Что такое отношения и пропорции 6 класс
Математика. 6 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.
Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.
№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.
Найдите неизвестный член пропорции.
Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.
Математика. 6 класс
Конспект урока
Обобщение и систематизация знаний по теме «Отношения и пропорции»
Перечень рассматриваемых вопросов:
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Скорость – отношение пройденного пути ко времени движения.
Плотность – отношение массы вещества к его объёму.
Цена – отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
a, b, c, d – члены пропорции.
a, d – крайние члены пропорции;
b, c – средние члены пропорции.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответственного отрезка на местности.
Скорость – отношение пройденного пути ко времени движения.
Плотность – отношение массы вещества к его объёму.
Цена – отношение стоимости товара к его массе или количеству единиц товара.
Урожайность – отношение количества продукции растениеводства к единице посевной площади.
Например, урожайность хороших сортов клубники:
Можно ли составить верную пропорцию из отношений:
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Единичный выбор.
Поезд, скорость которого 55 км/ч, затратил на некоторый путь 6 ч. За сколько часов он пройдёт этот же участок пути, если его скорость будет 33 км/ч?
Варианты ответов: 12; 15; 7; 10.
Для решения задания составим пропорцию. При постоянном пути скорость обратно пропорциональна времени движения. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции.
Тип 2. Множественный выбор.
Выберите верные пропорции.
Решение задания: Нужно воспользоваться основным свойством пропорции.
Найти произведение крайних членов.
Найти произведение средних членов.
Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.
Методическая разработка урока математики «Отношения и пропорции». 6-й класс
Разделы: Математика
Класс: 6
Класс: 6 класс.
Цели урока:
образовательная:
развивающая:
воспитывающая:
Планируемые результаты:
Предметные:
Знать/понимать понятия: что такое пропорция, определение пропорции, основное свойство пропорции, что такое масштаб.
Личностные: проявлять интерес к креативной деятельности, активности при подготовке творческих отчетов (сообщения, презентации, проекты и др.)
Метапредметные (Универсальные учебные действия):
Тип урока: Обобщение и систематизация знаний (урок применения знаний, умений и навыков).
Методы обучения: наглядные, практические, словесные, репродуктивные.
Оборудование: учебник, раздаточный материал (карточки).
Межпредметные связи: география, технология.
Ход урока
№ этапа
Содержание урока
Организационный момент (мотивация учебной деятельности)
Актуализация опорных знаний
Применение знаний, умений и навыков в решении задач. Физминутка
Практическое применение темы
Инструктаж домашнего задания
Подведение итогов. Рефлексия
I. Организационный момент (мотивация учебной деятельности)
Сегодня я предлагаю вам самостоятельно определить тему урока и сформулировать цели, которых мы должны достичь к концу урока. Для этого давайте повторим пройденный материал.
II. Актуализация опорных знаний. (Математическая разминка)
Задание: Выбрать задания из параграфа «Отношения и пропорции».
1. Сократить дробь: 
2. Решить задачу: За 6ч. поезд прошел 480км. Какой путь он пройдет за 2ч.?
3. Вычислить 8 : 
4. Решить задачу: 5 маляров покрасят забор за 8дней. За сколько дней его покрасят 10 маляров?
5. Длина отрезка на карте 3 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 1000000
6. Составьте пропорцию, используя верное равенство
7. 4 
+ 3
8. На одной ферме 800 птиц, а на другой на 30% больше. Сколько птиц на второй ферме? Сколько птиц на двух фермах?
2. Учитель: Итак, по какой теме было большинство заданий разминки?
(Все задания по теме «Отношения и пропорции». Делается вывод, что тема данного урока «Отношения и пропорции»).
Учитель: Тема «Пропорции» рассматривается только в 6 классе, но данный материал используется и в старшей школе, даже при сдаче ОГЭ и ЕГЭ встречаются задачи по данной теме. (Задача из ЕГЭ!)
Задача. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?
Пропорции способны объединить между собой изготовление сплавов и малярные работы, вычерчивание карт и рассматривание микробов под микроскопом.
А для того чтобы увидеть, как математика помогает с помощью пропорции решать задачи по химии, работать с чертежами и географическими картами, мы проведем с вами небольшое исследование.
А кто сможет сформулировать цели нашего урока? (Ребята формулируют цели урока. Учитель старается подвести ребят к тому, что основной целью урока является показать практическую значимость пропорции в жизни человека).
Сообщаются цели и задачи урока.
III. Применение знаний, умений и навыков в решении задач
Учитель: Итак, для того чтобы нам более оперативно провести исследование, давайте еще раз повторим понятия связанные с отношением и пропорцией:
1. Что называется отношением? (…частное двух чисел)
2. Дайте определение пропорции (…равенство двух отношений).
3. Как называются члены пропорции? (…крайние и средние).
4. Каким основным свойством обладают члены пропорции? (…произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции).
5. Какие бывают пропорциональности? (…прямая и обратная).
6. Какие две величины называют прямо пропорциональными? (привести примеры прямо пропорциональных величин).
7. Какие две величины называют обратно пропорциональными?
8. Указать вид пропорциональной зависимости:
А) За 6ч. поезд прошел 480км. Какой путь он пройдет за 2ч.?
Б) 5 маляров покрасят забор за 8 дней. За сколько дней его покрасят 10 маляров?
9. Что называется масштабом? (…масштабом карты называют отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности).
