Что такое ось инерции
7.4. Главные оси инерции твердого тела
Если какое-либо тело привести во вращение относительно произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменится: ось будет либо поворачиваться, либо перемещаться относительно инерциальной системы отсчета. Для того, чтобы произвольно взятую ось удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы.
Ось вращения тела, положение которой в пространстве сохраняется без приложения извне каких-либо сил, называется свободной осью тела.
Можно показать, что существуют по крайне мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Такие оси называются главными осями инерции тела.
Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Для тел, обладающих осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а две любые оси, перпендикулярные к оси симметрии и друг другу и проходящие через центр масс тела, также являются главными (рис. 7.15). Моменты инерции относительно двух последних осей равны друг другу, а момент инерции относительно оси симметрии отличен от них
Такое тело называется симметричным волчком.
Рис. 7.15. Главные оси однородного цилиндра
У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии, являются главными. Для них
Такие тела называются шаровыми волчками. Любая ось шарового волчка, проходящая через центр симметрии, является главной (а, значит, и свободной).
В общем случае главные моменты инерции тела различны, то есть
Такое тело называется асимметричным волчком. Примером асимметричного волчка может служить однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 7.16).
Рис. 7.16. Главные оси однородного параллелепипеда
При «почти» свободном вращении на тело могут действовать малые возмущения. Если при таких возмущениях ось вращения мало изменяет свое положение, то вращение называется устойчивым. В противном случае говорят о неустойчивом вращении.
Пусть для асимметричного волчка для определенности имеет место следующее соотношение между главными моментами инерции:
Можно показать, что вращение вокруг осей 1 и 3 (то есть осей с максимальными и минимальными моментами инерции) будет устойчивым, а вокруг оси 2 (с промежуточным по величине моментом инерции) — неустойчивым.
Видео 7.4. Устойчивость полета в воздухе прямоугольного параллелепипеда
Пусть тело вращается вокруг одной из главных осей, например, вокруг оси z. Тогда вектор угловой скорости имеет вид
Компоненты момента импульса тела будут равны
или в векторном виде
То есть этом случае момент импульса параллелен оси вращения
Видео 7.5. Устойчивое вращение стержня, диска и цепочки вокруг той свободной оси, которой соответствует максимальный момент инерции
Если тело вращается в отсутствие внешних сил (
), то согласно закону сохранения момента импульса в этом случае
В общем случае вектор угловой скорости вращается вокруг момента импульса. Однако если ось вращения совпадает с одной из главных осей, то ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве в отсутствие внешних сил.
Свойства главных осей инерции
Свойства главных осей инерции
Этот метод состоит из отбрасывания членов, содержащих обобщенные координаты и квадраты скорости и более высоких степеней в нелинейных дифференциальных уравнениях, и называется линеаризацией уравнения. Людмила Фирмаль
Для центробежного момента инерции Jyz, Jyz = tkUk2k = ^ mkykzk + £ tkuk (-zk) = 0, Это связано с тем, что часть тела (I), соответствующая точке с положительной координатой zk, совпадает с частью тела (II), поэтому точка имеет ту же координату zk, но имеет знак минус. Также доказано mkxkzk = 0. Потому что центробежный момент инерции — это Jyz и Jx. При исчезновении ось Oz становится главной осью инерции для точки O. Две другие основные инерционные оси перпендикулярны оси Oz, поэтому они расположены в плоскости симметрии. Центр тяжести однородного симметричного тела находится в плоскости симметрии.
Симметричные суммы вокруг осей частей тела (I) и (II) отличаются друг от друга только знаком координат Доказано, что Jyz = 0. Таким образом, ось Oz является главной осью инерции для любой точки на оси симметрии тела. Поскольку центр тяжести находится на оси симметрии, это центральная ось инерции. Теорема 4. Главная ось инерции точки O на центральной центральной оси инерции параллельна главной центральной оси инерции (рис. 33). Выберите систему с декартовыми координатными осями Ox’y’z ‘, параллельными главной инерциальной оси Cxyz в точке O главной инерциальной оси Cz.
Аксиома равенства сил действия и реакции — один из основных законов классической механики, сформулированный Ньютоном: все силы действия равны, но противоположны силам реакции. Людмила Фирмаль
Разумеется, главная ось инерции Oz точки O на центральной инерции центральной оси Cz совпадает с этой осью. Главная ось инерции не имеет таких характеристик. Главная ось инерции точки O на главной оси инерции точки O не параллельна главной оси инерции этой точки. Обычно вращается вокруг этих осей.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Оси инерции
Смотреть что такое «Оси инерции» в других словарях:
ОСИ ИНЕРЦИИ — главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к. л. точку тела и обладающие тем св вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело,… … Физическая энциклопедия
ОСИ ИНЕРЦИИ — главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь
Оси инерции — главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь
ОСИ ИНЕРЦИИ — главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь
главные оси инерции — Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика
главные оси инерции — [principal axes of inertia] три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Энциклопедический словарь по металлургии
Главные оси инерции — … Википедия
Оси главные — [principal axes]: Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии
Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Центробежный момент инерции — Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия
Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
ОСИ ИНЕРЦИИ
Полезное
Смотреть что такое «ОСИ ИНЕРЦИИ» в других словарях:
ОСИ ИНЕРЦИИ — главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь
Оси инерции — главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь
Оси инерции — главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно этих осей… … Большая советская энциклопедия
ОСИ ИНЕРЦИИ — главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь
главные оси инерции — Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика
главные оси инерции — [principal axes of inertia] три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Энциклопедический словарь по металлургии
Главные оси инерции — … Википедия
Оси главные — [principal axes]: Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии
Момент инерции — Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Центробежный момент инерции — Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия