Что такое основание классификации множества

1. Конечное множество по признаку мощностихарактеризуется:

Два множества А и В называются эквивалентными, или, равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Пример: Рассмотрим множества, состоящие из букв слов:

; ; ; .

Множества А, В и С имеют равные мощности: , а мощность множества D меньше .

При этом, множества А и В равны, а множества А и С – эквивалентны.

Эталоном для сравнения множеств служит натуральный ряд чисел. Поэтому все числовые последовательности, содержащие различные элементы, эквивалентны натуральному ряду чисел, что видно по их индексам.

2. Бесконечное множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, называется счетным.

Говорим, что все элементы счетного множества пронумерованы.

В противном случае бесконечное множество будет несчетным.

В 1878 году Георг Кантор доказал, что множество точек, расположенных на отрезке от 0 до 1 несчетно.

Во множестве могут быть выделены подмножества.

Если каждый элемент множества K принадлежит множеству М, то множество К называют подмножеством множества М и обозначают .

1) множество всех книг данного автора в библиотеке, есть подмножество всех книг в библиотеке.

2) множество студентов, обучающихся на «4» и «5» в группе есть подмножество всех студентов группы.

3) четных чисел меньших или равных 6, есть подмножество множества .

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Количество подмножеств для исходного множества может быть рассчитано.

Для этого познакомимся с термином булеан.

Булеаноммножества М (N(M)) называется множество всех его подмножеств.

Рассмотрим множество . Составим все подмножества множества М.

, , ,

, , , , ,

, , ,

.

Подмножества и являются несобственными подмножествами множества М,

остальные – 2-15 – это собственные подмножества.

Всего мы нашли 16 различных подмножеств множества М. Это число 16 может выразить: .

В общем случае, для любого конечного множества, состоящего из n элементов, число возможных подмножеств равно .

Множество U, состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком, называется универсальным.

Вопрос 2. Операции над множествами

И свойства операций

Множества изображаются при помощи диаграмм Эйлера-Венна (круги на плоскости).

Элементы множества изображаются точками:

— внутри круга, если они принадлежат данному множеству;

— вне круга, если не принадлежат.

, .

Основными операциями над множествами являются операции:

— пересечение,

— объединение,

— разность,

1. Пересечением множеств А и Вназывается множество , состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А так и множеству В.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна пересечение множеств изображается следующим образом:

2. Объединением множеств А и Вназывается множество , состоящее из элементов, которые принадлежат или множеству А или множеству В.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна объединениемножеств изображается следующим образом:

3. Разностью множеств А и В называется множество , состоящее из элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Пример: Если , , то .

Разность множеств изображается следующим образом:

По диаграмме видно, что можно заменить на .

4. Симметрической разностью А и Вназывается множество , состоящее из элементов множеств А или В, но не принадлежащих этим множествам одновременно.

Пример: Если , , то .

При помощи диаграмм Эйлера-Венна симметрическая разность множеств изображается следующим образом:

5. Дополнением множества А до множества U называется множество , состоящее из элементов множества U, которые не принадлежат множеству А.

При помощи диаграмм Эйлера-Венна дополнение множества изображается следующим образом:

Свойства операций

Операции над множествами обладают рядом свойств, похожих на свойства операций сложения и умножения чисел.

1. Коммутативность (переместительное свойство)

2. Ассоциативность (сочетательное свойство)

5. Дистрибутивность пересечения относительно объединения

(распределительный закон)

6. Дистрибутивность объединения относительно пересечения

5. Закон поглощения

6. Закон де Моргана

7. Закон склеивания

8.Ззакон Порецкого

Объединение (сложение)	Пересечение (умножение)
,	,
,	,

Используя эти операции можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется операция дополнения, затем пересечения и только затем операции объединения и разности. Для изменения порядка в выражении используют скобки.

Пример. Доказать справедливость следующего равенства и проверить результат на диаграмме Эйлера-Венна: .

Решение. Преобразуем по очереди левую и правую части данного равенства:

1) . Заменили разность на пересечение с дополнением.

2)

.

Использовали переход от разности к пересечению, закон де Моргана, свойство дистрибутивности, свойство и .

После преобразования видно, что левая и правая части равенств одинаковые, следовательно, равенство доказано.

Проверим равенство на диаграмме Эйлера-Венна.

Источник

Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.

Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.

Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:

1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;

2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.

Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.

Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается

на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.

Источник

Что такое основание классификации множества

2.2. Классификация множеств. Подмножества

Для дальнейшего изучения множеств попытаемся дать некоторую их классификацию. Прежде всего, множества можно разделить на конечные и бесконечные.

В математике приходится сталкиваться и с другими – не конечными, или, как принято говорить, с бесконечными множествами. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости и т.д.

Пустым множеством является и множество корней системы уравнений:

Без введения пустого множества мы не могли бы, скажем, говорить о множестве корней произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное уравнение имеет хотя бы один корень. Существование этого понятия сокращает и упрощает формулировки многих теорем, облегчает введение новых понятий.