Что такое одномерное движение

Одномерное движение в физике

Одномерное движение в физике

Это дифференциальное уравнение первого порядка Людмила Фирмаль

Таким образом, для функции Лагранжа (11.2) есть • 2 Th. т т т \ 7

Потому что кинетическая энергия значительна Если положительный, полная энергия всегда будет больше, чем потенциал при движении. Движение происходит только в пространственной области, где U (x) Примеры решения, формулы и задачи

наоборот равно удвоенному времени прохождения Людмила Фирмаль

Следовательно, период колебаний Т То есть время прохождения точки от x \ до X2 или отрезка X \ X2, или U (x) = E, (11,4) да W / / / / / / / / / / / / / W ——— X \ X2 Рис. 6 Новое для этих скоростей Она исчезнет. Для областей Движение ограничено двумя такими точками, и движение происходит в ограниченном пространстве. Как оно Скажи компактно.

Когда рабочий диапазон не ограничен или ограничен только с одной стороны (11.3) х2 (Е) T (E) = V2m (11,5) XI (E) Кроме того, пределы x \ и X2 являются корнями уравнения (11.4). Приведенное значение Е. Эта формула определяет продолжительность хода Зависит от полной энергии частиц. Задание 1.

Определить период колебаний плоского математического маятника (Точка М в конце нити длиной I гравитационного поля) Amplitude. Решения. Маятниковая энергия w / 2f2 B = ——— mgl cos cp = —mgl cosfo, Где f — угол отклонения резьбы от вертикали. Максимальный угол отклонения.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Что такое одномерное движение

При движении по заданной траектории положение частицы полностью определяется заданием одной величины — криволинейной координаты, в качестве которой удобно взять расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки. Например, положение автомобиля на шоссе Санкт-Петербург—Москва можно задавать, указывая, на каком километре от Санкт-Петербурга он находится. При движении это расстояние изменяется со временем, т. е. его следует рассматривать как функцию времени: Наглядное представление об этой функции для конкретного движения дает график движения, на котором по горизонтальной оси отложено время I, а по вертикальной — расстояние от начальной точки.

График движения. Если движение происходит все время в одном направлении, то расстояние совпадает с пройденным от начальной точки путем и на графике изображается монотонно возрастающей функцией. Пример графика такого движения приведен на рис. 31а. Тело начинает движение в момент времени из точки, принятой за начало отсчета расстояния вдоль траектории. График на рис. 316 соответствует случаю, когда тело в момент

проходит через точку, принятую за начало отсчета расстояний, хотя его движение происходило и до этого момента. При этом отсчитываемые назад от начальной точки расстояния считаются отрицательными, как и моменты времени, предшествующие моменту

Рис. 31. График движения в одном направлении

График на рис. 31а соответствует движению, которое началось в момент из точки, отстоящей на расстояние от места, принятого за начало отсчета.

В отличие от графического изображения траектории, по которому легко судить о направлении скорости (касательная к траектории), но ничего нельзя сказать о ее модуле, график движения позволяет судить о значении скорости в каждый момент времени: чем круче наклон графика, тем быстрее происходит движение. Здесь можно ввести по определению скорость

которая характеризует быстроту изменения криволинейной координаты При увеличении I, когда положительна; при уменьшении I, когда отрицательна. Легко видеть, что модуль совпадает с мгновенной скоростью прохождения пути, определяемой формулой (2) § 7. На графике движения возрастанию I соответствует положительный наклон кривой, убыванию I — отрицательный наклон. Конечно, никакой информации о форме самой траектории этот график уже не содержит.

Рис. 32. Участок ОА соответствует равномерному движению в одном направлении, участок — равномерному движению в обратном направлении

При равномерном движении, т. е. движении с постоянной по модулю скоростью, график изображается прямой линией (участок на рис. 32). Легко видеть, что тангенс угла наклона а этого участка графика к оси времени численно равен скорости движения. Участок соответствует равномерному

движению в обратном направлении: расстояние от начальной точки О убывает со временем. Скорость на этом участке отрицательна, так как Наклон графика на этом участке отрицательный, а значение скорости по-прежнему равно тангенсу отрицательного угла наклона

При изучении движения по заданной траектории будем в дальнейшем обозначать скорость через При описании движения наряду с графиком, изображающим зависимость расстояния от времени удобно рассматривать также и график скорости. Для равномерного движения график зависимости скорости от времени представляет собой горизонтальную прямую (рис. 33). Путь проходимый за промежуток времени на этом рисунке изображается площадью прямоугольника, ограниченного осью двумя вертикальными отрезками, проходящими через точки , и графиком скорости

Рис. 33. График скорости равномерного движения

Рис. 34. График равномерного движения

Такая геометрическая интерпретация соответствует формуле

Применяя эту формулу к промежутку времени от до некоторого момента можно написать выражение для координаты в любой момент времени при движении с постоянной скоростью

Здесь — значение координаты при График движения, описываемого формулой (2), показан на рис. 34.

Путь на графике скорости. Рассмотрим теперь движение, график скорости которого показан на рис. 35а. На промежутке времени от 0 до движение происходит с постоянной скоростью . В момент тело останавливается и начинает двигаться с постоянной скоростью в противоположном направлении. Очевидно, что Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до изображается

площадью верхнего прямоугольника и равен Если движение начинается из точки как показано на рис. 35б, то расстояние в любой момент времени совпадает с пройденным к этому моменту путем и дается выражением

Путь, пройденный за промежуток времени от до изображается площадью нижнего прямоугольника и равен так как Поскольку после момента времени тело движется в обратном направлении, то расстояние от начальной точки теперь убывает и уже не совпадает с пройденным к этому моменту путем. Расстояние при дается выражением

где второе слагаемое в правой части отрицательно. Для определения пути, пройденного к моменту времени в этой формуле нужно изменить знак перед вторым слагаемым. Как видно из рис. 35б, в момент времени тело возвращается в исходную точку а пройденный им к этому моменту путь равен

• Посмотрите на график движения, показанный на рис. 36. Охарактеризуйте движение тела в каждый из указанных промежутков времени.

Рис. 35. На графике скорости расстояние изображается заштрихованной площадью

Рис. 36. Как движется тело на каждом из участков?

• Что означают изломы на графике Что означают разрывы на графике Могут ли быть изломы на графике Что они означают? Могут ли быть разрывы на графике ?

• После того как вы ответили на второй вопрос, можете ли вы что-нибудь добавить к своему ответу на первый вопрос? Если да, то сформулируйте четко, что было упущено вами при первом ответе.

Степени свободы. Реальное физическое пространство трехмерно, поэтому для характеристики положения материальной точки нужны три числа. Такими тремя числами могут быть, например, проекции радиуса-вектора частицы на оси декартовой системы координат. Но в рассмотренных выше случаях векторные характеристики движения никак не использовались. Наоборот, утверждалось, что для указания положения частицы достаточно одного числа, и соответствующее движение называлось одномерным. Чем обусловлена такая возможность? Тем, что траектория движения фиксирована — она не меняется при изменении таких характеристик движения, как скорость, ускорение и т. д.

Неизменность траектории обеспечивается, как говорят, связями, наложенными на рассматриваемую систему. Например, траектория вагона метро однозначно задается конфигурацией проложенного тоннеля. Грузик маятника, выполненного в виде насаженного на жесткий стержень шарика, может двигаться только по окружности определенного радиуса. Подобные примеры часто встречаются в природе и технике. Говорят, что в этих случаях наложенные связи уменьшают число степеней свободы.

Свободная материальная точка в трехмерном пространстве имеет три степени свободы в соответствии с тем, что ее положение задается тремя независимыми числами. Точка, которая может двигаться по заданной поверхности, имеет только две степени свободы. Например, для точки на поверхности земного шара достаточно указать две географические координаты — широту и долготу. Наконец, вагон метро в тоннеле обладает только одной степенью свободы. Движение вагона по рельсам одномерно, хотя сам тоннель может быть причудливым образом изогнут в трехмерном пространстве. Ясно, что использовать векторные величины для описания движения вагона совершенно излишне.

В подобных случаях для описания движения вводятся так называемые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы. Когда траектория частицы заранее задана, в качестве такой обобщенной координаты удобно выбирать расстояние вдоль траектории от некоторой начальной точки.

• Какие величины удобно выбрать в качестве обобщенных координат для корабля, плывущего в океане? Для подводной лодки? Сколько обобщенных координат нужно для корабля, рассматриваемого как материальная точка, и для того же корабля в случае, когда необходимо учесть его габариты?

• Брошенный под углом к горизонту камень летит по некоторой траектории. Можно ли считать его движение одномерным? Есть ли здесь связи, наложенные на движение?

• Какие возможные движения вагона метро не принимаются во внимание, когда считается, что у него одна степень свободы?

• Как ускорение а, при одномерном движении по криволинейной траектории связано с введенным ранее тангенциальным ускорением?

Источник

Механическое движение и его характеристики

теория по физике 🧲 кинематика

Механика — раздел физики, который изучает механическое движение физических тел и взаимодействие между ними.

Основная задача механики — определение положение тела в пространстве в любой момент времени.

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Механическое движение и его виды

По характеру движения точек тела выделяют три вида механического движения:

По типу линии, вдоль которой движется тело, выделяют два вида движения:

По скорости выделяют два вида движения:

По ускорению выделяют три вида движения:

Что нужно для описания механического движения?

Для описания механического движения нужно выбрать, относительно какого тела оно будет рассматриваться. Движение одного и того же объекта относительно разных тел неодинаковое. К примеру, идущий человек относительно дерева движется с некоторой скоростью. Но относительно сумки, которую он держит в руках, он находится в состоянии покоя, так как расстояние между ними с течением времени не изменяется.

Решение основной задачи механики — определения положения тела в пространстве в любой момент времени — заключается в вычислении координат его точек. Чтобы вычислить координаты тела, нужно ввести систему координат и связать с ней тело отсчета. Также понадобится прибор для измерения времени. Все это вместе составляет систему отсчета.

Система отсчета — совокупность тела отсчета и связанных с ним системы координат и часов.

Тело отсчета — тело, относительно которого рассматривается движение.

Часы — прибор для отсчета времени. Время измеряется в секундах (с).

При описании движения тела важно учитывать его размеры, так как характер движения его отдельных точек может различаться. Но в рамках некоторых задач размер тела не влияет на результат решения. Тогда его можно считать пренебрежительно малым. Тогда тело рассматривают как движущуюся материальную точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Допустимо принимать тело за точку, если оно движется поступательно или его размеры намного меньше расстояний, которые оно проходит.

Виды систем координат

В зависимости от характера движения тела для его описания выбирают одну из трех систем координат:

Способы описания механического движения

Описать механическое движение можно двумя способами:

Координатный способ

Указать положение материальной точки в пространстве можно, используя трехмерную систему координат. Если эта точка движется, то ее координаты с течением времени меняются. Так как координаты точки зависят от времени, можно считать, что они являются функциями времени. Математически это записывается так:

Эти уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Векторный способ

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с положением этой точки.

Указать положение точки в трехмерном пространстве также можно с помощью радиус-вектора. При движении точки радиус-вектор со временем изменяется. Он может менять направление и длину. Это значит, что радиус-вектор тоже можно принять за функцию времени. Математически это записывается так:

Эта формула называется кинематическим уравнением движения точки, записанным в векторной форме.

Характеристики механического движения

Движение материальной точки характеризуют три физические величины:

Перемещение

Траектория — линия, которую описывает тело во время движения.

Путь — длина траектории. Обозначается буквой s. Единица измерения — метры (м).

Путь есть функция времени:

Модуль перемещения — длина вектора перемещения. Обозначается как |Δ r |. Единица измерения — метры (м).

Модуль перемещения необязательно должен совпадать с длиной пути.

Пример №1. Человек обошел круглое поле диаметром 1 км. Чему равны пройденный путь и перемещение, которое он совершил.

Путь равен длине окружности. Поэтому:

Человек, обойдя круглое поле, вернулся в ту же точку. Поэтому его начальное положение совпадает с конечным. В этом случае человек совершил перемещение, равное нулю.

Пример №2. Точка движется по окружности радиусом 10 м. Чему равен путь, пройденный этой точкой, в момент, когда модуль перемещения равен диаметру окружности?

Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Перемещение равно длине этого отрезка в случае, если один из концов этого отрезка является началом вектора перемещения, а другой — его концом. Траекторией движения в этом случае является дуга, равная половине окружности. А длина траектории есть путь:

Скорость

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения тела. Численно она равна отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Скорость характеризуется не только направлением вектора скорости, но и его модулем.

Модуль скорости — расстояние, пройденное точкой за единицу времени. Обозначается буквой V и измеряется в метрах в секунду (м/с).

Математическое определение модуля скорости:

Величина скорости тела в данный момент времени есть первая производная от пройденного пути по времени:

Ускорение

Ускорение — векторная физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости тела. Численно она равна отношению изменения скорости за малый промежуток времени к величине этого промежутка.

Модуль ускорения — численное изменение скорости в единицу времени. Обозначается буквой a. Единица измерения — метры в секунду в квадрате (м/с 2 ).

Математическое определение модуля скорости:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀— его скорость в начальный момент времени, t — время, в течение которого эта скорость менялась.

Ускорение тела есть первая производная от скорости или вторая производная от пройденного пути по времени:

Проекция вектора перемещения на ось координат

Проекция вектора перемещения на ось — это скалярная величина, численно равная разности конечной и начальной координат.

Проекция вектора на ось OX:

Проекция вектора на ось OY:

Знаки проекций перемещения

Проекция вектора перемещения на ось считается нулевой, если вектор расположен перпендикулярно этой оси.

Модуль перемещения — длина вектора перемещения:

Модуль перемещения измеряется в метрах (м).

Вместе с собственными проекциями модуль перемещения образует прямоугольный треугольник. Сам он является гипотенузой этого треугольника. Поэтому для его вычисления можно применить теорему Пифагора. Выглядит это так:

Выразив проекции вектора перемещения через координаты, эта формула примет вид:

Выражение проекций вектора перемещения через угол его наклона по отношению к координатным осям:

Общий вид уравнений координат:

Пример №3. Определить проекции вектора перемещения на ось OX, OY и вычислить его модуль.

Определяем координаты начальной точки вектора:

Определяем координаты конечной точки вектора:

Проекция вектора перемещения на ось OX:

Проекция вектора перемещения на ось OY:

Применяем формулу для вычисления модуля вектора перемещения:

Пример №4. Определить координаты конечной точки B вектора перемещения, если начальная точка A имеет координаты (–5;5). Учесть, что проекция перемещения на OX равна 10, а проекция перемещения на OY равна 5.

Извлекаем известные данные:

Для определения координаты точки В понадобятся формулы:

Выразим из них координаты конечного положения точки:

Точка В имеет координаты (5; 10).

Алгоритм решения

Решение

Записываем исходные данные:

Записываем формулу ускорения:

Так как начальная скорость равна 0, эта формула принимает вид :

Отсюда скорость равна:

Подставляем имеющиеся данные и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник