Что такое отображение функции

Отображения

Лекция от 13 сентября 2010 года.

Содержание

Определение [ править ]

Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

Связанные понятия [ править ]

[math] f : A \rightarrow B [/math] [math] C \subset A [/math] [math] g : C \rightarrow B [/math] [math] \forall c \in C : g(c) = f(c) [/math]

Тогда, g — сужение f на C, [math] g = f \big|_C [/math]

[math] A = D(f) [/math] — область определения f

[math] R(f) = \ < b | b = f(a), a \in A \>[/math] — область значений f

[math] C \subset A ; f(C) = \ [/math] — образ множества C при отображении f

[math] D \subset B ; f^<-1>(D) = \ < a| a \in A, f(a) \in D \>[/math] — прообраз множества D при отображении f

Термины «прямое» и «обратное» отображения взаимны.

Свойства отображений [ править ]

Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

[math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

[math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

Источник

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Пусть %%X,Y%% — произвольные множества.

Основные определения

Отображением (оператором) %%f%% множества %%X%% в множество %%Y%%, или функцией, определенной на множестве %%X%% со значениями в множестве %%Y%%, называют соответствие, которое каждому элементу %%x \in X%% соотносит некоторый однозначно определенный элемент %%y \in Y%%.

Задание функции

Часто функцию %%f%% обозначают %%f(x)%%. Обозначение функции и ее значения в точке %%x \in X%% одним и тем же символом %%f(x)%% обычно не вызывает недоразумений, посколько в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение %%f(x)%% часто удобнее, чем %%f: x \to y%%. Например, при аналитических преобразованиях запись %%f(x) = x^2%% удобнее по сравнению с %%f: x \to x^2%%.

Тождественное отображение

На любом множестве %%X%% определено отображение %%I_X: X \to X%%, называемое тождественным и задаваемое формулой %%I_X (x) = x

\forall x \in X%%. Его действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Итак, понятие отображения состоит из трех неотемлимых частей: области определения %%D_f%%, множества %%Y%%, включающего область значений %%R_f%%, и правила %%f%%, которое для каждого элемента %%x \in X%% задает единственный %%y = f(x) \in Y%%.

Примеры

Даны следующие множества %%X, Y%% и правило %%f%%. Верно ли, что %%f%% является отображением множества %%X%% в множество %%Y%%?

В первом случае %%f%% не является отображением, так как при %%x = 1%% имеем %%f(1) = 0 \notin Y = \mathbb%%. Во втором случае %%f%% также не является отображением, так как элемент %%f(x)%% определен неоднозначно, поскольку существуют такие элементы %%x \in X%%, для которых определены два элемента %%y \in Y%%. В третьем случае %%f%% является отображением, так как множество %%X = D_f%% определено, множество %%Y%% определено и %%f(x) = \sin(x)%% — задает единственный элемент, причем он принадлежит множеству %%Y%%.

Источник

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в множество %%Y%%.

Инъективное отображение

Отображение %%f%% называется инъективным,

Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

Пример

Сюръективное отображение

Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

Пример

Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

Биективное отображение

Отображение %%f%% называется биективным, если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием.

Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

Обратное отображение

Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^<-1>(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением.

Пример

Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией. Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным.

Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac<3>%%.

Источник