Что такое основание геометрия
Основание в математике
Смотреть что такое «Основание в математике» в других словарях:
ОСНОВАНИЕ — • ОСНОВАНИЕ, в геометрии сторона треугольника, противолежащая углу, от вершины которого проводится высота. • ОСНОВАНИЕ, в математике число единиц в системе счисления, равное одной единице следующего, более высокого, разряда этой системы.… … Научно-технический энциклопедический словарь
ОСНОВАНИЕ — достаточное условие для чего либо: бытия, познания, мысли, деятельности. Напр., О. материальных явлений это их причины; О. поступков их мотивы; О. суждений др. суждения (посылки) или опыт. Разыскание О. наз. обоснованием; обосновать… … Философская энциклопедия
ОСНОВАНИЕ — ОСНОВАНИЕ, я, ср. 1. см. основать, ся. 2. Опорная часть предмета, сооружения, основа (в 1 знач.). Дом на каменном основании. 3. В математике: сторона геометрической фигуры или грань геометрического тела, перпендикулярная высоте. О. треугольника,… … Толковый словарь Ожегова
Конкретная математика. Основание информатики — Обложка «Конкретная математика. Основание информатики» книга Дональда Кнута, Роналда Грэхема и Орена Паташника по математике, рассматривающая математические основы информатики, особенно анализа алгоритмов. Вынесеный в заглавие книги термин… … Википедия
Сравнение в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Сравнение, в математике — Говорят, что a сравнимо с b по модулю n, если a b делится на n. Это обозначают так: a ≡ b (mod n). С. имеют много сходства с равенствами. Если f(x) целая функция с целыми коэффициентами и а ≡ b (mod n), то f(a) ≡ f(b) (mod n). Решить С. f(x) ≡ 0… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия
КОГЕН — (Cohen) Герман (1842 1918) немецкий философ, основатель и виднейший представитель марбургской школы неокантианства. Основные работы: ‘Теория опыта Канта’ (1885), ‘Обоснование Кантом этики’ (1877), ‘Обоснование Кантом эстетики’ (1889), ‘Логика… … История Философии: Энциклопедия
ЛЕЙБНИЦ — (Leibniz) Готфрид Вильгельм (1646 1716) нем. философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Изучал юриспруденцию и философию в Лейпцигском и Йенском ун тах. В 1672 1676 в Париже. С 1676 состоял на службе у ганноверских… … Философская энциклопедия
Фибоначчи — (Fibonacci) Фибоначчи первый крупный математик средневековой Европы Десятичная система счисления, арабские цифры, числа, последовательность, уровни, ряд, линии и спираль Фибоначчи Содержание >>>>>>>>> … Энциклопедия инвестора
Основание треугольника
Всего получено оценок: 97.
Всего получено оценок: 97.
Основание треугольника – это такая же сторона, как и две других. Основание редко имеет особое значение, но из-за визуальной обособленности от других сторон, ученики часто путаются и допускают ошибки. Разберем подробнее, как сторона треугольника может считаться основанием, и в каких случаях это действительно имеет значение
Стороны треугольника
У треугольника всегда три стороны. Одна из них считается основанием. Как правило, основание выделяется только построением, т.е. нижняя сторона треугольника, и приниматься за основание.
Иногда в решении указывают углы при основании произвольного треугольника. Это не совсем верно, поскольку в произвольном треугольнике все углы равнозначны, а значит не имеет смысла выделять углы при основании. Выделяются только углы при основании равнобедренного треугольника.
Нужно учитывать, что любой произвольный треугольник можно условно перевернуть, т.е. перечертить фигуру таким образом, чтобы основанием стала другая сторона. По этому разделять понятие боковых сторон и основания у произвольного треугольника не имеет смысла – это только добавит путаницы в решение задачи.
Уравнение основания треугольника, так же, как и уравнение любой из сторон треугольника, является уравнением прямой линии.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник – это единственный подвид треугольника, где основание имеет реальное практическое значение. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны между собой. Равные стороны зовутся боковыми, а третья сторона считается основанием.
Существует две теоремы об основании равнобедренного треугольника. Это:
В равнобедренном треугольнике основание определяется значением сторон: равные стороны – боковые, неравная – основание.
Рис. 2. Равнобедренный треугольник.
По ходу решения задачи может получится так, что основание окажется сбоку, не нужно этого пугаться. Стоит или привыкнуть к такому построению равнобедренного треугольника или каждый раз перечерчивать чертеж, разворачивая треугольник в нужную сторону.
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник – это частный случай равнобедренного. У равнобедренного треугольника равны две стороны, а у равностороннего все три. Но именно из-за этого свойства значение основания равнобедренного треугольника теряется.
В равностороннем треугольнике какую сторону не выбери: две другие всегда будут равны между собой, а значит любая сторона может считаться основанием.
Рис. 3. Равносторонний треугольник.
Существует формула, где часто упоминается слово основание. Это формула площади, которая равна половине произведения основания треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. Но в качестве основания может быть принята любая сторона, главное, чтобы именно на нее падала высота. Поэтому и в этом случае выбор стороны треугольника, которую можно считать основанием, некритичен.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое основание треугольника. Поговорили о ситуациях, когда стоит выделять основание среди других сторон треугольника, а когда это окажется напрасной тратой времени. Обсудили значимость основания равнобедренного треугольника.
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
раздел геометрии, в к-ром исследуются основные понятия геометрии, соотношения между ними и связанные с ними вопросы.
Важная роль основных понятий и соотношений между ними, на базе к-рых строятся определения фигур и доказываются геометрич. предложения, отмечается уже в работах античных геометров. Так, развивая дедуктивный метод в геометрии, они указывали на особую роль основных понятий, аксиом и постулатов, составляющих фундамент геометрии. В «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) аксиомам и постулатам предпослана цепь определений всех понятий, к-рые используются в дальнейшем изложении. Среди этих определений особое место принадлежит понятиям «точка», «прямая», «плоскость», определения к-рых не опираются на другие геометрич. понятия. Сами определения этих основных понятий с геометрич. точки зрения неудовлетворительны, т. к. они выражают лишь характерное физич. свойство (напр., «точка есть то, что не имеет частей», т. е. под точкой понимается малое физически неделимое тело). Поэтому уже в трудах геометров, написанных почти одновременно с «Началами», содержатся многочисленные комментарии и критич. анализ определений основных и других геометрич. понятий, аксиом и постулатов. Но это были лишь уточнения, не затрагивающие основы определений. По существу, доказательства многих гоометрич. теорем опирались в основном на наглядность чертежа, на физич. осуществимость необходимых геометрич. построений, а не выводились строго логически из аксиом и постулатов. Только в 19 в. и особенно в нач. 20 в. появляются работы, в к-рых выясняется все глубокое значение основных понятий и соотношений между ними для логически безупречного дедуктивного метода построения геометрии и ее обоснования. Причем во многом этому углубленному анализу основ геометрии способствовало открытие неевклидовой геометрии Лобачевского (1826). Результаты по обоснованию евклидовой геометрии на основе тех же принципов и понятий, что и в «Началах» Евклида, содержатся в работах Дж. Пеано (G. Реапо, 1894), М. Паша (М. Pasch, 1882), М. Пиери (М. Pieri, 1899), Д. Гильберта (D. Hilbert) и др. Наибольшую известность получила Гильберта система аксиом евклидовой геометрии (1899). Добиваясь логически удовлетворительного построения евклидовой геометрии, Д. Гильберт выделил 5 групп аксиом, показал их необходимость и достаточность для построения всей евклидовой геометрии. Вместе с тем впервые была проведена логич. обработка всей системы, выяснена непротиворечивость системы с помощью построения числовой модели, установлена независимость групп аксиом, а также полнота системы. В отличие от концепции пространства как «места» для всех фигур, проводимой в «Началах», Д. Гильберт рассматривает его как множество всех «точек», «прямых», «плоскостей» и фигур, построенных на основе этих понятий.
Набор основных понятий в системе Гильберта был заимствован (и уточнен) из «Начал», однако эта система является, по существу, чисто геометрич. схемой, свободной от ссылок на наглядность чертежа. Вместе с тем язык геометрии, построенной на основе системы Гильберта, почти не отличается от языка «Начал».
Почти одновременно с системой Гильберта появились и др. системы аксиом евклидовой геометрии. Так, в системе Ф. Шура (F. Schur, 1909) в качестве основных понятий были «точка», «отрезок» и т. д., а вместо «конгруэнтности» фигур в этой системе вводилось понятие «движение». Введение понятия «движение» позволило применить в геометрии групповой подход к исследованию движений, алгебраизировать методы исследования. Упомянутые выше геометрич. схемы не полностью удовлетворяют требованиям дальнейшего обобщения понятия пространства и др. понятий и, кроме того, недостаточно «алгебраичны».
Новые подходы к обоснованию евклидовой геометрии потребовали выработки нового «языка», с помощью к-рого оказывается возможным провести соответствующие дальнейшие обобщения понятий, алгебраизацию доказательств, классификацию объектов и т. д. Одной из распространенных схем основания евклидовой геометрии, в к-рой сконцентрированы возможности обобщений, перевода на язык алгебры геометрич. понятий, является система аксиом, предложенная Г. Вейлем (Н. Weil, 1916). Ниже приводится одна из транскрипций схемы Вейля.
На основе этой группы аксиом определяется сумма векторов, к-рая удовлетворяет требованиям коммутативности и ассоциативности. Существует нуль-вектор, противоположный вектор. Векторы по сложению образуют группу.
С помощью операций сложения и умножения на число определяется линейная комбинация векторов, их линейная зависимость.
Эта аксиома имеет топологич. характер; из нее вместе со второй группой аксиом следует, что R 3 является топологич. пространством размерности 3. Первые три группы аксиом определяют трехмерное аффинное пространство.
Схема Вейля допускает обобщение на случай любой размерности, с помощью соответствующего изменения аксиом в эту схему включаются гиперболич. и эллиптич. пространства и т. д.
В качестве основных понятий при создании схемы евклидовой геометрии могут быть положены геометрич. преобразования. Так, в системе аксиом Ф. Бахмана (P. Bachmann) в качестве такого понятия вводится преобразование симметрии. С помощью симметрии, порождающих группу движений евклидовой (метрической) плоскости, определяются «точки» и «прямые» как инволютивные элементы этой группы. Теоретико-групповые отношения являются основой при определении понятий «инцидентность», «ортогональность» и т. п., геометрич. доказательства заменяются вычислениями, переводятся на язык алгебры.
Групповой подход впервые был четко сформулирован в эрлангенской программе Ф. Клейна: геометрич. пространство определяется как множество Ф с фиксированной группой Wего преобразований; объектом геометрии является изучение W-инвариантных свойств пространства. (Напр., n-мерное аффинное пространство А n определяется как множество, на к-ром просто транзитивно действует векторная группа размерности п.) С. Ли, Ф. Клейн, А. Кэли провели исследование групп преобразований, на основе к-рого возникают новые возможности в классификации и обосновании евклидовой и неевклидовых геометрий как геометрий определенных групп преобразований. Геометрия становится учением об инвариантах групп преобразований, и О. г. опирается на теорию групп.
В работах Б. Римана был разработан метрич. подход к О. г. Геометрич. пространство рассматривается как множество, снабженное метрикой, к-рая удовлетворяет тем или иным аксиомам. Б. Риман показал, что все внутренние свойства пространства определяются заданной квадратичной дифференциальной формой (кривизна, геодезич. линии и т. д.), тем самым были открыты широкие классы различных метрич. геометрий. Впервые классификация пространств и их геометрий была осуществлена на метрич. основе. Б. Риман указал на особую роль выбора координат в точечном многообразии для исследования самих квадратичных форм. Так, для пространства постоянной римановой кривизны Б. Риман привел стандартный вид, к к-рому может быть приведена квадратичная форма путем соответствующего выбора координат.
Координатный метод евклидовой геометрии был обобщен для различных пространств, а также нашел развитие в дифференциальной геометрии; понятие многообразий, опирающееся на выбор координатных систем, получает многочисленные применения в геометрии. Групповой подход к исследованию преобразований дифференциально-геометрич. объектов позволил создать теорию инвариантов метрических (квадратичных) форм. Эта теория инвариантов групп преобразований явилась основой для построения и логич. обоснования современной дифференциальной геометрии. В качестве одного из основных понятий выкристаллизовалось понятие геометрич. объекта, геометрия рассматривается как геометрических объектов теория. Понятие дифференцируемого многообразия позволяет дать строгие определения дифференциально-геометрич. объектам, в частности обосновать методы анализа в геометрии и геометрич. методы в анализе.
Обоснование евклидовой (и, вообще, любой) геометрии, опирающееся на определенную систему аксиом, обнаруживает особую роль теоретико-множественных принципов при логич. анализе систем аксиом. Именно, независимость и непротиворечивость системы аксиом может быть установлена путем построения числовой модели, реализующей эту систему. Поэтому теория множеств в О. г. является своего рода эталоном безупречного логич. построения геометрич. теории. Геометрич. аксиомы непрерывности (и полноты) по существу являются нек-рыми эквивалентами теоретико-множественных аксиом.
Построение геометрии над определенным полем обосновывается путем применения понятий теоретико-множественного характера. Начиная с создания декартовой аналитич. еометрии, идея отображения множества точек на множество действительных чисел (или на произвольное числовое множество) приобретает большое значение для О. г. Развитие этой идеи позволяет определить и классифицировать геометрии по тому числовому множеств, над к-рым они построены.
В О. г. широко применяются теоретико-множественные методы для изучения геометрич. преобразований. Как уже отмечалось выше, инварианты групп преобразований являются предметом изучения в определенной этой группой геометрии. Важное применение теории инвариантов (проективных) преобразований нашел Ф. Клейн для интерпретации неевклидовых пространств и доказательства непротиворечивости неевклидовых геометрий. Углубленному анализу подверглись такие понятия, как «угол», «ортогональность» и т. д. Исследования проективных комплексных пространств, различных проективных мероопределений имеют большое значение в классификации пространств с определенной структурой.
В О. г. применяются также топологич. методы классификации многообразий, с помощью этих методов выявляются наиболее существенные различия между классами и типами многообразий, исследуются глобальные их свойства.
Изучение средств, используемых в доказательствах теорем на основе данной системы аксиом, является одной из важных проблем в О. г. В «Началах» Евклида для доказательств применялась классич. логика Аристотеля. Много внимания уделил этим вопросам Д. Гильберт, наметивший основные задачи математич. логики. Непротиворечивость систем геометрич. аксиом устанавливается путем построения числовых моделей этих систем и их логического исследования.
Значительное место в О. г. занимают вопросы измерения отрезков, площадей, объемов. Понятия меры отрезка, площади, объема основываются на определенных группах аксиом. Так, напр., теория площадей многоугольников на евклидовой плоскости в системе аксиом Гильберта обосновывается аксиомами, относящимися только к плоскости и независимо от аксиом непрерывности (см. Неархимедова геометрия, Непаскалева геометрия).
В О. г. исследуется проблема о материальных объективных истоках геометрич. понятии и систем аксиом. Одним из принципов построения геометрич. систем долгое время являлся принцип физич. осуществимости системы на какой-либо материальной модели. Как отмечалось выше, еще в «Началах» была сделана попытка дать истолкование основных понятии с точки зрения их физич. свойств. В кон. 19 в., после открытия геометрии Лобачевского, вновь возник вопрос об объективной возможности других, отличных от евклидовой, геометрий. Проблему объективного существования неевклидовых геометрий многие геометры решали путем построения физич. моделей, с помощью к-рых пытались убедиться в независимости и непротиворечивости геометрич. систем аксиом. Так, Н. И. Лобачевский пытался обосновать непротиворечивость выводов, вытекающих из его аксиомы о параллельных, путем физич. измерений дефектов треугольников гигантских размеров, вершины к-рых располагались на удаленных от Земли космич. телах, чтобы убедиться в том, что дефекты различны для различных треугольников и что сумма внутренних углов треугольников может быть меньше двух прямых углов. Попытку обосновать существование различных метрич. геометрий предпринял Г. Гельмгольц (Н. Helmholtz). и работе, написанной вскоре после появления результатов Б. Римана. Основным понятиям, к-рыми оперирует метрич. геометрия, Г. Гельмгольц дал физич. истолкование, в основу геометрич. свойств пространства он положил нек-рые физич. законы, из к-рых вытекает возможность построения геометрии этого пространства. Эвристическим путем из основных физич. законов Г. Гельмгольц получил метрику пространства в виде дифференциальной формы, к-рая, как показал Б. Риман, определяет все внутренние свойства пространства. Вместо гипотез, лежащих в О. г., предложенных Б. Риманом, Г. Гельмгольц рассматривал факты, из к-рых вытекали те же выводы в метрич. геометрии, подчеркивая тем самым опытную проверку справедливости (непротиворечивости) этих выводов.
Объективно работы по опытной проверке геометрич. систем служили распространению новых геометрич. идей, способствовали появлению углубленного логич. анализа геометрич. систем, выработке современных основных требований к этим системам. Вместе с тем попытки физич. обоснования геометрии способствовали проникновению геометрических идей и методов в различные области математики, физики и механики.
О. г. имеют большое значение в методологии геометрии. В процессе преподавания современных курсов геометрии в университетах и педагогич. вузах раздел О. г. занимает одно из центральных мест. В связи с этим все большую роль играет выбор системы основных понятий и аксиом, чтобы «сократить» путь от самих аксиом до выводимых из них содержательных теорем, находящих практич. применение (в частности, в решении задач).
Лит.:[1] Начала Евклида, кн. 1-15, пер. с греч., М., 1948-50; [2] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948; [3] Веблен О., Уайтхед Д ж., Основании дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1949; [4] Об основаниях геометрии, М., 1956; [5] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1-2, М.- Л., 1949-56; [6] Каган В. Ф., Очерки по геометрии, М., 1903; [7] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [8] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [9] Бахнан Ф., Построение геометрии на основе понятия симметрии, пер. с нем., М., 1969; [10] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Истории неевклидовой геометрии, М., 1976; [11] II о г о р е л о н А. В., Элементарная геометрия, 2 над., М., 1974; [12] Шоке Г., Геометрия, пер. с франц., М., 1970; [13] Д о н е д д ю А., Евклидова планиметрия, пер. с франц., М., 1978; [14] К а р т е с и Ф., Введение в конечные геометрии, пер. с англ., М., 1980.
Основания геометрии (обзорная лекция, ОЗО)
Основания геометрии (обзорная лекция, ОЗО)
В тексте даны ссылки на пособие «Лекции по геометрии», ч.3
1. Аксиоматический метод построения теории. Модель системы аксиом. Непротиворечивость. Критерий непротиворечивости (стр. 4-5).
Опр1. Говорят, что теория Т построена на основе аксиоматического метода, если:
1. Перечислены (без определения) основные понятия теории Т (например, точка, прямая, плоскость, принадлежность и т. д. в случае, когда Т – евклидово пространство).
2. Сформулированы аксиомы А1, А2, …, Аn, обозначим их ∑, в которых сообщены некоторые свойства основных понятий необходимые для построения теории Т.
3. Все понятия теории Т, не являющиеся основными, определенны через основные или понятия ранее определенные (например, треугольник, окружность, куб и т. д.).
4. Все предложения (утверждения, теоремы), не являющиеся аксиомами, доказаны на основе аксиом и ранее доказанных предложений (например, теорема Пифагора и т. д.).
Опр2. Говорят, что на базе некоторой теории Т0 построена модель М системы аксиом ∑ = <А1, А2, …, Аn>теории Т, если в теории Т0 удалось придать конкретный смысл основным понятиям теории Т так, что все аксиомы ∑ оказались выполненными.
Пример. Связка прямых и плоскостей евклидова пространства является моделью проективной плоскости: точка модели – прямая связки, прямая модели – плоскость связки.
Опр3. Система аксиом ∑, состоящая из аксиом А1, А2, …, Аn, непротиворечива, если из этой системы аксиом нельзя вывести два противоречащих друг другу утверждения.
Критерий непротиворечивости. Система аксиом ∑ непротиворечива, если существует модель этой системы, построенная на базе некоторой непротиворечивой теории Т0.
Доказательство. Если предположить противное, то в теории Т0, на базе которой построена модель М, можно вывести два противоречащих друг другу утверждения.
2. Независимость системы аксиом. Критерий независимости, доказательство (стр. 4).
Опр1. Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом этой системы нельзя вывести из остальных аксиом как теорему.
Пример: Аксиомы инцидентности Р1, Р2 и размерности Р3 проективной плоскости.
Критерий независимости. Система аксиом независима, если для любой её аксиомы новая система, полученная заменой в данной системе этой аксиомы на её логическое отрицание, будет непротиворечивой.
3. Полнота системы аксиом. Критерий полноты, доказательство критерия (стр. 5).
Опр1. Две модели называются изоморфными, если между её одноимёнными объектами установлены взаимнооднозначные соответствия, сохраняющие соответствующие отношения.
Опр2. Система аксиом ∑ называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной аксиомы, которая:
1) в объединении с ∑ даёт непротиворечивую систему аксиом;
2) независима от аксиом ∑, т. е. ее нельзя вывести как теорему из аксиом системы ∑.
Критерий полноты. Система аксиом ∑ полная, если все её модели изоморфны.
Доказательство. Предположим, что все модели системы аксиом ∑ изоморфны, но ∑ не является полной. Тогда существует аксиома А, для которой выполняются 1) и 2). Из 1) следует, что для ∑ в объединении с А существует модель 
. Из 2) и из критерия независимости аксиомы А от ∑ следует, что для системы аксиом, представляющей собой объединение ∑ и логического отрицания А, существует модель 
. Очевидно, что эти две модели являются моделями системы аксиом ∑, так как ∑ является частью обеих объединённых систем аксиом. Но эти модели очевидно не изоморфны, так как в модели выполняется аксиома А, а в модели — логическое отрицание А. Полученное противоречие завершает доказательство критерия.
4. «Начала» Евклида. Аксиоматический метод в «Началах». Терема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника (стр. 5-12).
Перечислить некоторые определения, с которых начинается каждая из 13 книг (точка, линия, концы линии, прямая, поверхность, концы поверхности, плоская поверхность, плоский угол, прямолинейный угол, прямой угол и т. д.). Перечислить постулаты и некоторые аксиомы (постулаты: единственная прямая через две точки, ограниченную прямую можно продолжить непрерывно, можно построить окружность всяким радиусом, все прямые углы равны; если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых).
Доказать теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника.
5. Аксиомы соединения (принадлежности) Д. Гильберта. Теорема о том, что каждая плоскость содержит, по крайней мере, три неколлинеарные точки (стр. 13-15).
Сформулировать 8 аксиом соединения системы аксиом Д. Гильберта (1. Для любых двух точек существует прямая, содержащая каждую из них; 2. Для любых двух точек существует не более одной прямой, содержащей их; 3. На любой прямой существуют, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три неколлинеарные точки; 4. Для любых трёх неколлинеарных точек существует плоскость, содержащая их. Для любой плоскости существует принадлежащая ей точка; 5. Для любых трёх неколлинеарных точек существует не более одной плоскости, содержащей их; 6. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости; 7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере ещё одну общую точку; 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости). Обосновать непротиворечивость группы аксиом соединения.
Доказать теорему о том, что каждой плоскости принадлежит по крайней мере три неколлинеарные точки.
6. Аксиомы порядка Д. Гильберта. Теорема о том, что прямая не может пересекать три стороны треугольника во внутренних точках сторон (стр. 15-18).
Сформулировать 4 аксиомы порядка (1. Если точка В лежит между точками А и С, то эти точки – три различные точки прямой, причём В лежит между С и А; 2. Для любых двух точек А и В на прямой АВ существует по крайней мере одна точка С такая, что точка В лежит между А и С; 3. Среди любых трёх точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими; 4. Если прямая лежит в плоскости треугольника, не проходит через его вершины и пересекает одну из его сторон, то она пересекает ещё одну его сторону).
Доказать теорему о том, что прямая не может пересекать три стороны треугольника во внутренних точках сторон.
7. Аксиомы конгруэнтности и непрерывности Д. Гильберта. Доказательство первого признака равенства треугольников. Теоремы Лежандра (формулировки). (стр. 20-27).
Сформулировать 5 аксиом конгруэнтности (1. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному; 2. Если два отрезка равны третьему, то первый равен второму; 3. Пусть АВ и ВС – два отрезка одной прямой, не имеющие общих внутренних точек, DE и EF два отрезка одной прямой, также не имеющие общих внутренних точек. Если при этом AB=DE и BC=EF, то AC=DF; 4. В заданную полуплоскость относительно прямой, содержащей заданный луч, можно отложить и притом единственный угол равный данному; 5. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то и вторая пара соответсвенных углов треугольника равны между собой).
Доказать теорему (первый признак равенства треугольников, стр. 20).
Сформулировать 2 аксиомы непрерывности (1. Для любых двух отрезков можно столько раз отложить один из них, что получится отрезок, превышающий второй; 2. Если имеется бесконечная последовательность вложенных друг в друга стягивающихся отрезков, то существует точка, лежащая внутри всех отрезков последовательности).
Сформулировать теоремы Лежандра (Первая: сумма внутренних углов любого треугольника не превышает двух прямых углов. Вторая: Если сумма внутренних углов одного треугольника равна двум прямым, то сумма внутренних углов любого другого треугольника равна двум прямым).
8. Аксиома параллельности системы аксиом Д. Гильберта. Теорема об эквивалентности аксиомы параллельности и пятого постулата. (стр. 29-30).
Сформулировать аксиому параллельности (Даны прямая и не принадлежащая ей точка. В плоскости, определяемой этой точкой и прямой, существует не более одной прямой, проходящей через эту точку и параллельной данной прямой).
Доказать лемму о том, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
Опр.: Два утверждения А и В называются эквивалентными относительно некоторой системы аксиом, если из этой системы аксиом и А можно вывести В и, наоборот, из этой системы аксиом и В можно вывести А.
Доказать теорему о том, аксиома параллельности и пятый постулат эквивалентны относительно аксиом абсолютной геометрии. Под абсолютной геометрией понимается теория, которая строится на основе первых четырех групп аксиом Гильберта, т. е. всех аксиом за исключением аксиомы параллельности.
9. Система аксиом плоскости Лобачевского. Параллельность прямых и угол параллельности. Теорема о том, что если прямая параллельна другой прямой в некоторой точке, то она параллельна ей в этом же направлении и в любой другой точке. (стр. 36-39).
Сформулировать аксиому Лобачевского (Существуют прямая и точка, ей не принадлежащая, что через эту точку проходит не менее двух прямых, не пересекающих данную прямую и лежащих с ней в одной плоскости).
Определить параллельные прямые (прямая АВ параллельна прямой СD в точке А и в направлении от С к D, если, во-первых, АВ и СD не имеют общих точек (критерий непересечения) и, во-вторых, любой луч с началом в точке А и лежащий внутри угла САВ пересекает прямую СD (критерий угла)) и угол параллельности (если прямая АВ параллельна СD в точке А и в направлении от С к D, причём С – ортогональная проекция А на СD, угол САВ называется углом параллельности прямой АВ в точке А). Доказать теорему о том, если прямая параллельна другой прямой в некоторой точке в некотором направлении, то она параллельна ей в этом же направлении и в любой другой своей точке (стр. 38-39).
10. Сумма внутренних углов треугольника и четырехугольника на плоскости Лобачевского. Теорема о равенстве треугольников по трем углам. (стр. 39-40).
Используя теоремы Лежандра (и теорему о том, что если сумма внутренних углов любого треугольника равна 180º, то выполняется аксиома параллельности), обосновать следующие два утверждения:
1) сумма внутренних углов любого треугольника на плоскости Лобачевского меньше двух прямых углов, и
2) сумма внутренних углов любого четырёхугольника с непересекающимися противоположными сторонами меньше четырёх прямых углов.
Доказать теорему о том, что треугольники равны по трём углам (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского).
11. Параллельные и сверхпараллельные (расходящиеся) прямые на плоскости Лобачевского, свойства. Теорема о сверхпараллельности двух прямых, имеющих равные внутренние накрест лежащие углы при пересечении их третьей прямой. (40-50).
Определить параллельность прямых на плоскости Лобачевского.
Доказать теорему о том, что если прямая а параллельна с в некотором направлении, то и прямая с параллельна а в том же направлении.
Дать определение сверхпараллельных прямых и доказать теорему о том, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие (или соответственные) углы равны, то две данные прямые сверхпараллельны (стр 42). Дать определение эквидистанты (линия равных расстояний или траектория точки относительно пучка сверхпараллельных прямых) и орицикла (траектория точки относительно пучка параллельных прямых). Сформулировать некоторые свойства этих линий.
12. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Проверка аксиом соединения (принадлежности) и аксиомы Лобачевского. Расстояние между точками, величина угла, угол параллельности (51-63).
Построить модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Проверить некоторые аксиомы плоскости Лобачевского, например, аксиомы принадлежности и аксиому Лобачевского. Знать о том, что угол параллельности α удовлетворяет следующей зависимости
, где х – расстояние от точки до прямой.