Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры
Содержание:
Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.
Что такое октаэдр
Свойства октаэдра
Математические характеристики тела
Как вычислить площадь поверхности октаэдра
Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:
Здесь Sтреуг – площадь треугольника.
После подстановки значения получится требуемый результат.
Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.
Подставляем значение в первое выражение:
Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:
2. S = 8 * Sтреуг = 2 \sqrt <3>a^2.
Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 \sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.
Здесь a – длина стороны треугольника (равны).
Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.
S=2\sqrt <3>a^2=2*\sqrt <3>*5^2=2*\sqrt <3>*25=50\sqrt <3>\approx 86,6 см.
Как вычислить объём правильного октаэдра
Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:
После проведения приблизительных расчётов \frac<\sqrt 2> <3>\approx 0,47 формула принимает следующий вид :
Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:
V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 \approx 58,93
Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.
Развёртка
Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.
Рисунок развёртки октаэдра.
В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.
Октаэдр.
У октаэдра 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, к каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Обозначим длину ребра октаэдра как а, значит площадь полной поверхности октаэдра (S) и объём октаэдра (V) найдем из таких формул:
Радиус описанной сферы около октаэдра:
Радиус вписанной сферы около октаэдра:
Сумма длин всех ребер равна 24а.
Двугранный угол: α=2ϕ≈109,47°, где 
.
Свойства октаэдра.
Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.
Октаэдр легко вписывается в куб (гексаэдр), при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.
В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.
У правильного октаэдра есть симметрия Oh, которая совпадает с симметрией куба.
Развёртка октаэдра.
Симметрия октаэдра.
3 из девяти осей симметрии октаэдра проходят сквозь противолежащие
 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| В центре | Край | Лицо Нормальный | Вершина | Лицо |
|---|---|---|---|---|
| Изображение |  |  |  |  |
| Проективный симметрия | [2] | [2] | [4] | [6] |
Сферическая черепица
Октаэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
Декартовы координаты
Октаэдр с длиной ребра √ 2 может быть размещен с центром в начале координат и вершинами на осях координат; то Декартовы координаты вершин тогда
( ±1, 0, 0 ); ( 0, ±1, 0 ); ( 0, 0, ±1 ).
Площадь и объем
Площадь поверхности А и объем V правильного октаэдра реберной длины а находятся:
Таким образом, объем в четыре раза больше, чем у обычного тетраэдр с одинаковой длиной ребра, а площадь поверхности в два раза (потому что у нас 8, а не 4 треугольника).
Если октаэдр был растянут так, что он подчиняется уравнению
формулы для площади поверхности и объема расширяются, чтобы стать
Кроме того, тензор инерции вытянутого октаэдра равен
Они сводятся к уравнениям для правильного октаэдра, когда
Геометрические отношения
Октаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что в каждой вершине встречается четное число граней. Следовательно, это единственный член этой группы, у которого есть зеркальные плоскости, которые не проходят ни через одну из граней.
Используя стандартную номенклатуру для Твердые тела Джонсона, октаэдр назовем квадратная бипирамида. Усечение двух противоположных вершин приводит к квадратный двустворчатый.
Октаэдр 4-связный, что означает, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся вершины. Это один из четырех 4-х соединенных симплициальный хорошо покрытый многогранники, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Остальные три многогранника с этим свойством являются пятиугольная дипирамида, то курносый дисфеноид, и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. [1]
Октаэдр также может быть сгенерирован как трехмерный суперэллипсоид со всеми значениями, установленными на 1.
Равномерная окраска и симметрия
Есть 3 равномерные раскраски октаэдра, названного цветами треугольных граней, окружающих каждую вершину: 1212, 1112, 1111.
Октаэдр группа симметрии это Oчас, порядка 48, трехмерное гипероктаэдрическая группа. Эта группа подгруппы включить D3D (порядок 12) группа симметрии треугольного антипризма; D4ч (порядок 16) группа симметрии квадрата бипирамида; и тd (порядок 24) группа симметрии выпрямленный тетраэдр. Эти симметрии можно подчеркнуть разной окраской лиц.
Он имеет одиннадцать аранжировок сети.
Двойной
Огранка
Униформа тетрагемигексаэдр это тетраэдрическая симметрия огранка правильного октаэдра, разделяющего край и расположение вершин. У него четыре треугольных грани и три центральных квадрата.
Неправильные октаэдры
Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному многограннику. Все они имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать ребер, которые однозначно соответствуют характеристикам правильного октаэдра.
Другие выпуклые октаэдры
В более общем смысле, октаэдром может быть любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 ребер, минимум для октаэдра; неправильные октаэдры могут иметь до 12 вершин и 18 ребер. [2] Есть 257 топологически различных выпуклый октаэдры, исключая зеркальные изображения. Более конкретно, существует 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 для октаэдров с 6–12 вершинами соответственно. [3] [4] (Два многогранника являются «топологически разными», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что невозможно преобразовать один в другой, просто изменяя длину ребер или углы между ребрами или гранями.)
Некоторые более известные неправильные октаэдры включают следующее:
Октаэдра в физическом мире
Октаэдра в природе
Октаэдры в искусстве и культуре
Тетраэдрическая ферма
Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров был изобретен Бакминстер Фуллер в 1950-х годах, известный как космический каркас, обычно считается самой сильной структурой для сопротивления консоль стрессы.
Связанные многогранники
Правильный октаэдр можно дополнить до тетраэдр добавлением 4 тетраэдров на чередующихся гранях. Добавление тетраэдров ко всем 8 граням создает звездчатый октаэдр.
Это также один из простейших примеров гиперсимплекс, многогранник, образованный некоторыми пересечениями гиперкуб с гиперплоскость.
Октаэдр топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с Символы Шлефли <3,п>, переходя в гиперболическая плоскость.
| *п32 изменения симметрии правильных мозаик: <3,п> | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферический | Евклид. | Компактный гипер. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
Тетратетраэдр
Сравните эту последовательность усечения между тетраэдром и его двойником:
| *п32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.п) 2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 Строительство | Сферический | Евклидово | Гиперболический | ||||
| *332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832. | *∞32 | |
| Квазирегулярный цифры |  |  |  |  |  |  |  |
| Вершина | (3.3) 2 | (3.4) 2 | (3.5) 2 | (3.6) 2 | (3.7) 2 | (3.8) 2 | (3.∞) 2 |
Тригональная антипризма
Как тригональная антипризмаоктаэдр относится к семейству гексагональной диэдральной симметрии.
