Что такое общее высказывание в математике

Математические понятия, предложения и доказательства

Юлия Мехонцева
Математические понятия, предложения и доказательства

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

1.,2. Понятий в начальном курсе математики изучается много. Как же их определяют?

Неявные определения: контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации.

Пример – определение уравнения в традиционном курсе математики: равенство, содержащее букву (буквы, значение которой (которых) надо найти.

Остенсивные определения – это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.

Например, таким образом вводятся понятия равенства и неравенства в начальном курсе математики.

Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений). Это объем понятия и характеристическое свойство присуще всем объектам этого класса только им.

Например, понятие треугольник содержит в себе класс всевозможных треугольников, это объем понятия и характеристические свойства, наличие трех сторон, трех вершин, трех углов – содержание понятия.

Например, прямоугольником называется параллелограмм с прямыми углами. Прямоугольник определяемое понятие, параллелограмм ближайший род – определяющее понятие. Прямой угол видовое отличие.

5. Высказывания и высказывательные формы

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) число 12 – четное;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Видим, что предложения, используя в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 =8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.

Определение. Высказыванием в математике называют предложение,относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 – высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное.

Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,, Z. Если высказывание А истинно,то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно,то пишут: А – «л».

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.

Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием,так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно.Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы.

Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5;). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.

4. Предложения, которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения.

Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны».

В логике считают, что из двух данных предложений можно образовать новые предложения, используя для этого союзы «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» или словосочетание «неверно, что». Слова «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также частица «не» называют логическими связками. Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными. Предложения, не являющиеся составными, называют элементарными.

Приведем примеры составных предложений.

1) Число 28 четное и делится на 7.

2) Число х меньше или равно 8.

3) Число 14 не делится на 4.

Эти предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре – простые.

Как определить значение истинности составного высказывания, например, «число 28 делится на 7 и на 9»? Значение истинности высказываний определяется с помощью определенных правил. Но для этого нужно уметь выявлять логическую структуру высказывания.

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2) с помощью каких логических связок оно образовано.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т. е. является конъюнкцией. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Конспект занятия по формированию общего понятия о военных профессиях в старшей группе Задачи. 1. Расширить представление детей о разнообразии профессий. 2. Формировать обобщенное понятие «профессия военных», обогащать активный.

Характеристика понятия «творческие способности детей» (первая часть) По утверждению педагогов-исследователей (Н. А. Ветлугиной, Т. С. Комаровой, В. С. Кузина, Б. М. Неменского, Н. П. Сакулиной, В. А. Флериной и.

Характеристика понятия «творческие способности детей» (вторая часть) 13. Легкость генерирования идей. Чем больше идей порождает человек, тем больше шансов, что среди них будут идеи хорошие. 14. Беглость речи.

Конспект НОД по ФЭМП в старшей группе для детей с ОВЗ «Понятия внутри-снаружи» Автор: учитель-дефектолог, логопед Скрябина Светлана Николаевна МКДОУ №133 г. Кирова Цель: формирование у детей навыков ориентировки в.

Конспект образовательного предложения на тему «В помощь дедушке Фольклору» (средняя группа) Цель: Приобщение детей к истокам русского народного фольклора через сказку. Задачи: • Пополнять и закреплять знания детей об устном народном.

Конспект урока русского языка «Предложения с прямой речью» (4 класс) РУССКИЙ ЯЗЫК ПРЕДЛОЖЕНИЯ С ПРЯМОЙ РЕЧЬЮ Тема: Знаки препинания в предложении с прямой речью, когда прямая речь стоит перед словами автора.

Консультация для родителей «Формирование структуры предложения у детей пяти лет» Цель: Знакомство родителей с формированием структуры предложения у детей пяти лет. Задачи: 1. Познакомить родителей с формированием структуры.

Логико-математические понятия в повседневной жизни В группе Какой карандаш длиннее, короче? Как проверить? Что можно сказать о длине трех ленточек? Как проверить? Какая пирамидка выше, ниже?.

