Что такое однородное дифференциальное уравнение

О дифференциальных уравнениях первого порядка

Что такое дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением называют такое уравнение, которое содержит функцию у(х) только от единственной переменной, к примеру, х.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Таким образом, в первой части можно наблюдать независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и производную данной функции y′(x). Во второй части заметна лишь вторая производная функции y″(x). Можно сделать вывод, что дифференциальным уравнение будет в том случае, когда имеется производная у(х) любого порядка.

Порядок дифференциального уравнения представляет собой порядок наибольшей производной неизвестной функции у(х) в выражении.

В первом варианте имеем наибольшую производную первого порядка. Из этого можно сделать вывод, что дифференциальное выражение также первого порядка. Во втором случае в уравнении имеется вторая производная y″(x), таким образом, данное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общим решением дифференциального уравнения является комплекс функций y=f(x,C), подстановка которых в определенное выражение приводит к равенству обеих частей этого уравнения.

В данном выражении С является произвольной константой. Поиск подобных решений представляет собой интегрирование дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называют такое решение, которое было получено в результате поиска константы С, согласно дополнительным условиям задачи.

Дифференциальные уравнения первого порядка делят на несколько основных видов, которые наиболее часто можно встретить при решении задач:

Алгоритм поиска решений дифференциальных уравнений:

Как определить однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, которое относится к первому порядку, имеет вид:

Данное дифференциальное уравнение можно считать однородным в том случае, когда правая часть выражения соответствует условию:

В этом случае справедливы все значения t.

Таким образом, правая часть представляет собой однородную функцию нулевого порядка, относительно переменных x и y:

Другой вид записи однородного дифференциального уравнения:

Кроме того, уравнение можно представить с помощью дифференциалов:

\(P\left( \right)dx + Q\left( \right)dy = 0\)

где \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right)\) являются однородными функциями, порядок которых одинаковый.

Функцию \(P\left( \right)\) называют однородной функцией порядка n, если для всех t, которые больше нуля, характерно такое равенство:

Основным способом решения однородного дифференциального уравнения является подстановка y = ux, что позволяет преобразовать исходное выражение в уравнение, в котором присутствуют разделяющие переменные.

Таким образом, дифференциальное уравнение, записанное в виде:

\(\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\)

будет преобразовано в выражение, в котором имеются разделяющие переменные, путем перемещения начальной части координатной системы в точку пересечения прямых, заданных уравнением. В том случае, когда эти линии параллельны друг другу, дифференциальное уравнение можно свести к виду уравнения с разделяющими переменными с помощью подстановки переменной:

Метод решения однородного дифференциального уравнения

Проверка однородности предложенного уравнения выполняется путем замены x и y на λx и λy. Производная при этом остается неизменной. В том случае, когда все λ после преобразований будут удалены, можно сделать вывод о том, что искомое дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка.

Решить дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью выполнения последовательных действий:

Примеры решения

Задача 1

Требуется найти решение дифференциального уравнения:

Решение

Заметим, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right)\) при dx и dy представляют собой однородные функции первого порядка. Из этого можно сделать вывод о том, что записанное дифференциальное уравнение будет однородным.

Допустим, y = ux, где u – представляет собой какую-то новую функцию с зависимостью от х. В таком случае:

\(dy = d\left( \right) = udx + xdu\)

Полученное выражение можно подставить в дифференциальное уравнение:

\(\require 2xdx + \cancel — \cancel — du = 0\)

Можно поделить две части выражения на х, получим:

С помощью деления на x, можно было утратить решение x = 0. Благодаря прямой подстановке, удалось понять, что x = 0 действительно представляет собой одно из решений заданного уравнения.

Последнее выражение следует интегрировать:

В этом случае C является постоянной интегрирования.

Если вернуться к первоначальной переменной, то запись будет выглядеть следующим образом:

Получается, что у уравнения существует пара решений:

Задача 2

Необходимо найти решение для дифференциального уравнения:

\(xy’ = y\ln \large\frac\normalsize\)

Решение

Можно заметить, что корень x = 0 не относится к области определения данного дифференциального уравнения. Следует представить выражение в таком виде:

Из чего становится понятно, что уравнение однородное.

Далее можно заменить y = ux. Таким образом:

Затем следует выполнить подстановку полученного выражения в первоначальное дифференциальное уравнение:

Если разделить две части уравнения на \(x \ne 0\) :

Таким образом, выражение будет записано в виде уравнения с разделяющимися переменными:

Следует проинтегрировать обе части равенства:

В результате получим:

Постоянная С в данном случае может быть записана, как:

В этом случае уравнение примет вид:

По итогам вычислений получаем пару решений:

В итоге, все решения дифференциального уравнения можно записать с помощью одного равенства:

где C является произвольным действительным числом.

Задача 3

Дано дифференциальное уравнение, решение которого требуется найти:

Решение

В данном примере также записано однородное дифференциальное уравнение. Выражение можно представить следующим образом:

Можно подставить y = ux. В таком случае, y’ = u’x + u. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:

Преобразованное уравнение будет записано в таком виде:

Найти общее решение можно путем интеграции:

следует записать последнее уравнение в виде:

Обратная функция \(x\left( y \right)\) будет записана в таком виде:

Исходя из того, что C является произвольным числом, знак «минус» перед этой константой можно заменить на знак «плюс». Путем преобразований получим:

\(x = y\ln \left| y \right| + Cy\)

В итоге представим запись дифференциального решения:

\(x = y\ln \left| y \right| + Cy,\;\;y = 0\)

Задача 4

Требуется решить дифференциальное уравнение, которое записано в виде:

Решение

Проанализировав правую часть уравнения, можно сделать вывод, что x \ne 0 и y \ne 0. Можно выполнить подстановку: y = ux, y’ = u’x + u. В итоге получим уравнение, в котором есть разделяющие переменные:

Далее следует интегрировать полученное выражение:

Заменим 2C на постоянную C. Получаем:

Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

Источник

Что такое однородное дифференциальное уравнение

Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки \(y = ux,\) которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида \[\left( <x + y + > \right)dx + \left( <x + y + > \right)dy = 0\] преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной: \[z = ax + by.\]

Нетрудно заметить, что многочлены \(P\left( \right)\) и \(Q\left( \right),\) соответственно, при \(dx\) и \(dy,\) являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным.

Интегрируем последнее выражение: \[\int = 2\int <\frac<>> \;\;\text<или>\;\;u = 2\ln \left| x \right| + C,\] где \(C\) − постоянная интегрирования.

Возвращаясь к старой переменной \(y,\) можно записать: \[y = ux = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right).\] Таким образом, уравнение имеет два решения: \[y = x\left( <2\ln \left| x \right| + C>\right),\;\;x = 0.\]

Заметим, что корень \(x = 0\) не принадлежит области определения заданного дифференциального уравнения. Перепишем уравнение в следующей форме: \[y’ = \frac\ln \frac = f\left( <\frac> \right).\] Как видно, уравнение является однородным.

Здесь мы снова встречаемся с однородным уравнением. В самом деле, запишем его в виде: \[ >><>> > = <\frac<<\frac<<>><<>>>><<\frac<><<>> + \frac<<>><<>>>> > = <\frac<<<<\left( <\frac> \right)>^2>>><<\frac + <<\left( <\frac> \right)>^2>>> > = > \right).> \] Сделаем подстановку \(y = ux.\) Тогда \(y’ = u’x + u.\) Подставляя \(y\) и \(y’\) в исходное уравнение, получаем: \[ <\left( > \right)\left( \right) = ,>\;\; <\Rightarrow u\left( \right)\left( \right) = .> \] Разделим обе части уравнения на \(u.\) Заметим, что корень \(x = 0\) не является решением, но можно убедиться, что корень \(u = 0\) (или \(y = 0\)) будет одним из решений данного дифференциального уравнения.

Источник