдущего видим, что отрицание и вычитание суть действия, одинаково пригодные для перехода от a к a1, и что от нашего выбора зависит остановиться на том тот другом из них. Если Буль для этой цели предпочитал вычитание, то Джевонс и Шредер, наоборот, остановили свой выбор на отрицании. Со своей стороны, мы примыкаем к последним и полагаем, что главнейшая причина неудовлетворительности логической системы Буля заключается в неудачном выборе действия для перехода от классов к их отрицаниям.

Преимущество отрицания перед вычитанием видно уже из того, что для отрицания логических функций Шредером установлены весьма простые и удобные правила, следуя которым мы действительно оперируем над этими функциями, тогда как вычитание есть действие, которое, при рассуждении над буквенными символами, только обозначается, выражаясь в простой перемене знака у вычитаемого.

Для выражения отношения между каждыми данным классом a и 1 Буль имел равенство: a1=1-a, из которого перенесением a в другую часть он получал: a+a1=1.

Отказываясь от действия вычитания, мы должны остановиться только на втором из этой пары равенств, и, чтобы дать себе отчет в основаниях этого равенства, условимся в следующих обозначениях. Будем называть классы равными между собою, коль скоро объемы их равны, т. е. предметы того и другого класса суть одни и те же. Кроме того, условимся называть сложением классов такую операцию, когда предметы этих классов соединяются в новый класс, содержащий в себе все предметы, входящие в эти классы. Объем такого нового класса равен сумме объемов первоначальных классов. После этого, равенство: a+a1=1, указывающее связь между a и 1, делается для нас вполне понятным и логически необходимым.

Можно построить ещё одно основное равенство логики, направленное к той же цели. Условимся называть умножением классов такую операцию, когда все предметы, общие данным классам, выделяются из них с целью образования нового класса. Объем такого класса вообще менее объема каждого из первоначальных классов. Пользуясь операцией умножения, зависимость между a и 1 можно выразить следующим простым равенством: a=a.1. Эта формула указывает происхождение каждого данного класса a из класса мир. Наоборот, формула a+a1=1 указывает путь для обратного перехода к классу мир от класса a.

Кроме указанных 3-х действий: сложения, умножения и отрицания классов, никаких дальнейших действий мы рассматривать не будем.

Имея, какие угодно классы a, b и их отрицания a1, b1, мы можем составить ряд более объемистых классов (в сравнении с первоначальными): a+b, a+b1, a1+b, a1+b1, а также ряд менее объемистых классов: ab, ab1, a1b, a1b1.

Здесь, например, класс a1+b обнимает все предметы, не имеющие качества A, и, кроме того, все предметы, обладающие качеством B. С другой стороны, класс например ab1 обнимает все предметы, которые, обладая качеством A, не имеют качества B.

Из того понятия о сложении и умножении классов, которое установлено нами выше, вытекает, что

1+a=1; a+ab=a; ab=ba; a. a=a; a. a….a=a;

Чтобы оценить значение этих формул, скажем коротко, что все правила Алгебры для сложения и умножения количеств имеют место и в Логике, но что к ним Логика присоединяет два новых упрощающих правила: 1) правило a+ab=a, в котором для b=1 содержится правило a+a=a, позволяющее обходиться в Логике без употребления коэффициентов, и 2) правило a(a+b)=a, из которого для b=0 получается правило a.a=a, устраняющее необходимость употребления экспонентов(заметим, что класс 0 есть отрицание класса 1, т. е. класс без предметов, без объема, или класс, состоящий из несуществующих и невозможных предметов). Последние два правила выражают следующие два основных закона логики, которые мы предлагаем называть законами поглощения: 1) закон поглощения подклассов классами при сложении и 2) закон обратного поглощения классов подклассами при умножении.

Из понятий сложения и умножения, установленных выше, вытекают также следующие две простые истины: 1) сумма может быть равно 0 только тогда, когда каждое слагаемое порознь=0, и 2) произведение может быть =1 только тогда, когда каждый сомножитель порознь =1.

Легко убедиться, что сложение и умножение в логике суть действия в известном смысле взаимно-обратные. В самом деле, имея сумму a+b, достаточно умножить ее на a, чтобы получить класс a, и на b, чтобы получить класс b. Наоборот, имея произведение ab, достаточно прибавить к нему a, чтобы получить класс a, и b, чтобы получить b.

Для действия отрицания обратное действие состоит в повторении этого действия, потому что, отрицая a1, мы приходим к a.