Словесные упражнения, направленные на формирование структуры предложения Согласование подлежащего с прилагательным (определением) Воспитатель: Правильно ли я говорю: Малыш веселый? С какими словами можно еще связать.

Источник

Высказывания и предикаты. Кванторы

п.1. Высказывания

Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.

Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.

п.2. Предикаты

Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P(«слон» )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P(«стол» )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0

Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm>\)

Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.

п.3. Кванторы

«для любого…», «для всех…», «любой…»

Единственности и существования

«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»

Существуют натуральные числа, которые делятся на 13

Существуют треугольники, у которых все углы равны

Например, равносторонний треугольник со стороной 1

Любое натуральное число делится на 5

Например x = 6 на 5 не делится

У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны

Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°

Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности

Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.

п.4. Примеры

Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.

Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm>\), оно выполняется.
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm=2\sqrt<2>>\)
Ответ: квантор существования ∃.

Источник

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Определение высказываний

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

%%A_1%%: «Лондон — столица Австрии».
%%A_2%%: «Число 8 больше числа 3».
%%A_3%%: «Число 8 больше числа 13».
%%A_4%%: «Луна — спутник планеты Земля».

Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

%%B_1%%: «Какой сегодня день недели?».
%%B_2%%: «%%2 + 3%%».
%%B_3%%: «Число %%x%% больше 3».

Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.

Рассмотрим конъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \land A_2%% и читается как «Генуя — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_1%% ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A \land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A \land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны. Читается как %%A%% или %%B%%.

Рассмотрим дизъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \lor A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии или число 8 больше числа 3». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_2%% истинно. Другими словами, дизъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истино.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

Импликация

Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется

новое высказывание, обозначаемое %%A \rightarrow B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% истинно, %%B%% ложно. Читается как: «Если %%A%%, то %%B%%»; «%%A%% влечет %%B%%»; «из %%A%% следует %%B%%»; «%%A%% достаточно для %%B%%»; %%B%% необходимо для %%A%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_2%% и %%A_1%%, которая записывается как %%A_2 \rightarrow A_1%% и читается как «Если число %%8%% больше числа %%3%%, то Москва — столица Австрии». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \leftrightarrow B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% и %%B%% одновременно истинны или ложны. Читается как: «%%A%% равносильно %%B%%»; «%%A%% необходимо и достаточно для %%B%%»; «%%A%% тогда и только тогда, когда %%B%%».

Рассмотрим импликацию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \leftrightarrow A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число %%8%% больше числа %%3%%». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

Покажем это, используя таблицы истинности.

Как видно из таблицы истинности столбцы %%A \leftrightarrow B%% и %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания %%A%%

Рассмотрим отрицание высказывния %%A_1%%, которое записывается как %%\overline%% и читается как «неверно, что Москва — столица Австрии». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_1%% ложно.

Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.

Источник

Основы математической логики

Второй урок практического курса высшей алгебры будет посвящён основам математической логики, которая представляет собой не только отдельный раздел математики, но и имеет огромное значение при изучении всей вышки (да и не только вышки). «Существует и единственно», «из этого следует это», «необходимое условие», «достаточность», «тогда и только тогда» – знакомые обороты, не правда ли? И это не просто «дежурные» штампы, которыми можно пренебречь – это устойчивые выражения, обладающие строгим смыслом, с которым мы и познакомимся в данной статье. Кроме того, материал будет полезен начинающим изучать непосредственно математическую логику – я рассмотрю её базу: высказывания и действия над ними, формулы, основные законы + некоторые практические задачи. И, конечно же, вы узнаете очень важное, а местами и весьма забавное отличие матлогики от нашей «обычной» логики. Начинаем закладывать фундамент:

Высказывания и высказывательные формы

Высказывание – это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают строчными латинскими буквами , а их истинность/ложность единицей и нулём соответственно:

– данная запись (не путать с модулем!) говорит нам о том, что высказывание истинно;
– а эта запись – о том, что высказывание ложно.

– черепахи не летают;
– Луна квадратная;
– дважды два будет два;
– пять больше, чем три.

Совершенно понятно, что высказывания и истинны: ,
а высказывания и – ложны:

Разумеется, далеко не все предложения являются высказываниями. К таковым, в частности относятся вопросительные и побудительные предложения:

Вы не подскажете, как пройти в библиотеку?
Пойдём в баню!

Очевидно, что здесь не идёт речи об истине или лжи. Как не идёт о них речи и в случае неопределённости либо неполной информации:

Завтра Петя сдаст экзамен – даже если он всё выучил, то не факт, что сдаст; и наоборот – если ничего не знает, то может и сдаст «на шару».

…да ладно, Петь, не переживай – сдашь =)

– а тут мы не знаем, чему равно «эн», поэтому это тоже не высказывание.

Однако последнее предложение можно доопределить до высказывания, а точнее, до высказывательной формы, указав дополнительную информацию об «эн». Как правило, высказывательные формы записываются с так называемыми кванторами. Их два:

– квантор общности (перевёрнутая буква A – от англ. All) понимается и читается как «для всех», «для любого (ой) (ых) »;

– квантор существования (развёрнутая буква E – от англ. Exist) понимается и читается как «существует».

– для любого натурального числа выполнено неравенство . Данная высказывательная форма ложна, поскольку ей, очевидно, не соответствуют натуральные числа .

– а вот это высказывательная форма уже истинна, как истинно и, например, такое утверждение:
…ну а что, разве существует натуральное число, которое меньше, чем –10?

Предостерегаю вас от опрометчивого использования данного квантора, ибо «для любого» может на поверку оказаться вовсе и «не для любого».

Внимание! Если вам что-то не понятно в обозначениях, пожалуйста, вернитесь к уроку о множествах.

– существует натуральное число, которое больше двух. Истина …и, главное, не поспоришь =)

– Ложь

Нередко кванторы «работают в одной упряжке»:

– для любого вектора существует противоположный ему вектор. Прописная истина, а точнее, аксиома (утверждение, принимаемое без доказательства) векторного пространства.

Обратите внимание, что квантор существования подразумевает сам факт существования объекта (хотя бы одного), который удовлетворяет определённым характеристикам. Пусть в мире существуют единственная белая ворона, но существуют же. Более того, в математике (как школьной, так и высшей) доказывается великое множество теорем на существование и как раз единственность чего-либо. Доказательство такой теоремы состоит из двух частей:

1) Существование объекта, удовлетворяющего определённым критериям. В этой части обосновывается сам факт его существования.

2) Единственность данного объекта. Этот пункт доказывается, как правило, методом от противного, т.е. предполагается, что существует 2-й объект с точно такими же характеристиками и далее это предположение опровергается.

Школьников, впрочем, стараются не пугать подобной терминологией, и теорема часто преподносится в завуалированном виде, например:

В любой треугольник можно вписать окружность и, причём только одну

Кстати, а что такое вообще теорема? Логическую суть этого страшного слова мы узнаем очень скоро….

Логические операции (действия над высказываниями)

Подобно тому, как с числами можно проводить арифметические действия (складывать, умножать и т.д.), к высказываниям тоже применимы свои операции. Существует три базовых логических операции:

отрицание высказывания;

конъюнкция или логическое умножение высказываний;

дизъюнкция или логическое сложение высказываний.

1) Отрицание высказывания

Данной операции соответствует логическая связка НЕ и символ

Отрицанием высказывания называется высказывание (читается «не а»), которое ложно, если истинно, и истинно – если ложно:

Так, например, высказывание – черепахи не летают истинно: ,
а его отрицание – черепахи летают если хорошенько пнуть – ложно: ;

высказывание – дважды два будет два ложно: ,
а его отрицание – неверно, что дважды два будет два – истинно: .

Кстати, не нужно смеяться над примером с черепахами 😉 садисты

Удачной физической моделью данной операции является обычная лампочка и выключатель:

свет включен – логическая единица или истина,
свет выключили – логический ноль или ложь.

