Что такое оператор гамильтона

27.10.202320.04.2022 admin 0 Comments

Оператор Гамильтона, его использование и свойства

Лекция 16. Оператор Гамильтона, его использование и свойства. Потенциальные векторные поля, условие потенциальности. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Вспомним определение градиента скалярной функции u = u(x, y, z):

grad u =

Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение 16.1. Оператор

(16.1)

называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом s

При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» sна скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции: su = grad u; (16.2)

2) составив скалярное произведение s на вектор A = , получим дивергенцию вектора A:

s· A = ; (16.3)

3) перемножим теперь векторы s и А векторным образом. Результатом будет ротор вектора А:

s× А = (16.4)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов s и su = grad u:

s· (su) = div (grad u) = =

Определение 16.2. Оператор

Δ = s· s = s² = (16.5)

называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).

Определение 16.3. Уравнение

(16.6)

называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.

Замечание. Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции и оператора Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.

Потенциальные векторные поля.

Определение 16.4. Векторное поле A = называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

A = grad u = . (16.7)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещен-ной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (16.7) следует, что то

так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

Определение 16.5. Векторное поле A = , для которого rot A = 0, называется безвихревым.

Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихре-вым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потен-циальное.

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода

от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

Предположим, что, то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 16.1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и . Тогда для того, чтобы для любого замкну-того контура L, лежащего в области D, выполнялось условие

необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D.

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкну-тый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой – ≠ 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0) – > 0. Так как в левой части неравенства стоит непре-рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что , где L` – контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию . Следовательно, = во всех точках области D, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

. (16.9)

Замечание 2. При выполнении условий (16.9) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

(16.10)

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (16.10), равны P, Q и R.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Убедимся, что выполнены условия (16.9):

Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (16.10), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда

. Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно,

Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Определение 16.6. Векторное поле A = называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в облас-ти, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.

Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В: A = rot B. Докажем это.

Действительно, если , то

div A =

Определение 16.7. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа: Δ и = 0.

Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.

Источник

ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР

набла-оператор, С-оператор, гамильтониан,- символический дифференциальный оператор 1-го порядка, применяемый для записи основных дифференциальных операций векторного анализа. В декартовой прямоугольной системе координат с ортами Г. о. имеет вид:

Применение Г. о. к скалярной функции f(x), понимаемое как умножение «вектора» на скаляр f(x), дает градиент функции f(x).

т. е. вектор с координатами

Скалярное произведение на векторное поле дает дивергенцию поля :

Векторное произведение на векторы дает вихрь (ротор) совокупности полей т. е. вектор:

Скалярный квадрат Г. о. дает Лапласа оператор:

Справедливы следующие соотношения:

Г. о. был введен У. Гамильтоном [1].

Лит.:[1] Нamiltоn W. R., Lectures on quaternions. Dublin, 1853. Л. П. Купцов.

Полезное

Смотреть что такое «ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР» в других словарях:

Гамильтона оператор — набла оператор, ∇ оператор, дифференциальный оператор вида где i, j, k координатные орты. Введён У. Р. Гамильтоном (1853). Если Г. о. применить к скалярной функции φ(x, у, z), понимая ∇φ как произведение вектора на… … Большая советская энциклопедия

Гамильтона оператор — … Википедия

Оператор Гамильтона — Оператор Гамильтона: Иногда используемое название для оператора набла В квантовой механике гамильтониан См. также Функция Гамильтона … Википедия

оператор Гамильтона — набла набла оператор вектор (потенциального поля) — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы набланабла операторвектор (потенциального поля) EN del … Справочник технического переводчика

Оператор набла — (оператор Гамильтона) векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом … Википедия

Оператор (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор. Квантовая механика … Википедия

оператор Гамильтона — pilnutinės energijos operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hamilton operator vok. Hamilton Operator, m rus. оператор Гамильтона, m; оператор полной энергии, m pranc. opérateur de l’énergie totale, m; opérateur hamiltonien, m … Fizikos terminų žodynas

оператор Гамильтона — Hamiltono operatorius statusas T sritis chemija apibrėžtis Kvantmechaninis diferencialinis operatorius, apibūdinantis fizikinės sistemos būsenos kitimą. atitikmenys: angl. del operator; hamiltonian; Hamiltonian operator; nabla operator rus.… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Источник

Гамильтониан. Оператор энергии.