Что касается алгебраического приведения подобных членов, то ему отвечает в логике упрощение формул на основании установленных выше законов поглощения.

Остается установить правила для отрицания производных классов, т. е. сумм, произведений и других функций начальных классов a, b, c,… Для этой цели можно воспользоваться следующими двумя очевидными отношениями: m+m1=1, mm1=0, устанавливающими зависимость между каким угодно классом m и его отрицанием m1. (2-е из этих отношений выражает только, что классы m и m1 не имеют никаких общих предметов). Пользуясь этими отношениями, легко доказать, что

т. е. отрицание суммы = равно произведению отрицаний слагаемых, отрицание произведения = сумме отрицания сомножителей[10]. И легко обобщить эти правила на случай какого угодно числа слагаемых или сомножителей.

Имея ряд классов a, b, c,… и совершая над ними в каком бы то ни было порядке операции сложения, умножения и отрицания, мы будем получать новые классы, которые вообще будем называть функциями первоначальных классов. Таким образом, например, символ F(a, b, c, d,…) вообще представляет результат известной последовательности логических операций (сложения, умножения и отрицания) над классами a, b, c, d… и их отрицаниями. Имея функцию данных классов a, b, c,…, например φ(a, b, c…), и обращая внимание только на то что она произошла, между прочим, и от класса a, мы можем считать ее функцией a и означать символически например через f(a)[11]. По отношению к подобного рода функциям (т. е. в сущности ко всяким функциям) Буль установил следующее важное предложение:

Это правило гласит, что если в данной функции заменим a через 1 (и a1 через 0), а потом, наоборот, a через 0 (и a1 через 1), то, умножая первый результат на а, а второй на a1, и складывая итоги, всегда получим данную функцию[12]. Такова формула разложения к. у. функции в отношении одного класса a. На этом основании, разлагая какую угодно функцию φ(a, b, c, d,…) последовательно в отношении классов a, b, c,…, получим след. ряд ее разложений:

и т. д. Развертывая в каком-либо из этих разложений, напр. В первом, функции φ(1.b.c.d…) и φ(0 b.c.d…) в отношении класса b, мы получим разложение первоначальной функции φ(a.b.c.d…) по двум классам a и b, именно:

и т. д. Вообще, при разложении относительно p классов, получается 2p членов, каждый из которых состоит из двух множителей: 1) из произведения p данных классов или их отрицаний, т. е. из так называемого у Буля конституанта p-того порядка, и 2) из символа, получаемого из данной функции через замещение тех же p классов одних единицами, других нулями.

Надо заметить, что все эти разложения суть тождества, т. е. если выполнить в их правых частях все действия, и результаты упростить на основании законов поглощения, то получаются выражения, ничем не отличающиеся от левых частей. Следует прибавить, что если функция φ(a, b, c,…) разложена по всем классам, то каждый из символов φ(1.1.1…), φ(0.1.1…) и пр. сводится или на 0, или на 1. Это очевидно само собой.

Шредер доказал, что если функция разложена по конституантам, то ее отрицание получается через замещение в ней коэффициентов при конституантах их отрицаниями[13]. Например, для функции ma+na1 отрицание будет: m1a+n1a1; для функции pab+qab1+ra1b+sa1b1 отрицание будет: p1ab+q1ab1+

Правило это применимо только к полным разложениям. Если же разложение не полное, то все недостающее члены надо прибавить с коэффициентами = 0 и потом уже применять правило Шредера. Например, разложение mab+nab1, приведенное к виду mab+nab1+0a1b+0a1b1, имеет отрицанием: m1ab+n1ab1+a1b+a1b1. А если бы мы не сделали помянутого предварительно преобразования суммы mab+nab1, то, для получения с отрицания, надо было бы следовать общим правилам отрицания сумм и произведений. Следуя им, мы получили бы (mab+nab1)1=[a(mb+nb1)]1=a1+(m1+b1)(n1+b)=

=a1+m1n1+n1b1+bm1, и легко убедиться в тождественности этого результата с полученным выше.

Имея ряд классов a, b, c, d…, всегда можно любой из них тождественно выразить через все или некоторые из прочих. В этом нас убеждаются след. очевидные тождества:

и т. д. На этом основании всякий класс a можно изобразить в виде функции каких угодно других классов b, c, d,… В том же основании сумму a+b можно представить или подвидом.

Наконец, чтобы закончить изложение основных правил логики, укажем на следующее, установленное Будем, очевидное правило сокращенного умножения для известного рода случаев:

Переходим к логическим равенствам[14]. Если два класса состоят из одних и тех же предметов, т. е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Соединяя такие классы знаком =, получаем логическое равенство. Классы могут быть равны между собою или тождественно, или логически. Логическое равенство есть тождество во всех тех случаях, когда одна его часть может быть сведена на другую помощью преобразований, основанных на законах поглощения. Например, равенство: a=ab+ab1 есть простое тождество. Если же одна часть равенства не может быть тождественно сведена на другую помощью законов поглощения, то такое равенство есть так сказать логическое уравнение, т. е. условие для определения известного рода отношений между входящими в него классами. Впрочем, мы воздержимся от слова «уравнение» и будем называть такие равенства не тождественными логическими равенствами или же просто равенствами, в противоположность тождествам.

Равенства (и тождества) можно между собою складывать и перемножать, и будут получаться верные равенства. Это очевидно само собой. Кроме того, отрицание обеих частей равенства всегда представляет новое равенство, не только верное, но и вполне равнозначное или тождественное с первоначальным. Это тоже очевидно.

Решить не тождественное логическое равенство (тождества не могут быть решаемы) значит вывести из него все или некоторые его логические следствия. Решения равенства будет полное или частное, смотря по тому, все или только некоторые его следствия нами найдены. Если найдено полное решение и представлено в виде одного равенства, то понятно, что это равенство будет только новою формою первоначального равенства, т. е. оба такие равенства тождественными между собою по своему логическому значению (т. е. касательно объема содержащихся в них сведении об отношениях между данными классами). Отсюда видим, что вопрос о нахождении новой его формы, т. е. о тождественном замещении его некоторым другим равенством. Чтобы судить о том, тождественны между собою, или нет, данные равенства, мы дадим особый критерий, а именно условимся признавать два равенства тождественными между собою, коль скоро первое есть следствие второго и, обратно, второе есть следствие первого. И вообще, две системы логических равенств мы будем считать между собою тождественными, коль скоро все равенства первой системы могут быть выведены из равенств второй (и обратно) при помощи известных нам логических операций (сложения, умножения, отрицания). Ниже мы найдем следующий ещё более удобный критерий: если логические единицы двух систем (или равенств) тождественны между собою или могут быть сведены одна на другую на основании законов поглощения, то такие системы (или равенства) тождественны между собою. Полезно прибавить, что ни полные, ни частные решения логического равенства вовсе не обладают свойством, будучи в него подставленными, обращать его в тождество.

Равенство может быть решаемо или относительно любого из входящих в него классов a,b,c…a1,b1,c1. или же относительно какой угодно функции и всех или некоторых из этих классов. Решить равенство сполна относя только класса a (или функции u) значит тождественно заменить его новым равенством, в левой части которого мы имели бы только a (или u), а в правой некоторую функцию данных классов a,b,c,d… Другими словами, решать равенство относительно класса a (или функции u) это значит искать определения этого класса (или функции). Когда найдено полное решение, то из него легко будет получить всевозможные частные. Независимо от полного решения, всякое решение мы будем называть частным, коль скоро оно имеет ту же форму a (или u)=f(a,b,s,d…) и может быть выведено из первоначального равенства, но обратный переход от этого равенства к первоначальному считается невозможным. Другими словами, частное решение воспроизводит только часть логического содержания первоначального равенства.

Булю удалось установить, правда, в очень запутанной форме, некоторые истины, упростить которые, Шредер построил следующее простое правило для тождественного превращения логического равенства в новую форму, а именно: всякое логическое равенство A=B тождественно с равенством

где A1 есть отрицание A, а B1 отрицание B[15]. Это правило представляет краеугольный камень всей территории решения логических равенств. Шредеру было известно также, что отрицание последнего равенства, т. е. равенство

Также тождественно с первоначальным равенством A=B. Для краткости и для отличия одной от другой, мы предлагаем называть эти две формы равенства A=B соответственно нулевою и единичною. Однако Шредер не пользуется второю, т. е. единичною формою равенств, и построил свой способ решения равенства на рассматривании исключительно нулевых их форм. Наоборот, в том способе, который я предлагаю от себя в настоящеё статье, я придерживаюсь исключительно единичных форм равенств.

А затем мне удалось сделать дальнейший шаг в рассматриваемом вопросе, шаг, после которого вопрос о тождественных формах всякого равенства можно считать исчерпанным. Именно, я нашел, что всякое равенство A=B, или что то же:

Источник