2) Конъюнкция (логическое умножение высказываний)

Данной операции соответствует логическая связка И и символ либо

Конъюнкцией высказываний и называют высказывание (читается «а и бэ»), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания и :

Данная операция тоже встречается сплошь и рядом. Вернёмся к нашему герою с первой парты: предположим, что Петя получает допуск к экзамену по высшей математике, если сдаёт курсовую работу и зачёт по теме. Рассмотрим следующие высказывания:
– Петя сдал курсовую работу;
– Петя сдал зачёт.

Заметьте, что в отличие от формулировки «Петя завтра сдаст» здесь уже в любой момент времени можно сказать, истина это или ложь.

Высказывание (суть – Петя допущен к экзамену) будет истинно в том и только том случае, если он сдал курсовик и зачёт по . Если хоть что-то не сдано (см. три нижних строчки таблицы), то конъюнкция – ложна.

И очень своевременно пришёл мне в голову отличный математический пример: знак системы соединяет входящие в неё уравнения/неравенства как раз по правилу И. Так, например, запись двух линейных уравнений в систему подразумевает то, что мы должны найти ТАКИЕ корни (если они существуют), которые удовлетворяют и первому и второму уравнению.

Рассматриваемая логическая операция распространяется и на большее количество высказываний. Условно говоря, если в системе 5 уравнений, то её корни (в случае их существования) должны удовлетворять и 1-му и 2-му и 3-му и 4-му и 5-му уравнению данной системы.

И в заключение пункта вновь обратимся к доморощенной электротехнике: конъюнктивное правило хорошо моделирует выключатель в комнате и рубильник на электрическом щитке в подъезде (последовательное подключение). Рассмотрим высказывания:

– выключатель в комнате включен;

– рубильник в подъезде включен.

Наверное, все уже поняли, что конъюнкция читается самым что ни на есть естественным образом:
– выключатель в комнате включен и рубильник в подъезде включен.

Очевидно, что тогда и только тогда, когда . В трёх других случаях (проанализируйте, каких) цепь разомкнётся и свет погаснет: .

Давайте присоединим ещё одно высказывание:
– рубильник на подстанции включен.

Аналогично: конъюнкция будет истинна тогда и только тогда, когда . Здесь, к слову, уже будет 7 различных вариантов разрыва цепи.

3) Дизъюнкция (логическое сложение высказываний)

Этой операции соответствует логическая связка ИЛИ и символ

Дизъюнкцией высказываний и называют высказывание (читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания и :

Предположим, что в экзаменационном билете по высшей математике 2 вопроса и студент сдаёт экзамен, если ответит хотя бы на один вопрос. Рассмотрим следующие высказывания:
– Петя ответил на 1-й вопрос;
– Петя ответил на 2-й вопрос.

Дизъюнктивная запись читается просто и понятно: Петя ответил на 1-й или 2-й вопрос и подразумевает три истинных исхода (см. таблицу). При этом экзамен Пётр не сдаст в единственном случае – если «запорет» оба вопроса:

Следует отметить, что союз «или» мы очень часто понимаем как «исключающее или», и, более того – его зачастую так и нужно понимать! Из той же фразы о сдаче экзамена человек, скорее всего, сделает вывод, что Петя ответил только на 1-й или только на 2-й вопрос. Однако рассматриваемое ИЛИ – это не обывательское «или».

Операция логического сложения также применима для трёх и бОльшего количества высказываний. Некоторые лояльные преподаватели задают 10-15 вопросов и ставят экзамен, если студент хоть что-то знает = ) Иными словами, логическое ИЛИ скрывает за собой связку «хотя бы на один» (и она вовсе не означает, что СТРОГО на один!).

Ну и давайте отвлечёмся от бытового электричества: подавляющее большинство сайтов Интернета расположены на профессиональных серверах, которые снабжаются, как правило, двумя блоками питания. В электротехнике это называется параллельным подключением, которое как раз и моделирует правило ИЛИ – сервер работает, если исправен хотя бы один блок питания. Оборудование, кстати, поддерживает «горячую» замену, т.е. сгоревший БП можно заменить, не выключая сервер. Такая же история с жёсткими дисками – они дублируются в так называемом RAID-массиве, и более того, сам Дата-центр, где находятся серверы, обычно запитывается двумя независимыми электролиниями + дизель-генератор на всякий случай. Эти меры позволяют обеспечить максимальный аптайм сайтов.

