Смотреть что такое «ортогональная проекция» в других словарях:
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — (прямоугольная проекция) частный случай параллельной проекции, когда проектирующие лучи перпендикулярны оси проекций или плоскости проекций; используется в графических конструкторских и архитектурных работах … Большая политехническая энциклопедия
ортогональная проекция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN orthogonal projection … Справочник технического переводчика
ортогональная проекция — stačiakampė projekcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal projection; rectangular projection vok. rechteckige Projektion, f; rechtschnittige Projektion, f rus. ортогональная проекция, f; прямоугольная проекция, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas
Ортогональная проекция — частный случай параллельной проекции (См. Проекция), когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования … Большая советская энциклопедия
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — см. Проекция … Большой энциклопедический политехнический словарь
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio букв. бросание вперед), изображение пространственных фигур на плоскости (или на какой либо другой поверхности). Центральная проекция: из определенной точки О (центра проекции) через все точки данной фигуры проводятся лучи до… … Большой Энциклопедический словарь
Проекция (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекции Параллельная Прямоугольная (ортогональная) Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая Триметрическая Косоугольная Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая… … Википедия
проекция — и; ж. [от лат. projectio бросание вперёд, вдаль] 1. Матем. Изображение пространственных фигур на плоскости. Картографические проекции. Горизонтальная, вертикальная п. П. пирамиды. Вычертить детали по трём проекциям. 2. Спец. Изображение на экране … Энциклопедический словарь
ПРОЕКЦИЯ — (1) результат (см.) в виде (см.) на плоскости (поверхности) точки, линии, пространственного предмета и др. объектов; (2) один из способов получения в определённом масштабе изображения любого объёмного предмета (объекта) на плоскости.… … Большая политехническая энциклопедия
Ортогональнальная проекция прямой на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Теорема о трех перпендикулярах
Проекция прямой на плоскость
Определение 1. Ортогональной проекцией точки на плоскость называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены прямая p, перпендикулярная к плоскости α и пересекающая плоскость α в точке O.
Точка O является ортогональной проекцией на плоскость α каждой точки прямой p.
Замечание 1. Рассматриваемый в данном разделе случай ортогонального проектирования точки на плоскость α представляет собой частный случай более общего понятия проектирования точки на плоскость параллельно некоторой прямой, необязательно перпендикулярной к плоскости. Такое проектирование используется в нашем справочнике при определении понятия «призма».
Замечание 2. Если это не приводит к разночтениям, для упрощения формулировок термин «ортогональная проекция на плоскость» часто сокращают до термина «проекция на плоскость».
Определение 2. Проекцией фигуры a на плоскость α называют фигуру a’, образованную проекциями всех точек фигуры a на плоскость α.
Определение 3. Прямую, пересекающую плоскость и не являющуюся перпендикуляром к плоскости, называют наклонной к этой плоскости (рис. 2).
Все возможные случаи, возникающие при ортогональном проектировании прямой на плоскость представлены в следующей таблице
Фигура
Рисунок
Свойство проекции
Наклонная к плоскости α
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Если прямая PO пересекает плоскость α в точке O и является наклонной к плоскости α, а точка P’ является проекцией произвольной точки P этой прямой на плоскость α, то прямая P’O, лежащая в плоскости α, является проекцией прямой PO на плоскость α.
На рисунке прямая PO, где P – любая точка прямой a, является перпендикуляром к плоскости α.
Угол между прямой и плоскостью
Все возможные случаи, возникающие при определении понятия угла между прямой и плоскостью, представлены в следующей таблице.
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O. )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Углом между наклонной к плоскости (прямая PO ) и плоскостью называют угол между этой наклонной и ее проекцией на плоскость (прямая P’O )
На рисунке это угол φ
Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90° ( радиан).
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах. Если наклонная a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и проекция наклонной a’ на плоскость α перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Рассмотрим следующий рисунок 3.
На рисунке 3 буквой O обозначена точка пересечения наклонной a с плоскостью α. Точка P – произвольная точка на прямой a, а точка P’ – это проекция точки P на плоскость α. Проведем через точку O прямую b’, параллельную прямой параллельную прямой b. Если прямая b проходит через точку O, то прямая b’, совпадет с прямой b.
Поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α, то прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’. Прямая a перпендикулярна к прямой b’ по условию. Таким образом, прямая b’ перпендикулярна к двум пересекающимся прямым PO и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’, откуда вытекает, что прямая b’ перпендикулярна и к прямой a’, лежащей на плоскости POP’.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах. Если проекция a’ наклонной a к плоскости α перпендикулярна к прямой b, лежащей на плоскости α, то и сама наклонная a перпендикулярна к прямой b.
Доказательство. Как и для доказательства прямой теоремы о трех перпендикулярах, воспользуемся рисунком 3.
Прямая a’ перпендикулярна к прямой b по условию обратной теоремы. Прямая PP’ перпендикулярна к прямой b’, поскольку PP’ – перпендикуляр к плоскости α. Таким образом, прямая b’, перпендикулярна к двум пересекающимся прямым P’O и PP’, лежащим в плоскости POP’. В силу признака перпендикулярности прямой и плоскости прямая b’ перпендикулярна к плоскости POP’. Тогда, в частности, прямая b’ перпендикулярна к прямой a, лежащей на плоскости POP’.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — (прямоугольная проекция) — частный случай параллельной проекции, когда проектирующие лучи перпендикулярны оси проекций или плоскости проекций; используется в графических конструкторских и архитектурных работах.
Смотреть что такое «ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ» в других словарях:
ортогональная проекция — Перспективная азимутальная картографическая проекция, получаемая при расположении точки зрения на бесконечно большом расстоянии от центра шара. → Рис. 233, с. 515 Syn.: ортографическая проекция … Словарь по географии
ортогональная проекция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN orthogonal projection … Справочник технического переводчика
ортогональная проекция — stačiakampė projekcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. orthogonal projection; rectangular projection vok. rechteckige Projektion, f; rechtschnittige Projektion, f rus. ортогональная проекция, f; прямоугольная проекция, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas
Ортогональная проекция — частный случай параллельной проекции (См. Проекция), когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования … Большая советская энциклопедия
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ — см. Проекция … Большой энциклопедический политехнический словарь
ПРОЕКЦИЯ — (от лат. projectio букв. бросание вперед), изображение пространственных фигур на плоскости (или на какой либо другой поверхности). Центральная проекция: из определенной точки О (центра проекции) через все точки данной фигуры проводятся лучи до… … Большой Энциклопедический словарь
Проекция (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Проекция. Проекции Параллельная Прямоугольная (ортогональная) Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая Триметрическая Косоугольная Аксонометрическая Изометрическая Диметрическая… … Википедия
проекция — и; ж. [от лат. projectio бросание вперёд, вдаль] 1. Матем. Изображение пространственных фигур на плоскости. Картографические проекции. Горизонтальная, вертикальная п. П. пирамиды. Вычертить детали по трём проекциям. 2. Спец. Изображение на экране … Энциклопедический словарь
ПРОЕКЦИЯ — (1) результат (см.) в виде (см.) на плоскости (поверхности) точки, линии, пространственного предмета и др. объектов; (2) один из способов получения в определённом масштабе изображения любого объёмного предмета (объекта) на плоскости.… … Большая политехническая энциклопедия
Ортогональное проецирование. Свойства ортогонального проецирования
Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций (s^П1). В этом случае проекции геометрических фигур называются ортогональными.
Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного проецирования, а также свойства, присущие только ортогональному проецированию.
Первое свойство. В общем случае ортогональная проекция отрезка всегда меньше его натуральной длины.
Рассмотрим частные случаи:
Если a = 0 Þ |А1В1 | = |АВ |, т.е. проекция равна самому отрезку.
Второе свойство: теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна какой-нибудь плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна ей, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.
плоскость Ф = АВ Ç ВВ1
плоскость S = ВС Ç ВВ1
Третье свойство: ортогональная проекция окружности в общем случае есть эллипс.
Для получения обратимых однокартинных чертежей их дополняют необходимыми данными. Существуют различные способы такого дополнения. Например, чертежи с числовыми отметками.
Способ заключается в том, что наряду с проекцией точки А1 задаётся высота точки, т.е. её расстояние от плоскости проекций. Задают, также, масштаб. Такой способ используется в строительстве, архитектуре, геодезии и т. д. Однако, он не является универсальным для создания чертежей сложных пространственных форм.
В 1798 году французский геометр-инженер Гаспар Монж обобщил накопленные к этому времени теоретические знания и опыт и впервые дал научное обоснование общего метода построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Отсюда ведёт начало принцип построения чертежей, которым мы пользуемся и поныне.
Поставим перед собой задачу построить проекции отрезка [AB] на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2.
Пространственная модель.
П1— горизонтальная плоскость проекций;
А1В1— горизонтальная проекция отрезка;
Плоская модель.
Свойства двухкартинного комплексного чертежа Монжа:
1. Две проекции точки всегда лежат на одной линии связи установленного направления.
2. Все линии связи одного установленного направления параллельны между собой.
Безосный чертёж.
Это обстоятельство имеет место в чертежах, применяющихся в технике, и такой чертёж называется безосным.
Проиллюстрируем вышесказанное на конкретном примере.
Задача: Составить чертёж для изготовления стола (рис. 1-18).
1.Построить три проекции стола, учитывая свойства эпюра Монжа.
2. Что не хватает для выполнения по чертежу данного изделия?
3. Да, конечно, размеров.
Теперь, когда есть три изображения изделия и его размеры, имеют ли значение для изготовления изделия расстояния от изделия до плоскостей проекций, т. е. привязка к осям x, y и z (размеры 1500, 2000, 2000 на чертеже).
Безосный чертеж позволяет, не привязываясь к осям, располагать изображения в удобном для исполнителя положении, но с соблюдением проекционной связи, т.е. построение чертежа происходит по законам, установленным Гаспаром Монжем
Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов
Угол между векторами
Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один из них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены), либо равен (если векторы противоположно направлены).
Ортогональные проекции векторов
Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.
Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.
Разность между вектором и его ортогональной проекцией называют ортогональной составляющей:
— — ортогональная составляющая вектора относительно вектора ;
— — ортогональная составляющая вектора относительно прямой ;
На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора :
— на плоскость вдоль прямой (рис.1.23,в).
На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора :
— относительно оси (вектора ): (рис.1.23,а);
— относительно плоскости (рис.1.23,в).
Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).
Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).
3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.
Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника (рис. 1.24,а) или треугольников и (рис. 1.24,6)).
В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.
Алгебраическое значение длины проекции
Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:
1. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;
2. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора
2. Равенство можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами и (или, что то же самое, косинуса угла между осями, заданными ненулевыми векторами и (рис. 1.26)).
Обозначим через искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств
и свойства 1 алгебраических значений длин проекций следует:
радиан).
