Что такое оператор в математике
Оператор (математика)
Содержание
Линейные операторы [ править ]
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Ограниченные линейные операторы над банаховым пространством образуют банахову алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы [ править ]
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V :
В случае операторов из U в себя можно показать, что
Примеры [ править ]
Геометрия [ править ]
Теория вероятностей [ править ]
Исчисление [ править ]
Ряды Фурье и преобразование Фурье [ править ]
При работе с общей функцией R → C преобразование принимает интегральный вид:
Преобразование Лапласа [ править ]
Для f = f ( s ) он определяется следующим образом:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях [ править ]
Три оператора являются ключевыми в векторном исчислении :
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы Grad, Div и Curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением. [1]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).
Некоторые виды операторов:
Основная терминология
Простые примеры
Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:
F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i t ω d t = F < f ( t ) >. <\displaystyle F(\omega )=<\frac <1><\sqrt <2\pi ))>\int \limits _<-\infty >^<\infty >f(t)e^<-it\omega >\,dt=<\mathcal 
Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.
Линейные операторы
y k = ∑ l = 1 n T k l x l <\displaystyle y_.
Нулевой оператор
Единичный (тождественный) оператор
Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:
то есть как матричный оператор определяется равенством
и как интегральный оператор — равенством
∫ α β δ ( x − t ) d t = 1 <\displaystyle \int \limits _<\alpha >^<\beta >\!\delta (x-t)\,dt=1> .
Запись
В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:
Символ линейного дифференциального оператора
Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.
σ P ( ξ ) = ∑ | α | = k a α ξ α <\displaystyle \sigma _
(\xi )=\sum _<|\alpha |=k>a_<\alpha >\xi ^ <\alpha ))
и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.
Оператор (математика)
Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — математическое отображение между множествами, в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной структурой (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, числовых функций); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).
Некоторые виды операторов:
Содержание
Основная терминология [ | ]
Простые примеры [ | ]
Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:
F ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i t ω d t = F < f ( t ) >. <\displaystyle F(\omega )=<\frac <1><\sqrt <2\pi >>>\int \limits _<-\infty >^<\infty >f(t)e^<-it\omega >\,dt=<\mathcal 
Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.
Линейные операторы [ | ]
В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций y k <\displaystyle y_являются линейными функциями от старых значений x k <\displaystyle x_:
y k = ∑ l = 1 n T k l x l <\displaystyle y_.
Нулевой оператор [ | ]
Единичный (тождественный) оператор [ | ]
Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:
то есть как матричный оператор определяется равенством
и как интегральный оператор — равенством
∫ α β δ ( x − t ) d t = 1 <\displaystyle \int \limits _<\alpha >^<\beta >\!\delta (x-t)\,dt=1> .
Запись [ | ]
В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:
Символ линейного дифференциального оператора [ | ]
Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.
Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени σ P <\displaystyle \sigma _
> :
σ P ( ξ ) = ∑ | α | = k a α ξ α <\displaystyle \sigma _
(\xi )=\sum _<|\alpha |=k>a_<\alpha >\xi ^<\alpha >>
и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.
В математика, оператор обычно отображение или же функция действует на элементы Космос для создания элементов другого пространства (возможно, того же самого пространства, иногда требуется, чтобы оно было таким же пространством). Нет общего определения оператор, но этот термин часто используется вместо функция когда домен представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область применения оператора часто трудно описать явно (например, в случае интегральный оператор), и может быть расширен на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может также действовать на дифференциальные уравнения функции которых являются решениями). Видеть Оператор (физика) для других примеров.
Самые основные операторы (в некотором смысле): линейные карты, которые действуют на векторные пространства. Однако, используя «линейный оператор» вместо «линейной карты», математики часто имеют в виду действия над векторными пространствами функции, которые также сохраняют другие свойства, такие как непрерывность. Например, дифференциация и неопределенная интеграция линейные операторы; операторы, которые построены из них, называются дифференциальные операторы, интегральные операторы или же интегро-дифференциальные операторы.
Оператор также используется для обозначения символа математическая операция. Это связано со значением слова «оператор» в компьютерное программирование, видеть оператор (компьютерное программирование).
Содержание
Линейные операторы
Чаще всего встречаются операторы линейные операторы. Позволять U и V быть векторными пространствами над полем K. А отображение А: U → V линейно, если
для всех Икс, у в U и для всех α, β в K. Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы морфизмы между векторными пространствами.
Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются концепции классифицировать, детерминант, обратный оператор, и собственное подпространство.
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (назван так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Пространство последовательности действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве, сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пробелы последовательности. Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательности.
Ограниченные линейные операторы над Банахово пространство сформировать Банахова алгебра относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектры это элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы
Позволять U и V быть двумя векторными пространствами над одним и тем же упорядоченное поле (Например, р ), и они оснащены нормы. Тогда линейный оператор из U к V называется ограниченный если существует C> 0 такой, что
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве можно ввести норму, согласованную с нормами U и V:
В случае операторов из U себе можно показать, что
Примеры
Геометрия
В геометрия, дополнительные конструкции на векторные пространства иногда изучаются. Операторы, которые биективно отображают такие векторные пространства на себя, очень полезны в этих исследованиях, они естественным образом образуют группы по составу.
Операторы, сохраняющие евклидову метрику на таком пространстве, образуют группа изометрии, а те, которые фиксируют происхождение, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа. Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных наборов, образуют специальная ортогональная группа, или группа поворотов.
Теория вероятности
Исчисление
Ряды Фурье и преобразование Фурье
Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен главным образом потому, что он преобразует функцию в одном (временном) домене в функцию в другом (частотном) домене эффективным способом. обратимый. Никакая информация не теряется, так как есть оператор обратного преобразования. В простом случае периодические функции, этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоидальные волны и косинусные волны:
При работе с общей функцией р → C, преобразование принимает интеграл форма:
Преобразование Лапласа
В Преобразование Лапласа является еще одним интегральным оператором, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.
Данный ж = ж(s), он определяется:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы Grad, Div и Curl также часто ассоциируются с Тензорное исчисление а также векторное исчисление. [1]
В математика, оператор обычно отображение или же функция действует на элементы Космос для создания элементов другого пространства (возможно, того же самого пространства, иногда требуется, чтобы оно было таким же пространством). Нет общего определения оператор, но этот термин часто используется вместо функция когда домен представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область применения оператора часто трудно описать явно (например, в случае интегральный оператор), и может быть расширен на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может также действовать на дифференциальные уравнения функции которых являются решениями). Видеть Оператор (физика) для других примеров.
Самые основные операторы (в некотором смысле): линейные карты, которые действуют на векторные пространства. Однако, используя «линейный оператор» вместо «линейной карты», математики часто имеют в виду действия над векторными пространствами функции, которые также сохраняют другие свойства, такие как непрерывность. Например, дифференциация и неопределенная интеграция линейные операторы; операторы, которые построены из них, называются дифференциальные операторы, интегральные операторы или же интегро-дифференциальные операторы.
Оператор также используется для обозначения символа математическая операция. Это связано со значением слова «оператор» в компьютерное программирование, видеть оператор (компьютерное программирование).
Содержание
Линейные операторы
Чаще всего встречаются операторы линейные операторы. Позволять U и V быть векторными пространствами над полем K. А отображение А: U → V линейно, если
для всех Икс, у в U и для всех α, β в K. Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы морфизмы между векторными пространствами.
Важными понятиями, непосредственно связанными с операторами между конечномерными векторными пространствами, являются концепции классифицировать, детерминант, обратный оператор, и собственное подпространство.
Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (назван так потому, что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).
Пространство последовательности действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве, сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пробелы последовательности. Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательности.
Ограниченные линейные операторы над Банахово пространство сформировать Банахова алгебра относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектры это элегантно обобщает теорию собственных подпространств.
Ограниченные операторы
Позволять U и V быть двумя векторными пространствами над одним и тем же упорядоченное поле (Например, р ), и они оснащены нормы. Тогда линейный оператор из U к V называется ограниченный если существует C> 0 такой, что
Ограниченные операторы образуют векторное пространство. На этом векторном пространстве можно ввести норму, согласованную с нормами U и V:
В случае операторов из U себе можно показать, что
Примеры
Геометрия
В геометрия, дополнительные конструкции на векторные пространства иногда изучаются. Операторы, которые биективно отображают такие векторные пространства на себя, очень полезны в этих исследованиях, они естественным образом образуют группы по составу.
Операторы, сохраняющие евклидову метрику на таком пространстве, образуют группа изометрии, а те, которые фиксируют происхождение, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа. Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных наборов, образуют специальная ортогональная группа, или группа поворотов.
Теория вероятности
Исчисление
Ряды Фурье и преобразование Фурье
Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; он полезен главным образом потому, что он преобразует функцию в одном (временном) домене в функцию в другом (частотном) домене эффективным способом. обратимый. Никакая информация не теряется, так как есть оператор обратного преобразования. В простом случае периодические функции, этот результат основан на теореме о том, что любую непрерывную периодическую функцию можно представить в виде суммы ряда синусоидальные волны и косинусные волны:
При работе с общей функцией р → C, преобразование принимает интеграл форма:
Преобразование Лапласа
В Преобразование Лапласа является еще одним интегральным оператором, который упрощает процесс решения дифференциальных уравнений.
Данный ж = ж(s), он определяется:
Фундаментальные операторы в скалярных и векторных полях
Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, операторы Grad, Div и Curl также часто ассоциируются с Тензорное исчисление а также векторное исчисление. [1]