Напомним основные постулаты квантовой механики, связанные с эрмитовыми операторами:

Оператор, связанный с измерением энергии, в квантовой механике называется оператором Гамильтона или Гамильтонианом. Конкретный вид матрицы Гамильтониана зависит от деталей рассматриваемой системы. Если это система с двумя состояниями типа кубита с двумя базисными векторами, то Гамильтониан имеет вид квадратной матрицы 2х2. В общем случае он может быть и бесконечномерной матрицей.

В классической механике энергия частицы складывается из кинетической \( \displaystyle T\) и потенциальной \( \displaystyle V\). Кинетическая энергия равна:

\( \displaystyle T = \frac<2>= \frac<2m>\) где \( \displaystyle p = mv\) — импульс.

Квантовомеханический аналог получается простой заменой числового значения импульса на оператор:

Сам оператор импульса в квантовомеханическом случае выражается через оператор взятия производной:

Мы получили оператор Гамильтона в координатном базисе:

Его собственные векторы также бесконечномерные — это функции от координаты x. Аппроксимируя вторую производную квадратной матрицей и прибавляя дискретизированную функцию потенциала \( \displaystyle V\) получим конечномерную матрицу, аппроксимирующую Гамильтониан:

Все что остается — это выбрать конкретный вид функции потенциала и найти на компьютере собственные векторы и собственные значения данной матрицы.

Давайте возьмем квадратичный потенциал \( \displaystyle V = kx^2\), отвечающий линейной силе в классическом случае (пружина, маятник). Система известна как гармонический осциллятор. Найдя собственные значения мы получим, что они отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии, причем первый энергетический уровень не нулевой. Квантовый гармонический осциллятор, в отличие от классического, оказывается не может не совершать колебания (иметь нулевую энергию).

Мы наблюдаем эффект квантования. Измеренная энергия не может принимать любое значение, а только одно из разрешенных, дискретных.

Численные величины собственных значений оператора Гамильтона зависят от вида функции потенциальной энергии. Возьмем, например, второй популярный пример — потенциал в виде прямоугольной ямы.

Каждому собственному значению (энергетическому уровню) соответствует собственный вектор — волновая функция в которую перейдет вектор состояния после измерения данного собственного значения (энергии). Несколько собственных функций, соответствующих нескольким первым собственным значениям Гамильтониана с прямоугольным потенциалом приведены на рисунке.

Из рисунка понятно почему квантовомеханический вектор состояния исторически получил название волновой функции. Аналогично можно найти и спектр атома водорода взяв за \( \displaystyle V(x) \) кулоновский потенциал притяжения электрона и протона:

Оператор Гамильтона выделяется среди других эрмитовых операторов тем, что он является генератором эволюции во времени вектора состояния (поэтому он входит в уравнение Шредингера). В связи с этим ряд высказываний касательно времени можно сформулировать используя Гамильтониан. Так утверждение, что величина сохраняется означает ее неизменность с течением времени. На языке оператора Гамильтона данный факт преобразуется в:

Если данный эрмитов оператор коммутирует с Гамильтонианом, то физическая величина, представляемая данным оператором, сохраняется.

То есть, если \( \displaystyle [A,H]=AH-HA=0\), то \( \displaystyle A\) сохраняется.

Тривиальный случай — это закон сохранения энергии, поскольку любой оператор коммутирует сам с собой:

\( \displaystyle [H,H]=0 \Rightarrow\) энергия сохраняется.

Источник

61. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения.

где — единичные векторы по осям x, y, z.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа(см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далеких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного .

Свойства оператора набла

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

то есть дивергенция вектора .

Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Операторы второго порядка

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка: