Что такое общий интеграл дифференциального уравнения

рТЙНЕТ

фЕПТЕНБ УХЭЕУФЧПЧБОЙС Й ЕДЙОУФЧЕООПУФЙ ТЕЫЕОЙС ДЙЖЖЕТЕОГЙБМШОПЗП ХТБЧОЕОЙС.

Источник

Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Источник

Что такое общий интеграл дифференциального уравнения

1. У равнения с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

С учетом равенства

После применения теоремы о сумме логарифмов и потенцирования получаем

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

Однородное уравнение (8.12) принимает вид: – уравнение с разделяющимися переменными. Следовательно, дальнейшее решение – по пункту 1.

После интегрирования обеих частей уравнения получаем

3. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным или к уравнениям с разделяющимися переменными

Общий вид уравнений

При c ₁ = c ₂ = 0 уравнение является однородным. Рассмотрим два случая при c ₁ и c ₂ не равных нулю одновременно.

В результате данной подстановки уравнение (8.15) становится однородным.

С помощью формул интегрирования (4.8) и (4.17) получаем:

Осуществим обратную подстановку :

– общий интеграл исходного уравнения

Пример 8.6. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Исходное уравнение принимает вид:

После обратной замены получим: – общий интеграл исходного уравнения

4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид уравнений

где P ( x ) и Q ( x ) – заданные функции (могут быть постоянными).

Уравнение (8.16) может быть решено двумя способами.

Пример 8.7. Проинтегрировать уравнен ие с помощью метода Бернулли.

Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в ноль, то есть и л и

Общее решение заданного ДУ можно также получить, пользуясь непосредственно формулой (8.18):

Таким образом, – общее решение исходного дифференциального уравнения

Пример 8.8. Проинтегрировать уравнение с помощью метода Лагранжа (сравни с пример ом 8.7).

5. Уравнения Бернулли

Общий вид уравнений

При n = 1 (8.1 9) – уравнение с разделяющимися переменными. При n = 0 (8.1 9) – линейное ДУ.

6. Уравнения в полных дифференциалах

6.1. Общий вид уравнений

Условие, по которому можно судить, что выражение является полным дифференциалом, можно сформулировать в виде следующей теоремы.

(8.22)

Таким образом, согласно определению полного дифференциала (6.6) должны выполняться равенства:

Формула (8.22) представляет собой теорему Шварца, согласно которой смешанные производные второго порядка функции F ( x ; y ) равны.

Найденное c ( y ) подставляем в функцию F ( x ; y ), получаем решение заданного ДУ:

Если условие (8.22) не выполняется, то ДУ (8.21) не является уравнением в полных дифференциалах.

Чтобы уравнение было уравнение в полных дифференциалах, должно выполняться условие

6.2. Пусть μ = μ ( x ). Тогда уравнение (8.25) принимает вид:

При этом подынтегральное выражение должно зависеть только от x.

6.3. Пусть μ = μ ( y ). Тогда аналогично можно получить

7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

7.1. Уравнение Лагранжа

Общий вид уравнений

Продифференцируем его по x :

Полученное уравнение (8.30) является линейным уравнением относительно неизвестной функции x = x ( p ). Решив его, найдем:

Исключая параметр p из уравнений (8.29) и (8.31), получаем общий интеграл уравнения (8.28) в виде y = γ ( x ; c ).

. (8.32)

Продифференцируем уравнение (8.33) по переменной x:

При получаем частное решение уравнения в параметрической форме:

Это – особое решение уравнения Клеро, так как оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Источник

Интегрирование дифференциальных уравнений

(определение и разделение на категории — см. Дифференциальные уравнения) — общий вид обыкновенного дифференциального уравнения с одной независимой переменной х и с одной искомой функцией у от этой переменной есть

и которое заключает произвольную постоянную C; это замечание относится к уравнениям какого угодно порядка. Самым общим решением уравнения (*), его так называемым общим интегралом, будет функция вида

где C₁, C₂. C_n некоторые произвольные постоянные, независимые друг от друга. Всякое решение, которое получается из общего от подстановки вместо постоянных произвольных некоторых частных численных значений, называется частным решением или частным интегралом данного дифференциального уравнения. Эйлеру принадлежит в высшей степени важное замечание, развитое потом Лагранжем и другими математиками, о существовании у некоторых дифференциальных уравнений так назыв. особенных решений, которые не могут быть получены из общего интеграла через подстановку вместо постоянных произвольных некоторых численных значений, а получаются, считая постоянные произвольные некоторыми функциями от х. Отсюда видно, что задача И. дифференциальных уравнений с одной неизвестной функцией от одной независимой переменной приводится к нахождению: во-первых, общего интеграла, а во-вторых, — всех особенных решений.

Примеры: 1. Интегрировать уравнение первого порядка:

написав это уравнение в виде

и интегрируя обе части, находим

3. Для примера особенных решений рассмотрим геометрическую задачу: найти кривую, касательная к которой была бы в постоянном расстоянии а от начала координат.

Уравнение касательной, проведенной через какую-нибудь точку (х, у) кривой, есть

Дифференциальное уравнение вопроса представляется в виде

Дифференцируя относительно x, получим уравнение:

которое разлагается на два

Из первого находим:

Откуда на основании (I):

Из второго находим:

Внося это в ур. (1), получим:

Возвысив в квадрат и сложив уравнения (3) и (4), будет:

Уравнение (2) представляет общий интеграл и выражает бесчисленное множество прямых, отстоящих от начала координат в расстоянии а; все эти прямые касаются окружности, определяемой уравнением (5), которое есть особенное решение заданного дифференциального уравнения.

Из немногочисленных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, приемы интегрирования которых известны, особенного внимания заслуживают так называемые линейные уравнения. Общий их вид есть

Остановимся на интегрировании линейных уравнений с тем, чтобы обратить внимание на весьма важный прием, употребляемый при И. дифференциальных уравнений, развитый Лагранжем и называемый изменением произвольных постоянных (la variation des constantes arbitraires). Этот прием впервые встречается уже в теории Луны Эйлера и ныне имеет обширное применение в «небесной механике».

Начнем с интегрирования линейного уравнения с постоянными коэффициентами, но без последнего члена, т. е. в которых Y = 0. Таким образом, пусть задано уравнение

Для интегрирования такого уравнения находят сперва п независимых решений этого уравнения у₁, у₂. у_n, тогда общий интеграл уравнения (А) выразится формулой

Если заданные коэффициенты a_о, a₁. а_п таковы, что это алгебраическое уравнение имеет п различных корней k₁, k₂. k_n, то за п различных решений заданного линейного уравнения без последнего члена (А) могут быть приняты функции так что общий интеграл будет иметь вид:

В случае, если уравнение (В) имеет менее чем п различных корней, т. е. если некоторые корни этого уравнения одинаковые (кратные), то форма общего интеграла уравнения (C) несколько видоизменяется, причем все-таки общий интеграл выражается функцией линейной и однородной относительно постоянных произвольных C₁, C₂. С_п. Отсюда видно, что каковы бы ни были коэффициенты заданного линейного уравнения (А), его общий интеграл выразится формулой:

Обратимся теперь к И. уравнений с постоянным членом, т. е. такого, которое отличается от ур. (А) тем, что во второй части вместо нуля стоит некоторая функция от х. Общий его вид будет

Покажем, что решение ур. (Е) можно представить в виде ур. (D), в котором значение y₁y₂. y_n останется прежнее (частные решения уравнения без последнего члена), a C₁, C₂. C_n уже не постоянные, а некоторые функции от х. Выражаясь иначе, мы будем изменять (варьировать, считать переменными) постоянные, находящиеся в общем интеграле уравнения без последнего члена так, чтобы вышел общий интеграл уравнения с последним членом. Имея в виду, что нужно удовлетворить только одному уравнению (Е), переменных же постоянных имеется много, n для упрощения задачи всегда можно предписать ряд новых условий, так, напр., можно потребовать, чтобы, кроме условия, что функция (D) есть решение уравнения с последним членом, все производные до порядка n-1 включительно выражались одинаковыми формулами, как в случае С₁, С₂. С_n постоянных, так и в случае переменных.

Чтобы у’ выражалось одинаково, как в случае С постоянные, так и в случае С переменные, необходимо положить:

Подобным образом, чтобы вторые производные в обоих предположениях выражались одинаково, необходимо на основании дифференцирования уравнения (G₁) положить:

Продолжая далее до (n-1)-й производной включительно, получим

Что касается n-й производной, то она уже не будет одна и та же в двух предположениях и в случае С переменных представится в виде:

Так как у₁ y₂. у_п не какие-нибудь функции, а, как замечено уже выше, суть частные решения линейного уравнения без последнего члена, то легко видеть, что последнее уравнение обращается в

Уравнения (F₁), (F₂). (F_n) суть линейные первой степени относительно n неизвестных С’₁, C’₂. С’_n все коэффициенты этих уравнений — известные, вполне определенные функции от x, ибо функция Y задана, а функции у₁, у₂. у_n уже найдены. Решая эту систему n уравнений первой степени относительно С’₁, C’₂. С’_n по правилам элементарной алгебры, получим:

Изменение произвольных постоянных как прием для И. применяется в тех случаях, когда заданное уравнение или систему уравнений интегрировать непосредственно весьма затруднительно, но можно, откидывая некоторые члены, получить новые уравнения такого вида, что можно написать их самые общие решения. Изменяя затем постоянные величины, входящие в эти решения, подбирают эти постоянные так, чтобы удовлетворились первоначально заданные уравнения.

В механике встречается надобность интегрировать системы так назыв. обыкновенных совокупных уравнений. Пусть задана система.

В эти уравнения входят: независимая переменная х, n ее пока произвольных функций у, z. u и ряд производных от этих функций по независимой переменной х первых или высших порядков. Такая система называется системой k обыкновенных совокупных уравнений с n неизвестными функциями. Если n k, то некоторые из функций будут совершенно произвольны. Самый важный случай представляется при п = k, т. е. когда число уравнений равно числу искомых функций. Этот случай обыкновенно и рассматривается. Если система не содержит противоречий, то интегрировать ее — значит найти все возможные значения искомых функций, обращающие ее в тождество, другими словами, чтобы в искомом выражении этих функций через независимую переменную входило достаточное число произвольных постоянных независимых друг от друга. Каков бы ни был порядок каждого из уравнений системы, т. е. порядок, наибольший из порядков производных, входящих в эти уравнения, всегда можно, вводя новые искомые функции и увеличивая за то число уравнений системы, получить систему m уравнений с m неизвестными функциями первого порядка, т. е. систему, в которой, кроме независимой переменной х и искомых функций, войдут только первые от них производные по х. Сделать это весьма просто, принимая за новые функции производные от прежних до порядка на единицу меньше наибольшего порядка производной от соответствующей функции, входящей в рассматриваемую систему. К такого рода системам принадлежат системы, названные Якоби каноническими и к которым приводятся уравнения различных задач в механике. — Интегрирование всякой системы m уравнений с m неизвестными функциями m-ого порядка может быть приведено или к интегрированию одного уравнения m-ого порядка с одной неизвестной функцией или к интегрированию нескольких обыкновенных уравнений, из которых каждое заключает одну неизвестную функцию, сумма порядков которых равна m.

И. дифференциальных уравнений с частными производными. Основное отличие уравнений с частными производными от уравнений обыкновенных заключается в тех произвольных элементах, которые вводит их И.; именно при И. уравнений с частными производными приходится рассматривать такие решения, которые содержат произвольные функции от независимых переменных. Пусть дано уравнение

где n некоторое постоянное число, а и — искомая функция от m независимых переменных х, у. t. Так как в уравнение (1) входят частные производные только первого порядка, то такое уравнение называется уравнением с частными производными первого порядка в отличие от уравнений с частными производными высших порядков. Если некоторые функции

удовлетворяют все уравнению

Для примера возьмем уравнение колебания струны

d 2 и/dy 2 — a 2 (d 2 u/dx 2 ) = 0;

легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет следующая функция от и:

где П и Ф совершенно произвольные функции.

Что касается теории уравнений с частными производными, то благодаря трудам Коши, Якоби и их последователей довольно обстоятельно разобраны уравнения первого порядка. Теория же уравнений высших порядков в настоящее время находится еще в зачаточном состоянии. Известно весьма мало общих свойств таких уравнений, и все сводится к разбору уравнений частного вида (отдельные примеры); впрочем, для математической физики весьма важно и то, что уравнения линейные относительно частных производных какого угодно порядка с постоянными коэффициентами интегрируются, как это показал Коши, при помощи интегралов Фурье.

Геометрическое значение И. обыкновенных дифференциальных уравнений между независимой переменной х и ее функцией у состоит в том, что отыскиваются все кривые F(x), обладающие некоторым общим свойством, выражаемым заданным дифференциальным уравнением. Отсюда ясно, что в уравнения искомых кривых должны входить произвольные постоянные, выбором которых можно отличить одну из кривых от всех прочих, принадлежащих к рассматриваемой системе. Аналогичное значение имеют для пространства дифференциальные уравнения с частными производными между независимыми переменными х и у и их искомой функцией z. Интегрировать такое уравнение значит найти все поверхности, обладающие общим свойством, выражаемым заданным уравнением. При интегрировании таких уравнений, понятно, должны входить произвольные функции, ибо из числа различных поверхностей можно выбирать не только такие, которые проходили бы через конечное число произвольно заданных точек пространства, но и такие, которые проходили бы через произвольно заданные кривые в пространстве. — Хотя задача интегрирования дифференциальных уравнений есть задача весьма трудная и удается лишь для малого числа простейших классов уравнений, тем не менее, интегральное исчисление является могущественным орудием натуральной философии, потому что строка Тейлора дает возможность разлагать решение дифференциального уравнения в ряды, расположенные по степеням независимого переменного, и получать таким образом приближенное значение искомых функций независимо от того, умеем ли мы интегрировать заданное дифференциальное уравнение или нет. Блестящие примеры такого рода приближенного И. представляет небесная механика, где при рассмотрении движений небесных тел, притягивающихся между собой по законам Ньютона, уже в случае трех тел (Солнце, Земля и Луна или Солнце, комета и возмущающая планета) является знаменитая задача о трех телах, которая до сих пор представляет непреодолимые затруднения, быть может, по существу, а может быть, только по сравнительной сложности относящихся сюда дифференциальных уравнений. Нечего говорить уже о задаче более общей, когда рассматривается движение более чем трех тел и которая имеет, однако, место в астрономии. Предсказание небесных явлений, открытие новых светил при помощи теоретических исследований (открытие Нептуна), обстоятельное разъяснение различных особенностей в движении их (неравенства) — все это свидетельствует о том, что если приемы приближенного И. дифференциальных уравнений и далеки от желательной степени теоретического совершенства и представляют в настоящее время область, где еще многое нужно сделать, однако интегрирование уравнений, по крайней мере в приложениях к физическим наукам, представляет часть математики, наиболее важную и богатую новыми результатами.

Источник

• ← Что такое варикоз матки
• Что такое гидронефроз почки →