И коль скоро речь зашла о компьютерах, то они… базируются на рассмотренных логических операциях! Это кажется невероятным, но задумаемся – а что вообще могут «понимать» эти «железки»? А понимать они могут следующее:

в проводе есть ток – это логическая единица;
провод обесточен – это логический ноль.

Именно данный факт первопричина того, что в основе измерения объёма информации лежит степень двойки:
и т.д.

Простейшим «компьютером» является… обычный выключатель – он хранит информацию в 1 бит (истину или ложь в указанном выше смысле). Центральный же процессор современного компьютера насчитывает сотни миллионов (!) транзисторов, и самое сложное программное обеспечение, самая «навороченная игра» раскладывается на множество нулей и единиц, которые обрабатываются с помощью элементарных логических операций!

И уже следующие две операции, которые мы рассмотрим, являются не самостоятельными, то есть могут быть выражены через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:

Импликация и логическое следствие.
Необходимое условие. Достаточное условие

До боли знакомые обороты: «следовательно», «из этого следует это», «если, то» и т.п.

Импликацией высказываний (посылка) и (следствие) называют высказывание , которое ложно в единственном случае – когда истинно, а – ложно:

Фундаментальный смысл операции таков (читаем и просматриваем таблицу сверху вниз):

из истины может следовать только истина и не может следовать ложь;

изо лжи может следовать всё, что угодно (две нижние строчки), при этом:

истинность посылки является достаточным условием для истинности заключения ,

а истинность заключения – является необходимым условием для истинности посылки .

Разбираемся на конкретном примере:

Составим импликацию высказываний – идёт дождь и – на улице сыро:

Если оба высказывания истинны , то само собой истинна и импликация – если на улице идёт дождь, то на улице сыро. При этом не может быть такого, чтобы дождь шёл , а на улице было сухо :

Если же дождя нет , то на улице может быть как сухо :

так и сыро :
(например, по причине того, что растаял снег).

А теперь ВДУМЫВАЕМСЯ в эти «штампованные» слова необходимость и достаточность:

Дождь является достаточным условием для того, чтобы на улице было сыро, и с другой стороны, сырость на улице необходима для предположения о том, что прошёл дождь (ибо если сухо – то дождя точно не было).

Обратная же импликация нелегальна: – сырости на улице ещё не достаточно для обоснования факта дождя, и, кроме того, дождь ведь не является НЕОБХОДИМОЙ причиной сырости (т.к., например, может пройти и растаять град).

Вроде бы должно быть понятно, но на всякий случай ещё несколько примеров:

– Чтобы научиться выполнять действия с матрицами, необходимо уметь складывать и умножать числа. Но этого, как вы правильно предчувствуете, не достаточно.

– Чтобы научиться выполнять арифметические действия достаточно окончить 9 классов. Но это не является условием необходимым – считать может научить и бабушка, причём ещё в детском саду.

– Чтобы найти площадь треугольника достаточно знать его сторону и высоту, проведённую к этой стороне. Однако опять же – это не необходимость, площадь треугольника можно найти и по трём сторонам (формуле Герона) или, например, с помощью векторного произведения.

– Для допуска к экзамену по высшей математике Пете необходимо отчитаться по курсовой работе. Но этого не достаточно – потому что ещё нужно сдать зачёт.

– Для того чтобы вся группа получила зачёт достаточно занести преподавателю ящик коньяка. И здесь, как нетрудно предположить, отпадает необходимость что-либо учить =) Но, обратите внимание, подготовка вовсе не возбраняется 😉

Бывают ли условия необходимые и в то же время достаточные? Конечно! И очень скоро мы до них доберёмся. А сейчас об одном важном принципе матлогики:

Математическая логика формальна

Её интересует истинность или ложность высказываний, но не их содержание! Так, если мы составим импликацию Если черепахи не летают, то дважды два равно четырём, то она будет истинной! Иными словами, любое истинное высказывание можно обосновать любой истиной (1-я строчка таблицы), и с точки зрения формальной логики это будет истина!

