Что такое обыкновенная дробь 5 класс определение
Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями.
Эта статья про обыкновенные дроби. Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.
Навигация по странице.
Доли целого
Сначала введем понятие доли.
Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей.
Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.
В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей. Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.
Одна вторая доля имеет специальное название – половина. Одна третья доля называется третью, а одна четверная доля – четвертью.
Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей
Для описания количества долей используются обыкновенные дроби. Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.
Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, 
. Две доли обозначим как 
, три доли – как 
, и так далее, 12 долей обозначим как 
. Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.
Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей.
Обыкновенные дроби – это записи вида 
(или m/n ), где m и n – любые натуральные числа.
Числитель и знаменатель
Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель.
Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Черта дроби как знак деления
Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.
Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей
В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби, а во втором – неравные обыкновенные дроби. Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.
Какие дроби называются обыкновенными
Что такое обыкновенная дробь — понятие и определение
Прежде чем дать определение термину «дробь», необходимо рассмотреть, чем она является в сущности.
Доля целого или доля числа — это каждая равная часть, которые вместе составляют целый предмет.
К примеру, апельсины обычно состоят из 10 одинаковых долек. А если торт разрезать пополам, то он будет состоять из двух долей.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
У каждой доли свое название, которое зависит от количества долей в предмете.
Половина — это одна вторая часть от целого. Долька апельсина — это одна десятая от апельсина. Если пиццу разрезать на шесть частей, то каждая часть равна одной шестой от всей пиццы.
Простыми словами, дробное число — это нецелое количество, часть целого, которая получается при «дроблении». «Целым» может быть что угодно: количество денег, еда, числа, делимые предметы и так далее.
Как выглядит, примеры записи
Всего существует два вида записи дробных чисел:
Числитель и знаменатель
Обыкновенная дробь состоит из двух натуральных чисел. Записываются они в определенном порядке. Чтобы понять этот принцип, необходимо изучение и объяснение сути дробных чисел.
В сущности, дробь — это результат деления, в котором делимое не делится на делитель полностью, без остатка. Черточка между верхней и нижней части дроби — дробная черта — равноценна знаку деления.
Числитель обыкновенной дроби вида \(\frac mn\) — это натуральное число m, равное делимому.
Знаменатель обыкновенной дроби вида \(\frac mn\) — это натуральное число n, равное делителю.
В зависимости от отношений числителя и знаменателя, выделяют 2 вида дробей.
Правильная дробь — та, у которой числитель меньше знаменателя.
Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.
Обычно такие дробные числа записывают в виде целых или смешанных чисел: \(5\frac47, \ 2\frac<14><32>.\)
Знаменатель показывает, из скольких частей состоит предмет. Числитель отображает, сколько таких частей рассматривается в задаче. Например, дробь \(\frac<11><32>\) (читается «одиннадцать тридцать вторых») указывает на то, что предмет состоит из 32 долей, и для рассмотрения взяли 11 из них.
Положительные и отрицательные дроби
Дробные числа бывают не только правильными и неправильными, но также и положительными и отрицательными.
Положительная дробь \(\frac23\) и отрицательная дробь \(-\frac23\) — это противоположные числа.
Положительные дроби можно получить двумя способами:
Отрицательные дроби также получают двумя способами:
Какие действия можно выполнять с обыкновенными дробями
Для выполнения действий с дробными числами необходимо знать их свойства.
Основное свойство дроби — если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, получится равная ей дробь.
В общем виде это правило записывают так: \(\frac mn=\frac
где a, b, k — натуральные числа.
Основных действий, которые можно выполнять с дробями, несколько.
Если у двух дробей равные знаменатели, то сравнивать необходимо только числители.
У положительных чисел чем больше числитель, тем больше число: \(\frac37>\frac17.\)
У отрицательных чисел чем меньше числитель, тем больше число, т. к. оно ближе к нулю: \(-\frac25>-\frac45.\)
Если знаменатели разные, то дроби необходимо сперва привести к общему знаменателю. Подробнее это действие рассмотрено в других статьях.
В результате сложения обыкновенных дробей получается обыкновенная дробь.
Если знаменатели одинаковые, складывать нужно только числители: \(\frac13+\frac13=\frac23.\)
Если знаменатели разные, дробь необходимо привести к общему знаменателю.
