Что такое оператор в квантовой механике
Основные операторы квантовой механики
Оператор координаты
Оператор координаты — просто координата. Его действие на любую функцию заключается в умножении ее на x.
Оператор импульса
Оператор импульса определяется через операторы его проекций. Операторы проекций импульса и координат подчиняются определённым правилам перестановки, которые очень облегчают расчеты с ними.
Проверим, коммутируют ли операторы координаты и импульса:
Операторы импульса и координаты не коммутируют.
Оператор кинетической энергии
Вывод оператора кинетической энергии:
Чтобы построить оператор, нужно записать классическое выражение для этой величины, а затем выразить через импульсы и координаты.
Можем предположить, что операторы импульса и кинетической энергии коммутируют, т.к. порядок дифференцирования не имеет значения.
Однако, т.к. оператор импульса и координаты не коммутируют, то оператор кинетической энергии тоже не коммутирует с оператором координаты.
Оператор потенциальной энергии
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия:
Свойства этого оператора проверяются как для оператора координаты.
Оператор полной энергии системы
Полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий.
Линейность и самосопряженность вытекает из линейности и сопряженности составляющих.
О коммутации — сложно сказать. Однако в общем случае Гамильтониан не коммутирует ни с одним оператором:
Оператор (физика)
Математические основы
| Основа |
|---|
| Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан |
| Фундаментальные понятия |
|---|
| Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект |
| Эксперименты |
|---|
| Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона |
| Формулировки |
|---|
| Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана |
| Уравнения |
|---|
| Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга |
| Интерпретации |
|---|
| Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая |
| Развитие теории |
|---|
| Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация |
| Сложные темы |
|---|
| Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего |
| Известные учёные |
|---|
| Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт |
Оператор — это математический символ для обозначения действия или программ действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы однозначно получить другую функцию.
В квантовой механике операторы действуют на волновую функцию, являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы, и обозначаются большими латинскими буквами с циркумфлексом наверху. Например:
Оператор действует на функцию, которая стоит справа от него (говорят также, что он применяется к функции или умножается на функцию):
В квантовой механике используется математическое свойство линейных самосопряженных (эрмитовых) операторов, заключающееся в том, что каждый из них имеет собственные векторы и собственные вещественные значения. Они выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин.
Содержание
Арифметические операции над операторами
Если 
, то говорят, что операторы 
коммутируют. Коммутатор операторов определяется как
Собственные значения и собственные функции оператора
Если имеет место равенство:
то 
называют собственным значением оператора 
, а функцию 
— собственной функцией оператора 
соответствующей данному собственному значению. Чаще всего у оператора имеется множество собственных значений: 
Множество всех собственных значений называется спектром оператора.
Линейные и самосопряжённые операторы
Оператор 
называется линейным, если для любой пары 
выполнено условие:
Оператор называется самосопряжённым (эрмитовым), если для любых 
выполнено условие:
При этом сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. Произведение самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор, если они коммутируют. Собственные значения самосопряжённых операторов всегда вещественны. Собственные функции самосопряжённых операторов, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны.
Операторы, используемые в квантовой физике
Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния.
В квантовой физике наблюдаемым величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, состояниям — классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Это делается в основном по двум причинам:
В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):
Действие оператора координат заключается в умножении на вектор координат.
Здесь 
— мнимая единица, 
— оператор набла.
Здесь 
— постоянная Планка, 
— оператор Лапласа.
Действие оператора здесь сводится к умножению на функцию.
В важнейшем случае спина 1/2 оператор спина имеет вид: 
, где
, 
, 
— т. н. матрицы Паули.
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Оператор (физика)» в других словарях:
Оператор — В Викисловаре есть статья «оператор» Оператор может означать: Оператор (математика) то же, что математическая функция; Оператор (биология) последовательность ДНК, принимающая участие в регуляции активности генов; Оператор… … Википедия
Физика или химия (телесериал, Россия) — Физика или химия Жанр драма,комедия В главных ролях Виктория Полторак Мария Викторова Александр Лучинин Сергей Годин Анна Невская Любовь Германова Александр Смирнов Композитор Алексей Хитман, Маина Неретина … Википедия
Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия
Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — раздел физики, посвящённый изучению св в макроскопич. тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых ч ц (молекул, атомов, эл нов и т. д.), исходя из св в этих ч ц и вз ствий между ними. Изучением макроскопич. тел занимаются и др … Физическая энциклопедия
Поле (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Поле (значения). Поле в физике физический объект, классически описываемый математическим скалярным, векторным, тензорным, спинорным полем (или некоторой совокупностью таких математических полей),… … Википедия
Функция распределения (статистическая физика) — Статистическая физика … Википедия
Статистическая физика — раздел физики, задача которого выразить свойства макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.… … Большая советская энциклопедия
Динамическая переменная (физика) — Эта статья о физическом термине. О более общем термине см. Физическая величина. У этого термина существуют и другие значения, см. Динамическая переменная. Динамические переменные описывают динамику системы в отличие от… … Википедия
Статистический оператор — матрица плотности, оператор, с помощью которого можно вычислить среднее значение любой физической величины в квантовой статистической физике (См. Статистическая физика) и, в частности, в квантовой механике (См. Квантовая механика). С. о.… … Большая советская энциклопедия
Оператор (физика)
Более технически, когда H инвариантен относительно действия некоторой группы преобразований G :
элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.
Таблица операторов классической механики
Если преобразование бесконечно малое, действие оператора должно иметь вид
Эту формулу можно переписать как
Но этот предел можно переписать в виде экспоненты:
Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в ряд по степеням:
Правую часть можно переписать как
Волновая функция
и нормализуемый, так что:
Два случая собственных состояний (и собственных значений):
Линейные операторы в волновой механике
Все вышесказанное можно записать в скобках;
А ^ знак равно ∑ j знак равно 1 п е j А ^ j <\ displaystyle \ mathbf <\ hat > = \ sum _ 
А ^ ψ знак равно ( ∑ j знак равно 1 п е j А ^ j ) ψ знак равно ∑ j знак равно 1 п ( е j А ^ j ψ ) знак равно ∑ j знак равно 1 п ( е j а j ψ ) <\ displaystyle \ mathbf <\ hat > \ psi = \ left (\ sum _
В обозначениях бюстгальтера:
Коммутация операторов Ф
Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы А ^ <\ displaystyle <\ hat >> а также B ^ <\ displaystyle <\ hat >> , коммутатор определяется как,
Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:
Это показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.
Если операторы не ездят на работу:
Ожидаемые значения операторов на Ψ
Это можно обобщить на любую функцию F оператора:
Эрмитовы операторы
Определение эрмитова оператора : [1]
Исходя из этого, в обозначениях бюстгальтера:
Важные свойства эрмитовых операторов включают:
Операторы в матричной механике
Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент ϕ j <\ displaystyle \ phi _ может быть связано с другим [3] выражением:
который является матричным элементом:
А ^ знак равно ( А 11 А 12 ⋯ А 1 п А 21 год А 22 ⋯ А 2 п ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ А п 1 А п 2 ⋯ А п п ) <\ displaystyle <\ hat > = <\ begin
Еще одно свойство эрмитова оператора состоит в том, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. [1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет использовать подходящий базисный набор векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :
я ^ знак равно ∑ я | ϕ я ⟩ ⟨ ϕ я | <\ displaystyle <\ hat > = \ sum _ | \ phi _ \ rangle \ langle \ phi _ |>
а на постоянной основе:
я ^ знак равно ∫ | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | d ϕ <\ displaystyle <\ hat > = \ int | \ phi \ rangle \ langle \ phi | \ mathrm
Обратный к оператору
Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:
а значит, для сингулярного оператора определитель равен нулю.
Таблица операторов QM
Т ^ знак равно J ^ ⋅ J ^ 2 я <\ displaystyle <\ hat[ необходима цитата ]
E ^ знак равно я ℏ ∂ ∂ т <\ displaystyle <\ hat
Независимо от времени:
E ^ знак равно E <\ displaystyle <\ hat
Примеры применения квантовых операторов
Процедура извлечения информации из волновой функции следующая. Рассмотрим в качестве примера импульс p частицы. Оператор импульса в базисе позиции в одном измерении:
Допуская это действие на ψ, получим:
Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:
Оператор (физика)
Содержание
Операторы в классической механике [ править ]
Более технически, когда H инвариантен относительно действия некоторой группы преобразований G :
элементы G являются физическими операторами, которые отображают физические состояния между собой.
Таблица операторов классической механики [ править ]
Генераторы [ править ]
Если преобразование бесконечно малое, действие оператора должно иметь вид
Эту формулу можно переписать как
T ϵ f ( x ) = ( I − ϵ D ) f ( x ) <\displaystyle T_<\epsilon >f(x)=(I-\epsilon D)f(x)>
Экспоненциальная карта [ править ]
T a f ( x ) = lim N → ∞ T a / N ⋯ T a / N f ( x ) <\displaystyle T_f(x)=\lim _
Но этот предел можно переписать в виде экспоненты:
Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в ряд по степеням:
Правую часть можно переписать как
Операторы в квантовой механике [ править ]
Математическая формулировка квантовой механики (QM) построена на концепции оператора.