(2 ученика записывают решение задач на доске, остальные учащиеся в тетрадях), затем сверяют решение. Оценивают работу учащихся, работающих у доски.
Учитель: Хорошо, правила вы знаете.
Математический диктант – физминутка
Найди ошибку.
1. Можно ли найти отношение таких величин:
А) 8 м и 4 кг;
Б) 5 ч и 2 ч;
В) 3 кг и 3ц?
2. Верна ли пропорция: если aв=ср, то a : с= р : в
3. Верна ли пропорция: 11:2=3:5
4. Верна ли пропорция: 2:9=4:18
5. Задача на прямую пропорциональную зависимость.
Из 21кг хлопкового семени получили 5,1кг масла. Сколько масла получат из 7кг семени?
6. Задача на обратную пропорциональную зависимость.
Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистят площадку за 210 минут. А за какое время эту работу выполнят 7 бульдозеров?
Учитель: Молодцы, ребята. А теперь давайте применим ваши знания на практике.
(два ученика работают у доски). Взаимопроверка.
Учитель: Молодцы! С такими знаниями вы можете применять полученные знания в жизни.
А где еще можно применить пропорцию? (В задачах на тему «масштаб»)
Что называют масштабом карты? Где применяется масштаб?
Закончите фразу:
а) если длина отрезка СК на карте в 20 000 раз меньше, чем на местности, то масштаб этой карты ( 1: 20 000)
б) если отрезок АВ = 1 см изображён на карте с масштабом 1 : 10 000, то на местности его длина…(100м)
IV. Практическое применение темы.
Задача для девочек. Длина изделия на выкройке 75см. Вычислить масштаб чертежа, если на нём длина ночной сорочки будет равна 15см.
Задача для мальчиков. Длина детали 30мм. Какой использовали масштаб, если на чертеже длина детали 90мм?
Самоконтроль.
V. Самостоятельная работа по решению задач (проверка знаний)
1 вариант
1. Чтобы приготовить 4 порции картофельной запеканки нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько потребуется картофеля чтобы приготовить 12 порций запеканки?
2. Масштаб карты 1:1000000. Расстояние между городами 3 км. Каким будет это расстояние на карте?
3. Расстояние между пунктами на карте равно 8 см, а на местности 6 км. Какую длину будет иметь на этой карте отрезок в 9км?
2 вариант
1. Дорога до дачи на автомашине занимает 2 ч. при скорости 105 км/ч. Сколько потребуется времени, чтобы Добраться до дачи на велосипеде, если скорость велосипедиста 15 км/ч.
2. Масштаб карты 1:100. Каково расстояние между городами в действительности, если на карте оно отображается отрезком длиной 7,2 см.
3. Расстояние между пунктами на карте равно 8см, а на местности 160км. Каков масштаб этой карты?
VI. Инструктаж домашнего задания
Учитель: Наш урок подходит к концу. Дома вы самостоятельно можете его продолжить и решить задачи на применение пропорции. Для тех, кто хочет творчески подойти к теме «Отношения и пропорции», предлагаю найти вам примеры пословиц и поговорок на пропорциональную зависимость.
Например: Как аукнется, так и откликнется
Домашнее задание:
VII. Подведение итогов урока, рефлексия
— А где еще можно применить пропорцию?
— Сможете ли вы на практике применить полученные знания?
— Какие затруднения вы испытывали при решении задач?
(Учащиеся рассказывают о том, где они смогут применить полученные знания, какие задания вызвали затруднения.)
И в завершение урока, я хочу, чтобы каждый из вас дал оценку своей работе на уроке. Нарисуйте у себя в тетрадке лестницу успеха, состоящую из пяти ступенек, отметьте ту ступеньку которая соответствует вашему результату работы на уроке.
Что такое пропорция
Что такое пропорция
Пропорция — это равенство двух отношения.
Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.
Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.
Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:
a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.
Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d
Например:
Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3.
15 и 3 — крайние члены пропорции.
5 и 9 — средние члены пропорции.
Наглядный пример для понимания:
У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.
Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!
А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.
Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.
Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка.
Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные.
Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉
Основное свойство пропорции
Запомните основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.
В виде формулы свойство выглядит так:
a : b = c : d
a * d = b * c
Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.
Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу.
Давайте проверим несколько пропорций.
Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4
Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.
Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4
Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Примеры решения задач с пропорцией
Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек.
Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4
Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20
Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.
Ответ: четвертый член пропорции — 12.
Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?
Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.
Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4
Составление и решение пропорций в математике
Пропорции — что это в математике
Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?
Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.
Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.
Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.
Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.
Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.
Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.
В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.
Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.
Пропорцией называют равенство двух отношений.
Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.
Можно ли составить из этих выражений пропорцию?
Найдем значения каждого из отношений:
Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.
Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.
Такое равенство называется пропорцией.
Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.
Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».
Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.
Числа b и c — средними членами пропорции.
Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.
Крайние члены пропорции — 42 и 7.
Средние члены пропорции — 6 и 49.
Средние члены пропорции — 5 и 35.
Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.
Основное свойство пропорции, правило
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:
Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.
Обратное утверждение тоже верно:
Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.
Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.
Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.
Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.
Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.
По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.
Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Составление и решение пропорций
Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.
Слово «относится» заменяем на знак деления.
Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.
Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.
Проверяем, верна ли пропорция.
Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.
Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:
Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Вывод: пропорция верна.
Примеры уравнений с решением для 6 класса
Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.
Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.
Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.
Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.
Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.
По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Записываем полученное выражение:
1 действие — умножение.
Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.
2 действие — деление.
Смешанное число переводим в неправильную дробь.
Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.