Когда в результате решения получается неправильная дробь, его необходимо привести к виду целого или смешанного числа.
Это действие обратно сложению. Правила действуют те же, что и при сложении: \(\frac7<10>-\frac2<10>=\frac5<10>=\frac12.\)
Результатом умножения двух обыкновенных дробей также всегда является обыкновенная дробь. При этом числитель умножается на числитель, а знаменатель умножается на знаменатель (отсюда следует, что знаменатели могут быть разные): \(\frac23\cdot\frac34=\frac<2\cdot3><3\cdot4>=\frac6<12>=\frac12.\)
Это действие обратно умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, необходимо числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой — на числитель второй. Иными словами, вторую дробь необходимо «перевернуть» и выполнить умножение:
Обыкновенные дроби
Вы будете перенаправлены на Автор24
Определение обыкновенной дроби
Обыкновенные дроби используют для описания числа долей. Рассмотрим пример, с помощью которого можно дать определение обыкновенной дроби.
Приведем общее определение обыкновенной дроби.
Примеры обыкновенных дробей:
Числитель и знаменатель
Обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя.
Готовые работы на аналогичную тему
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Дробная черта как знак деления
Обыкновенная дробь дает возможность записывать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело.
Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей
Результатом сравнения двух обыкновенных дробей может быть или их равенство, или их не равенство. При равенстве обыкновенных дробей их называют равными, в другом случае обыкновенные дроби называют неравными.
\[3\cdot 13\ne 17\cdot 4;\] \[39\ne 58.\]
Дроби на координатном луче
Все дробные числа, которые отвечают обыкновенным дробям, можно отобразить на координатном луче.
Чтобы отобразить на координатном луче дробное число, нужно единичный отрезок разделить на части.
Аналогично, точка с меньшей координатой будет лежать левее точки с большей координатой.
Обыкновенные дроби
теория по математике 📈 числа и вычисления
Обыкновенная дробь – это запись числа в виде:
где число a называют числителем, а число b – знаменателем дроби.
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Пример №1. У первой дроби можно разделить числитель и знаменатель на одно и то же число 14, и получится равная ей дробь. Или как у второй дроби можно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, допустим, на 5.
Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Пример №2. Чтобы сократить данную дробь надо вспомнить признаки делимости и увидеть, что числитель и знаменатель дроби — четные числа, значит, их можно разделить на 2, то есть дробь сокращается на 2:
Пример №3. По признаку делимости числитель и знаменатель делятся на 5, значит, сокращается данная дробь на 5.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями
При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями нужно знаменатель оставить тем же, а числители сложить (вычесть). Если дроби смешанные, то отдельно складывают (вычитают) целые части.
Решения можно записывать короче, выполняя устно сложение или вычитание целых частей, а также – числителей.
Вычитание обыкновенной дроби из целого числа
Чтобы вычесть дробь из единицы, нужно единицу представить в виде неправильной дроби, числитель и знаменатель которой равны знаменателю вычитаемой дроби.
Пример №5. Представляем единицу в виде дроби и получаем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями (числители можно вычесть устно).
Вычитание обыкновенной дроби из бóльшего числа
Чтобы вычесть обыкновенную дробь из числа, большего 1, необходимо представить эту дробь в виде смешанного числа, числитель и знаменатель которой равны также знаменателю вычитаемой дроби.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями требует предварительного приведения дробей к общему знаменателю. Существуют несколько приемов, которыми можно воспользоваться для нахождения общего знаменателя.
Нахождение общего знаменателя
Наименьшее общее кратное (НОК) – это наименьшее число, которое делится без остатка на данные знаменатели одновременно. Обычно его находят устно при выполнении действий с дробями.
Правило нахождения НОК рассмотрим на примере чисел 12 и 15. Пример №7. 1. Нужно разложить на простые множители каждое число:
2. Затем найти одинаковые множители (подчеркиваем):
В данном случае это только множитель 3.
3. Взять одно из данных чисел и домножить на оставшиеся (не подчеркнутые) множители другого числа:
12 домножаем на 5: 12×5=60, или
15 домножаем на 2 и 2: 15×2×2=60
Таким образом, НОК =60. Обычно достаточно просто внимательно посмотреть на числа и в уме подобрать для них НОК.
Перемножение знаменателей. Приём №2.
Нам необходимо просто перемножить знаменатели. Обычно этот прием используется тогда, когда даны простые числа (которые делятся на 1 и на само себя) и на множители их не разложить.
Пример №8. 
Для нахождения общего знаменателя в первом случае: 17×19=323, во втором: перемножаем 11 и 13, получаем 143.
Последовательный подбор. Приём №3.
Данный способ можно применить для небольших чисел устно: возьмем больший из знаменателей, умножим его на 2 и проверим, делится ли это число на второй знаменатель. Если нет, то умножим последовательно на 3, 4 и проверим аналогично.
Пример №9. Возьмем число 51, умножим на 2, получим 102 — видим, что 102 делится на 34, поэтому 102 и будет общий знаменатель.
После того, как мы научились находить общий знаменатель, приступаем непосредственно к алгоритму сложения (или вычитания) обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Находим общий знаменатель. Можно использовать прием, когда умножаем 11 и 14, так как 11 — простое число. Следовательно, общий знаменатель равен 154. Находим дополнительный множитель к каждому числителю:
Выполняем умножение в числителе: 
Выполняем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 
Умножение обыкновенных дробей
При умножении обыкновенных дробей получают дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей.
При умножении обыкновенной дроби и целого числа необходимо целое число представить в виде дроби, числитель которой равен этому числу, а знаменатель равен 1 (что по сути означает перемножение числителя единственной первой дроби и целого числа, знаменатель же остается от первой дроби, так не меняется при умножении на единицу).
Если даны смешанные дроби, то необходимо сначала смешанную дробь перевести в неправильную, а затем выполнить умножение.
Пример №11. Здесь числитель 3 умножили на числитель 7, знаменатель 5 на знаменатель 10.
Пример №12. Случай, когда мы находим произведение дроби и целого числа. Целое число представили в виде дроби со знаменателем 1.
Пример №13. Нам даны смешанные дроби, переводим их в неправильные для выполнения умножения.
Деление обыкновенных дробей
При делении обыкновенных дробей необходимо делимое (то есть первую дробь) умножить на перевернутую вторую дробь, то есть дробь, обратную второй.
Если даны смешанные числа, то перед выполнением деления их необходимо перевести в обыкновенные неправильные дроби.
Если дробь нужно разделить на целое число, то его сначала нужно представить в виде дроби, а затем выполнить деление по правилу.
Пример №14. Делимое умножаем на число, обратное делителю. 
Пример №15. Смешанные дроби сначала переводим в неправильные, а затем выполняем деление. 
Пример №16. Деление дроби на целое число, где целое число 7 представлено в виде обыкновенной дроби.
Найдите значение выражения:
Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:
теперь переходим от деления дробей к их умножению: 
затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:
сокращаем выражение на (a–5b): 
Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): 
Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: 
Ответ: 39
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения при x = 12:
Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:
далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):
теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:
Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:
Ответ: 0,6
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения
В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:
Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:
Вычислим её значение, подставив числа из условия:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения:
Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:
Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:
5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x
Тогда дробь примет вид:
Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y
Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Найдите значение выражения:
В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.
Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй — в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:
Далее выносим из числителя второй дроби a:
Подставляем значение a = 13:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Какое из данных ниже чисел является значением выражения?
Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 — √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?
Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.
После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² — (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:
Суммарно наши действия выглядят так:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Аналогично предыдущим заданиям вычисляем знаменатель: для этого приводим дроби к общему знаменателю — это 84. Для этого первую дробь умножаем на 4, а вторую на 3, получим:
1/21 + 1/28 = 4/84 + 3/84
Итак, мы получили в знаменателе 7/84, теперь делим числитель на знаменатель — это все равно что умножить 1 на обратную 7/84 дробь:
1 / ( 7 / 84 ) = 1 •84/7 = 84/7
Далее остается поделить 84 на 7:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Можно решать задачу напрямую — вычисляя значения последовательно, это не должно составить труда, однако решение будет долгим и с большими вычислениями. Здесь можно заметить, что 1/3 присутствует как в уменьшаемом — 6 • (1/3)², так и в вычитаемом — 17 • 1/3, поэтому её можно легко вынести за скобку.
Проведя вычисления в скобках, получим:
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить