Что такое параллейно прямые
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельные отрезки – два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Параллельные лучи – два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже знаете, что на плоскости бывают пересекающиеся и непересекающиеся прямые, вы знаете, как их строить на чертеже. Теперь давайте рассмотрим прямые, которые называются параллельными, и научимся их строить различными способами.
Для начала дадим определение параллельным прямым.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.
Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные прямой c. Ранее мы выяснили, что такие прямые не пересекаются, следовательно, прямые а и b параллельны.
Очень часто рассматриваются не только параллельные прямые, но и параллельные отрезки.
Дадим им определение.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и b.
Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них.
Как видно из рисунка, при пересечении прямых а и b секущей c образуются 8 углов. Пронумеруем полученные углы.
Оказывается, некоторые пары образованных углов имеют свои названия.
Так, например, углы 3 и 5, 4 и 6 ‑ называются накрест лежащие углы.
Углы 4 и 5 или 3 и 6 ‑ называются односторонними углами.
А пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 ‑ называются соответственными углами.
Как же можно построить параллельные прямые?
Для построения параллельных прямых существует несколько способов построения с помощью различных чертёжных инструментов. Рассмотрим построение параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки.
Построим прямую b, проходящую через точку M и параллельную данной прямой а.
Приложим чертёжный угольник к прямой а, к нему приложим линейку. Теперь передвинем угольник вдоль линейки так, чтобы точка M оказалась на стороне угольника, остается провести прямую b. Прямые а и b будут параллельны, на основе признаков параллельности двух прямых, которые будут изучены позднее.
Материал для углублённого изучения темы
Другие способы построения параллельных прямых.
Рассмотрим ещё два способа построения параллельных прямых с помощью чертёжных инструментов.
В чертёжной практике очень часто используется способ построения параллельных прямых с помощью рейсшины.
При выполнении столярных работ, для разметки параллельных прямых используется ещё один инструмент – малка, который представляет собой две планки, скреплённые шарниром.
При нанесении параллельных рисок можно использовать рейсмус, который представляет собой деревянную заготовку с двумя регулируемыми брусками, на концах который прикреплены для нанесения рисок иглы или гвозди.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 40º меньше другого. Найдите меньший угол, если известно, что сумма односторонних углов равна 180°.
Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен х + 40. Т. к. сумма односторонних углов по условию равна 180°, составим уравнение.
х = 70° – градусная мера меньшего угла.
№ 2. Через параллельные прямые а и m проведены секущие АК и КР так, как показано на рисунке. КО = ВК = АК, при этом АК = КР = 9 см, отрезок ВО =АР, АР = 6 см. На сколько сантиметров периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР?
Решение: найдём периметр ∆АКР.
Р∆АКР = АК + КР + АР = 9 + 9 + 6 = 24 см
Найдём периметр ∆КВО. Для этого вычислим длины сторон треугольника КВО, исходя из условия задачи.
КО = ВК =АК = 9 = 6 см.
Р∆КВО = ВК + КО + ВО = 6 + 6 + 4 = 16 см
Вычислим, на сколько периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР.
Параллельные прямые
Параллельные прямые
Содержание
В Евклидовой геометрии
Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается.
Свойства
В геометрии Лобачевского
В геометрии Лобачевского в плоскости через точку Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): C вне данной прямой AB
Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Параллельные прямые» в других словарях:
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Современная энциклопедия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Большой Энциклопедический словарь
Параллельные прямые — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Параллельные прямые — в евклидовой геометрии, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии (См. Абсолютная геометрия) через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В… … Большая советская энциклопедия
параллельные прямые — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. * * * ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Энциклопедический словарь
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — в евклидовой геометрии прямые, к рые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В евклидовой геометрии существует только одна… … Математическая энциклопедия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Естествознание. Энциклопедический словарь
Параллельные миры в фантастике — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. У это … Википедия
Параллельные миры — Параллельный мир (в фантастике) реальность, существующая каким то образом одновременно с нашей, но независимо от неё. Эта автономная реальность может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном … Википедия
Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых
Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).
Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:
На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).
 |
Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.
 |
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.
    |
На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.
Признаки параллельности прямых
Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):
 |
Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: 
(Рис.8).
 |
Докажем, что 
.
Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).
 |
Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).
 |
Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, . Тогда 
и 
.
означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. 
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например (Рис.11).
 |
Так как углы 2 и 3 вертикальные, то 
. Тогда из и следует, что 
. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны.
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например 
(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. 
. Из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.
Параллельные прямые
Смотреть что такое «Параллельные прямые» в других словарях:
Параллельные прямые — Содержание 1 В Евклидовой геометрии 1.1 Свойства 2 В геометрии Лобачевского … Википедия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Современная энциклопедия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Большой Энциклопедический словарь
Параллельные прямые — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
параллельные прямые — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. * * * ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Энциклопедический словарь
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — в евклидовой геометрии прямые, к рые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В евклидовой геометрии существует только одна… … Математическая энциклопедия
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Естествознание. Энциклопедический словарь
Параллельные миры в фантастике — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. У это … Википедия
Параллельные миры — Параллельный мир (в фантастике) реальность, существующая каким то образом одновременно с нашей, но независимо от неё. Эта автономная реальность может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном … Википедия
Урок 45 Бесплатно Параллельные прямые
На этом уроке разберем один из случаев взаимного расположения прямых на плоскости, узнаем, какие прямые называют параллельными.
Дадим представление об основных свойствах и признаках параллельных прямых.
Рассмотрим, с помощью каких инструментов и какими способами можно построить их на плоскости.
Убедимся на примерах в том, что знания о параллельных прямых используются во многих областях нашей жизни.
Параллельные прямые
Из всех известных нам линий самой простой на первый взгляд является прямая линия.
Прямая линия бесконечна, то есть не имеет начала и конца.
Следовательно, изобразить на плоскости мы можем только часть прямой, а общий вид ее мы можем только представить.
Прямую обозначают любой строчной латинской буквой и читают как «прямая а». Но прямая может быть обозначена двумя прописными латинскими буквами, которые располагаются на разных концах прямой, и читают её как «прямая АВ».
Прямая линия имеет такие характерные особенности:
Через две произвольные точки можно провести прямую и притом только одну.
Через произвольную точку можно провести бесконечное множество прямых.
Две не совпадающие прямые на плоскости или пересекаются, или не пересекаются.
Прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся на всем своем протяжении, называются параллельными прямыми.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Слово «параллельность» («параллелос») с греческого языка переводится как «идущие рядом».
Термин «параллельность» использовали еще за долго до того, как параллельные прямые приобрели свое определение.
В древности знак для обозначения параллельных прямых имел вид знака, известного нам сегодня, как знак равенства «=».
Например, параллельность прямых а и d записывали так: «а = d».
Но в 1557 году Роберт Рекорд для обозначения равенства ввел знак «равно» в том виде, в котором он сегодня известен нам «=».
Чтобы избежать недоразумений и путаницы, символ параллельности был перевернут вертикально, его стали обозначать «||»
Сейчас параллельность прямых а и d записывают так: «а||d».
Принято считать, что между параллельными прямыми угол равен нулю.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.
Отрезки AB и CD параллельны (AB||CD).
Отрезки OM и CD не являются параллельными.
Лучи, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.
Луч а и b параллельны (а||b).
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой.
Необходимо понимать, что нельзя считать отрезки и лучи параллельными друг другу только за то, что они не пересекаются.
Приведем пример непересекающихся отрезков и лучей, которые вовсе не параллельны друг другу.
Как мы можем заметить, отрезок АВ не пересекает луч (а), но он и не параллелен ему.
Таким образом, отрезки и лучи, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, будут являться параллельными друг другу и этим прямым.
Выясним некоторые признаки и свойства параллельных прямых.
Рассмотрим аксиому параллельности прямых:
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой, параллельной данной.
Таким образом, расстояние между параллельными прямыми везде одинаково, а длина отрезка перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.
Подобную ситуацию можно представить, вспомнив железнодорожный путь (рельсы и шпалы) или шведскую лестницу.
Рассмотрим некоторые признаки параллельных прямых:
1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они между собой параллельны
Если а||с и b||с, то а||b.
2. Если две прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны друг другу.
Если а⊥с и b⊥с, то а||b.
Перейдем к знакомству со свойствами параллельных прямых.
1. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.
Если c||b и а⊥с, то а⊥b.
2. Если несколько параллельных прямых пересечь прямой, то эта прямая пересечет каждую из параллельных прямых, причем под одним и тем же углом.
∠1 = ∠2 = ∠3
Части параллельных прямых, замкнутые между другими параллельными прямыми, равны.
Если а||b и d||c, а⊥с, b⊥c, b⊥d, a⊥d, то отрезки AB = CD и AC = BD.
Верно и обратное утверждение, если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.
Подобную ситуацию можно представить, вспомнив четырехугольную столешницу или табурет.
Существуют другие признаки и свойства параллельных прямых, но они будут рассмотрены вами позже.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Главный труд древнегреческого математика Евклида «Начала» (300 лет до н.э.) является первым дошедшим до наших дней теоретическим трактатом по математике, он содержит основы античной геометрии и математики.
В «Началах» Евклид обобщил все ранее известные достижения древнегреческой математики и создал основу для ее дальнейшего изучения и развития.
Главное научное и историческое значение данной работы Евклида заключается в попытках построения теории геометрии на основе аксиом и логических рассуждений.
Изложение материала ведется от общего к частному: определения и аксиомы, далее постулаты, затем задачи и теоремы.
Евклид делает понятия аксиома и постулат различными, но это различие неясно.
Особый интерес и внимание у математиков всех времен и народов вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, описанная в первой из тринадцати книг «Начала».
Пятый постулат Евклида о параллельных прямых, в отличие от остальных простых и элементарных для понимания постулатов, казался громоздким и, на первый взгляд, не очень очевидным.
В связи с этим многие математики пытались доказать недоказуемое и вывести постулат из разряда аксиом и представить как теорему.
Любые доказательства сводились к появлению только лишь более простых формулировок постулата.
За два тысячелетия было огромное множество попыток доказать пятый постулат, но каждая из них содержала утверждение, которое невозможно было доказать без использования того самого постулата.
Научные труды «Начала» оказали заметное влияние на развитие теории математики вплоть до наших дней.
Книга была переведена на множество языков.
В современных источниках приводится другая формулировка постулата о параллельных прямых, которая равносильна постулату Евклида.
Принадлежит она Птолемею Проклу: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»
Существуют и другие эквивалентные формулировки.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации