Что такое остаток ряда

Остаток ряда

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Свойства

Для остатка ряда справедливы следующие утверждения:

Существуют способы оценки остатка ряда с помощью интегрального признака Коши (для знакоположительного ряда) и Признака сходимости Лейбница (для знакочередующегося ряда).

Полезное

Смотреть что такое «Остаток ряда» в других словарях:

Остаток — Остаток: В математике: Остаток от деления число, образующееся при делении с остатком. Остаток ряда ряд, полученный отбрасыванием n первых членов от исходного ряда. В астрономии: Остаток сверхновой газопылевое образование, результат… … Википедия

ОСТАТОК НЕЛЕТУЧИЙ (КОКСОВЫЙ) В УГЛЯХ — получается при определении выхода летучих веществ в условиях тигельной пробы (ГОСТ 6382 65). Различают О. н. порошкообразный, слипшийся, слабоспекшийся, спекшийся несплавленный; сплавленный невспученный, сплавленный вспученный и сплавленный… … Геологическая энциклопедия

Неогубленный гласный среднего ряда средне-нижнего подъёма — Гласные Передние Ненапряж. передние Средние Ненапряж. задние Задние … Википедия

Знакочередующийся ряд — Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов Признак Лейбница признак… … Википедия

Знакопеременный ряд — Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов Признак Лейбница признак сходимости… … Википедия

ЛЕЙБНИЦА ПРИЗНАК — сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине. Признак установлен Г.… … Математическая энциклопедия

Метод Самокиша — (Формула Стенжера) метод численного интегрирования интегралов с особенностями. Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [ 1;1] Пусть требуется вычислить оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании… … Википедия

Метод самокиша — (Формула Стенжера) метод численного интегрирования интегралов с особенностями. Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [ 1;1] Пусть требуется вычислить оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на… … Википедия

Терпены и их производные — класс соединений, важных в практическом отношении и весьма интересных в теоретическом; большею частью вырабатываются и выделяются растениями в виде так наз. эфирных масел (см.), но известно также много искусственно получаемых представителей этого … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Мукомольное производство* — на современных больших промышленных мельницах представляет более или менее длинный ряд операций, производимых над хлебными зернами, с целью извлечения из них муки. Наиболее упрощенное производство муки, которое ведется на сельских мельницах,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Источник

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Помощь с отчетом по практике

Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся ряд

Вычисление суммы ряда обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут Sn:S » Sn. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.

Определение: Если числовой ряд сходится, то разность Rn=S–Sn называется n–м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Заметим, что .

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна |Rn|=|S–Sn|. Найти интегралы от рациональных дробей

Однако в общем случает находить точно Rn не удается.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)–го члена ряда.

Доказательство: Пусть ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда n–й остаток ряда Rn= ± (Un+1–Un+2+Un+3–…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn| £ |Un+1|. Теорема доказана.

Пример: Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда .

Определение функциональной зависимости Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. . Поэтому S » 1–0,166 » 0,84.

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

Определение. Если при ряд (1) сходится, то называется точкой сходимости ряда (1).

Определение. Множество всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от . Будем ее обозначать .

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда).

Областью сходимости степенного ряда:

является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки и , где (если этот предел существует). В каждой точке интервала ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Применим к ряду (3) признак Даламбера.

Возможны три случая.

1.Если или , или , то ряд (3) сходится. Но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (2), причем абсолютно.

2.Если , то ряд (3) расходится.

В этом случае , то есть при достаточно больших , значит и , следовательно, ряд (2) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание. Всякий степенной ряд (2) сходится при . Если других точек сходимости у ряда (2) нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что .

Примеры. Найти область сходимости степенного ряда.

1.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: и применим к нему признак Даламбера: , , .

Ряд сходится, если или –это и есть интервал сходимости. Исследуем концы этого интервала. При получаем знакоположительный числовой ряд . Этот ряд расходится как обобщенный гармонический ряд с . При получаем знакочередующийся числовой ряд . Применим к нему признак Лейбница.

1) > ,

2) , следовательно ряд сходится. Областью сходимости данного ряда является промежуток ; .

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. , , , следовательно, областью сходимости данного ряда является одна точка ; .

3. .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера. , , при всех , следовательно, областью сходимости данного ряда является промежуток ; .

Источник

остаток ряда

Смотреть что такое «остаток ряда» в других словарях:

Остаток ряда — Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n м остатком ряда. Обозначение: Все члены, кроме тех, что входят в n й остаток ряда, в сумме дают т. н. n ю частичную сумму ряда. Свойства Для остатка ряда справедливы… … Википедия

Остаток — Остаток: В математике: Остаток от деления число, образующееся при делении с остатком. Остаток ряда ряд, полученный отбрасыванием n первых членов от исходного ряда. В астрономии: Остаток сверхновой газопылевое образование, результат… … Википедия

ОСТАТОК НЕЛЕТУЧИЙ (КОКСОВЫЙ) В УГЛЯХ — получается при определении выхода летучих веществ в условиях тигельной пробы (ГОСТ 6382 65). Различают О. н. порошкообразный, слипшийся, слабоспекшийся, спекшийся несплавленный; сплавленный невспученный, сплавленный вспученный и сплавленный… … Геологическая энциклопедия

Неогубленный гласный среднего ряда средне-нижнего подъёма — Гласные Передние Ненапряж. передние Средние Ненапряж. задние Задние … Википедия

Знакочередующийся ряд — Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов Признак Лейбница признак… … Википедия

Знакопеременный ряд — Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов Признак Лейбница признак сходимости… … Википедия

ЛЕЙБНИЦА ПРИЗНАК — сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине. Признак установлен Г.… … Математическая энциклопедия

Метод Самокиша — (Формула Стенжера) метод численного интегрирования интегралов с особенностями. Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [ 1;1] Пусть требуется вычислить оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании… … Википедия

Метод самокиша — (Формула Стенжера) метод численного интегрирования интегралов с особенностями. Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка [ 1;1] Пусть требуется вычислить оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на… … Википедия

Терпены и их производные — класс соединений, важных в практическом отношении и весьма интересных в теоретическом; большею частью вырабатываются и выделяются растениями в виде так наз. эфирных масел (см.), но известно также много искусственно получаемых представителей этого … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Мукомольное производство* — на современных больших промышленных мельницах представляет более или менее длинный ряд операций, производимых над хлебными зернами, с целью извлечения из них муки. Наиболее упрощенное производство муки, которое ведется на сельских мельницах,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Источник

Остаток от деления

Остаток от деления в арифметике — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Содержание

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если , то , где , то есть при делении на даёт (неполное) частное и остаток .

Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:

Обобщения

Целые числа

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение и неравенство .

Вещественные числа

Если два числа и (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, может быть поделено на без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

если , то , где

(остаток 1,6)

Многочлены

При делении двух полиномов и степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

, причём Пример (здесь остатком является свободный член)

См. также

Полезное

Смотреть что такое «Остаток от деления» в других словарях:

остаток (от деления) — — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN remainder … Справочник технического переводчика

остаток целочисленного деления — модуль — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы модуль EN modulo … Справочник технического переводчика

Остаток — Остаток: В математике: Остаток от деления число, образующееся при делении с остатком. Остаток ряда ряд, полученный отбрасыванием n первых членов от исходного ряда. В астрономии: Остаток сверхновой газопылевое образование, результат… … Википедия

БЕЗУ ТЕОРЕМА — остаток от деления многочлена Рn(х) степени п на двучлен х b, где b число, равен Рп(b). Установлена Э. Безу в 1779 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Контрольное число — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Контрольная цифра — Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной суммы, добавляется (обычно в конец) длинных номеров с целью первичной проверки их правильности. Применяется с целью уменьшения вероятности ошибки при обработке таких номеров: машинном … Википедия

Контрольное число — Эта статья требует доработки. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её. Надо разнести практическую информацию по соответствующим статьям. stas® 01:53, 14 сентября 2009 (MSD) Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной су … Бухгалтерская энциклопедия

Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости». Содержание 1 Общий вид 2 Доказательство 3 О … Википедия

Пасхалия — собрание правил, на основании которых вычисляется день празднования Пасхи. На основании предписаний, изложенных в книге Исход, а также лунно солнечного календаря, окончательно принятого евреями в эпоху второго храма, еврейская Пасха празднуется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

Источник