Волновая функция [ править ]
Волновая функция должна быть квадратично интегрируемой (см. Пространства Lp ), что означает:
и нормализуемый, так что:
Два случая собственных состояний (и собственных значений):
Линейные операторы в волновой механике [ править ]
Все вышесказанное можно записать в скобках;
A ^ ψ = A ^ ψ ( r ) = A ^ ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r | A ^ | ψ ⟩ a ψ = a ψ ( r ) = a ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r ∣ a ∣ ψ ⟩ <\displaystyle <\begin
A ^ = ∑ j = 1 n e j A ^ j <\displaystyle \mathbf <\hat > =\sum _
A ^ ψ = ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ψ = ∑ j = 1 n ( e j A ^ j ψ ) = ∑ j = 1 n ( e j a j ψ ) <\displaystyle \mathbf <\hat > \psi =\left(\sum _
В обозначениях бюстгальтера:
A ^ ψ = A ^ ψ ( r ) = A ^ ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r | A ^ | ψ ⟩ ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ψ = ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ψ ( r ) = ( ∑ j = 1 n e j A ^ j ) ⟨ r ∣ ψ ⟩ = ⟨ r | ∑ j = 1 n e j A ^ j | ψ ⟩ <\displaystyle <\begin
Коммутация операторов на Ψ [ править ]
Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Действие коммутатора на ψ дает:
Он показывает, что измерение A и B не вызывает сдвига состояния, т.е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет помех из-за измерения). Предположим, мы измеряем A, чтобы получить значение a. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Мы снова измеряем A. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.
Если операторы не ездят на работу:
Ожидаемые значения операторов на Ψ [ править ]
Это можно обобщить на любую функцию F оператора:
F ( A ^ ) = A ^ 2 ⇒ ⟨ A ^ 2 ⟩ = ∫ R ψ ∗ ( r ) A ^ 2 ψ ( r ) d 3 r = ⟨ ψ | A ^ 2 | ψ ⟩ <\displaystyle <\begin
Эрмитовы операторы [ править ]
Определение эрмитова оператора : [1]
Отсюда в лифчиковой нотации:
Важные свойства эрмитовых операторов включают:
Операторы в матричной механике [ править ]
Оператор может быть записан в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент может быть связан с другим [3] выражением: ϕ j <\displaystyle \phi _
который является матричным элементом:
A ^ = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 n A 21 A 22 ⋯ A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n n ) <\displaystyle <\hat >=<\begin
Еще одно свойство эрмитова оператора состоит в том, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. [1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов для представления состояния квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :
а на постоянной основе:
Обратный к оператору [ править ]
Неособый оператор имеет обратный, определенный следующим образом: A ^ <\displaystyle <\hat >> A ^ − 1 <\displaystyle <\hat >^<-1>>
A ^ A ^ − 1 = A ^ − 1 A ^ = I ^ <\displaystyle <\hat ><\hat >^<-1>=<\hat >^<-1><\hat >=<\hat >>
Если у оператора нет обратного, это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:
а значит, для сингулярного оператора определитель равен нулю.
Таблица операторов QM [ править ]
p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x − q A x p ^ y = − i ℏ ∂ ∂ y − q A y p ^ z = − i ℏ ∂ ∂ z − q A z <\displaystyle <\begin >_ >_ >_Дж см −1 = N s [M] [L] [T] −1
T ^ x = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 T ^ y = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ y 2 T ^ z = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ z 2 <\displaystyle <\begin
T ^ = 1 2 m p ^ ⋅ p ^ = 1 2 m ( − i ℏ ∇ ) ⋅ ( − i ℏ ∇ ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 <\displaystyle <\begin > \cdot \mathbf <\hat > \\&=<\frac <1><2m>>(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&=<\frac <-\hbar ^<2>><2m>>\nabla ^<2>\endJ [M] [L] 2 [T] −2
T ^ x = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ x − q A x ) 2 T ^ y = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ y − q A y ) 2 T ^ z = 1 2 m ( − i ℏ ∂ ∂ z − q A z ) 2 <\displaystyle <\begin
T ^ x x = J ^ x 2 2 I x x T ^ y y = J ^ y 2 2 I y y T ^ z z = J ^ z 2 2 I z z <\displaystyle <\begin
Независимо от времени:
E ^ = E <\displaystyle <\hat
σ x = ( 0 1 1 0 ) σ y = ( 0 − i i 0 ) σ z = ( 1 0 0 − 1 ) <\displaystyle <\begin
Примеры применения квантовых операторов [ править ]
Процедура извлечения информации из волновой функции следующая. Рассмотрим в качестве примера импульс p частицы. Оператор импульса в базисе позиции в одном измерении:
Допуская это действие на ψ, получаем:
Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла, чтобы стать:
p ^ x ψ = − i ℏ ∂ ∂ x ψ = p x ψ p ^ y ψ = − i ℏ ∂ ∂ y ψ = p y ψ p ^ z ψ = − i ℏ ∂ ∂ z ψ = p z ψ <\displaystyle <\begin >_ >_ >_