Но ещё интереснее ситуация с ложным посылом: любой ложью можно обосновать всё, что угодно – как истину так и ложь:

– если Луна квадратная, то ;
– если пингвины ходят в валенках, то черепахи носят шлёпанцы.

А что? – по таблице оба высказывания истинны!

Данные факты получили название парадокс импликации, но в действительности мы, конечно же, рассматриваем примеры, осмысленные с точки зрения нашей содержательной логики.

И ещё один очень важный момент: импликацию часто обозначают значком (тоже читается «следовательно», «из этого следует это»), который мы также используем в ходе решения задач, доказательств теорем и т.д. И здесь речь идёт о совпадении обозначений – то, что мы используем в «обычных» математических выкладках, строго говоря, не является импликацией. В чём отличие? Когда мы решаем задачу и пишем, что («из а следует бэ»), то полагаем высказывание заведомо истинным, и более того, выводим из него другую истину . В математической логике это называется логическим следствием. Обычно следствие подлежит обоснованию, и поэтому при оформлении работ всегда старайтесь пояснять, какие аксиомы, теоремы, решённые задачи и т.д. вы использовали для того или иного вывода.

Теорема по своей сути тоже представляет собой логическое следствие: её условие опирается на истинные посылки (аксиомы, ранее доказанные теоремы и т.д.). Доказательство же устанавливает истинность следствия , причём в этом процессе не могут использоваться ложные рассуждения.

Недоказанная теорема называется гипотезой, и варианта тут два: либо она выводит из истины истину и представляет собой теорему, либо гипотеза невернА, т.е. из множества истинных посылок следует «не бэ»: . В случае опровержения получается тривиальный вывод наподобие «гипотеза Ивана Петрова неверная», но и это, бывает, дорогого стОит – дерзайте, уважаемые читатели!

Рассмотрим в качестве примера, конечно, не мегатеорему, но утверждение, которое требует пусть простого, но обоснования. Хотя и его не будет =) =):

– число делится на 4;
– число делится на 2.

Очевидно, что следствие истинно, то есть из того, что число делится на 4, следует и его делимость на 2. И, соответственно, противоположное заключение – есть ложь:

При этом ещё раз обращаю внимание, что посылка изначально постулируется как истина (в отличие от импликации, где она может быть и ложной).

Для логических следствий также в ходу понятия необходимости и достаточности, скопирую пару строк сверху:

истинность посылки – это достаточное условие для истинности заключения ,

истинность заключения – это необходимое условие для истинности посылки .

Делимость числа на 4 является достаточным условием для того, чтобы оно делилось на 2. И с другой стороны, делимость числа на 2 является необходимым условием делимости на 4.

Следует отметить, что рассмотренный пример можно записать и в виде импликации:
(пользуясь таблицей, проанализируйте все расклады самостоятельно)

Однако в общем случае «перенос понятий» некорректен! То есть, если мы ведём разговор о том, что , то это ещё не значит, что будет справедлива импликация . И такой пример я приведу в заключительном пункте.

Как уже отмечалось, на практике импликацию часто обозначают значком , но чтобы не возникло путаницы, я намеренно использовал одиночную стрелку.

Да, чуть не забыл – импликацию можно выразить через предыдущие операции. …Но об этом, пожалуй, во второй части о формулах и законах логики, а то у меня и так неслабый трактат получился.

Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие

Эквиваленция обозначается значком и читается «тогда и только тогда»

Наверное, многие догадываются, что это за операция:

Эквиваленцией высказываний и называют высказывание , которое истинно в том и только том случае, когда высказывания и истинны или ложны одновременно:

Данная операция естественным образом выражается формулой – «из а следует бэ и из бэ следует а».

Предположим, что Петя вышел на финишную черту сессии, и ему осталось сдать 3 экзамена:

– три экзамена сданы;
– сессия успешно завершена.

Очевидно, что при описанных выше обстоятельствах эти высказывания эквиваленты:

– сессия успешно завершена тогда и только тогда, когда сдано 3 экзамена.

Перед вами пример необходимого и достаточного условия: для того чтобы завершить сессию успешно Пете необходимо сдать 3 экзамена (в противном случае сессия будет не сдана) и в то же самое время этого достаточно (т.к. больше ничего делать не нужно).

Особенность эквиваленции состоит в том, что имеет место либо и то и другое, либо ничего, например:

Петя занимается штангой тогда и только тогда, когда Маша танцует на столе

Это значит, что либо Петя занимается штангой и Маша танцует на столе, либо они оба лежат на диване Пётр, ты заслужил! =) Такие вот дружные Петя и Маша. Теперь вроде бы похожая фраза без «тогда и только тогда»:

Петя занимается штангой, когда Маша танцует на столе

Но смысл несколько поменялся: здесь можно предположить, что Петя, бывает, тягает штангу и без Маши, и другой стороны, Маше «до лампочки», качается ли во время её танца Петя.

Вот в чём сила необходимого и достаточного условия! – оно объединяет и дисциплинирует =)

…хотел я для прикола распределить роли наоборот, но затем передумал… всё-таки нельзя такое пропагандировать =)

К слову, о дисциплине – рациональный подход как раз и предполагает необходимость и достаточность – когда человек для достижения какой-либо цели делает ровно столько, сколько нужно, и не больше. Это, конечно, бывает скучно в обычной жизни, но всячески приветствуется в математических рассуждениях, которые нас уже заждались:

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда у него равные углы

Высказывания – треугольник равносторонний и – у него равные углы можно соотнести эквиваленцией , но на практике мы почти всегда связываем их обоюдоострым значком логического следствия , который тоже читается «тогда и только тогда». Отличие от эквиваленции такое же:

– когда мы утверждаем, что , то изначально полагаем высказывание истиной (и никак не ложью). И наоборот, запись подразумевает безусловную истинность посылки .

И в заключение первой части урока вспомним знаменитую теорему, которую я переформулирую «по-взрослому»:

Для того, чтобы треугольник был прямоугольным необходимо и достаточно, чтобы квадрат одной из его сторон равнялся сумме квадратов двух других сторон:

Напоминаю, что сторона называется гипотенузой (бОльшая сторона, лежащая напротив угла ), а стороны – катетами.

Перепишем теорему в сокращённой записи:
– треугольник прямоугольный – выполнено

Доказательство «теорем такого типа» состоит из 2 частей, у которых тоже есть стандартные названия (наверное, неоднократно сталкивались):

1) Необходимость (условия ):
– иными словами, тут нужно доказать, что для того, чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо выполнение равенства .

Данный пункт – это собственно и есть теорема Пифагора, формулировка которой нам знакома ещё со школы: «Если треугольник прямоугольный, то ».

2) На втором шаге обосновывается достаточность:
– здесь надо доказать, что справедливость равенства достаточна для того, чтобы треугольник был прямоугольным.

Учащихся опять же такими словами не запугивают, и второй пункт формулируют в виде обратной теоремы Пифагора: «Если , то треугольник прямоугольный».

Связей по схеме «тогда и только тогда» в математике очень много, и я только что привёл стандартную схему их доказательства. И, конечно же, всегда анализируйте, что означают «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в том или ином случае.

Следует отметить, что теорему можно рассмотреть с точки зрения логической операции , но вот запись (как и обратная запись ) становится нелегальной! Почему? Пусть – треугольник не прямоугольный, – равенство выполнено. Но тогда по импликационной таблице получаем , что не соответствует действительности!

Но зато записи совершенно законны, поскольку логическое следствие отталкивается исключительно от истины!

Жду вас во второй части нашего увлекательного урока, где мы познакомимся с основными логическими формулами и законами, а также порешаем практические задачи. Для решения задач потребуется пять табличек с этой страницы, поэтому я рекомендую сразу переписать их на листок – чтобы они были перед глазами.

Кроме того, я открою вам секрет успешного изучения математической логики 😉

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник