Что такое перекрестное умножение

Этот метод также иногда называют методом «скрестить сердце», потому что можно нарисовать линии, напоминающие контур сердца, чтобы запомнить, какие элементы нужно умножить вместе.

Учитывая уравнение вроде

где b и d не равны нулю, можно перемножить, чтобы получить

СОДЕРЖАНИЕ

Процедура

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически вычеркивая члены:

Математическое обоснование метода основано на следующей более длительной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения

Мы можем сократить дроби до наименьших членов, отметив, что два вхождения b в левой части сокращаются, как и два вхождения d в правой части, оставляя

Еще одно обоснование перекрестного умножения заключается в следующем. Начиная с данного уравнения

умножить на d / d = 1 слева и б / б = 1 справа, получая

Использовать

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения данной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение

Например, предположим, что мы хотим знать, как далеко автомобиль проедет за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразуя проблему слова в соотношения, получаем

Перекрестное умножение урожайности

Обратите внимание, что даже простые уравнения вроде

решаются с использованием перекрестного умножения, поскольку отсутствующий член b неявно равен 1:

Правило трех

Для уравнения вида

где переменная, которая должна быть оценена, находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что

Это правило было известно китайским математикам еще до II века н.э., хотя в Европе оно использовалось гораздо позже.

4 ярды 12 шиллинги знак равно 6 ярды Икс <\ displaystyle <\ frac <4 \ <\ text <ярды>>> <12 \ <\ text <шиллинги>>>> = <\ frac <6 \ <\ text <ярды>>> >>

а затем с помощью перекрестного умножения для вычисления x :

Двойное правило трех

что при двойном перекрестном умножении дает

Источник

Перекрестное умножение

Этот метод также иногда называют методом «скрестить сердце», потому что можно нарисовать линии, напоминающие контур сердца, чтобы запомнить, какие элементы нужно умножить вместе.

Учитывая уравнение вроде

где b и d не равны нулю, можно перемножить, чтобы получить

СОДЕРЖАНИЕ

Процедура [ править ]

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически вычеркивая члены:

Математическое обоснование метода заключается в следующей более длительной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения

Мы можем сократить дроби до наименьших членов, заметив, что два вхождения b в левой части сокращаются, как и два вхождения d в правой части, оставляя

Еще одно обоснование перекрестного умножения заключается в следующем. Начиная с данного уравнения

Используйте [ редактировать ]

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения данной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение

Например, предположим, что мы хотим знать, как далеко автомобиль проедет за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразуя проблему слова в соотношения, получаем

Перекрестное умножение урожайности

Обратите внимание, что даже простые уравнения вроде

решаются с использованием перекрестного умножения, поскольку отсутствующий член b неявно равен 1:

Правило трех [ править ]

Для уравнения вида

где переменная, которая должна быть оценена, находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что

Это правило было известно китайским математикам еще до II века н.э. [4], хотя в Европе оно использовалось гораздо позже.

4 yards 12 shillings = 6 yards x <\displaystyle <\frac <4\ <\text>><12\ <\text>>>=<\frac <6\ <\text>>>>

а затем с помощью перекрестного умножения для вычисления x :

Двойное правило трех [ править ]

что при двойном перекрестном умножении дает

Источник

Перекрестное умножение

Этот метод также иногда называют методом «скрестить сердце», потому что можно нарисовать линии, напоминающие контур сердца, чтобы запомнить, какие элементы нужно умножить вместе. Создано Энтони Петрасом

Учитывая уравнение вроде

где b и d не равны нулю, можно перемножить, чтобы получить

СОДЕРЖАНИЕ

Процедура [ править ]

На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически вычеркивая члены:

Математическое обоснование метода основано на следующей более длительной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения

Мы можем сократить дроби до наименьших членов, отметив, что два вхождения b в левой части сокращаются, как и два вхождения d в правой части, оставляя

Еще одно обоснование перекрестного умножения заключается в следующем. Начиная с данного уравнения

Используйте [ редактировать ]

Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения данной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение

Например, предположим, что мы хотим знать, как далеко автомобиль проедет за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразуя проблему слова в соотношения, получаем

Перекрестное умножение урожайности

Обратите внимание, что даже простые уравнения вроде

решаются с использованием перекрестного умножения, поскольку отсутствующий член b неявно равен 1:

Правило трех [ править ]

Для уравнения вида

где переменная, которая должна быть оценена, находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что

Это правило было известно китайским математикам еще до II века н.э. [4], хотя в Европе оно использовалось гораздо позже.

4 yards 12 shillings = 6 yards x <\displaystyle <\frac <4\ <\text>><12\ <\text>>>=<\frac <6\ <\text>>>>

а затем с помощью перекрестного умножения для вычисления x :

Двойное правило трех [ править ]

что при двойном перекрестном умножении дает

Источник

В математикаособенно в элементарная арифметика и элементарная алгебра, учитывая уравнение между двумя фракции или же рациональные выражения, можно перекрестное умножение для упрощения уравнения или определения значения переменной.

Этот метод также иногда называют методом «скрестить сердце», потому что можно нарисовать сердце, чтобы запомнить, какие элементы нужно умножать вместе, а линии напоминают контур сердца.

Учитывая уравнение вроде:

(куда б и d не равны нулю), можно перемножить, чтобы получить:

В Евклидова геометрия того же расчета можно добиться, если учесть соотношения как у похожие треугольники.

Содержание

Процедура

На практике метод перекрестное умножение означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически вычеркивая члены.

Математическое обоснование метода заключается в следующей более длительной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения:

Еще одно обоснование перекрестного умножения заключается в следующем. Начиная с данного уравнения:

умножить на d / d = 1 слева и б / б = 1 справа, получаем:

Использовать

мы можем использовать перекрестное умножение, чтобы определить, что:

Например, предположим, что мы хотим знать, как далеко автомобиль проедет за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразуя слово «проблема» в соотношения, получаем

Обратите внимание, что даже такие простые уравнения, как это:

решаются перекрестным умножением, так как отсутствующие б срок неявно равен 1:

Любое уравнение, содержащее дроби или рациональные выражения, можно упростить, умножив обе части на наименьший общий знаменатель. Этот шаг называется очистка фракций.

Правило трех

В Правило трех [1] была исторической сокращенной версией особой формы перекрестного умножения, которой можно было обучать студентов наизусть. Это считалось высотой Колониальный математическое образование [2] и по-прежнему фигурирует во французской национальной программе среднего образования. [3]

Для уравнения вида:

где переменная, которая должна быть оценена, находится в правом знаменателе, Правило трех гласит, что:

В контексте, а называется крайний пропорции, и б и c называются средства.

Это правило было известно китайским математикам еще до II века нашей эры. [4] хотя в Европе он не использовался намного позже.

Правило трех получило известность [ нужна цитата ] за то, что его особенно трудно объяснить. Арифметика Кокера, главный учебник 17-го века, вводит обсуждение правила трех [5] с проблемой: «Если 4 ярда ткани стоят 12 шиллингов, сколько будут стоить 6 ярдов по этой ставке?» Правило трех дает прямой ответ на эту проблему; тогда как в современной арифметике мы бы решили это, введя переменную Икс обозначить стоимость 6 ярдов ткани, записав уравнение:

4 у а р d s 12 s час я л л я п грамм s = 6 у а р d s Икс > <12 mathrm >> = > >>

а затем с помощью перекрестного умножения для вычисления Икс :

Двойное правило трех

Расширением правила трех было Двойное правило трех, который включал поиск неизвестного значения, для которого известны пять, а не три других значения.

Примером такой проблемы может быть Если 6 строителей могут построить 8 домов за 100 дней, сколько дней потребуется 10 строителям, чтобы построить 20 домов с той же скоростью? и это можно настроить как

8 час о ты s е s 100 d а у s 6 б ты я л d е р s = 20 час о ты s е s Икс 10 б ты я л d е р s > <100 mathrm >> <6 mathrm >> = > > <10 mathrm >>>

что при двойном перемножении дает

Льюис Кэрроллс Песня безумного садовника включает строки «Ему показалось, что он видел Дверь в Сад / Которая открывалась ключом: / Он посмотрел еще раз и обнаружил, что это / Двойное правило трех». [7]

Источник

Удивительные приемы в математике

Разделы: Математика

Из всех наук математика пользуется особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны и неоспоримы, тогда как законы других наук в известной степени спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.

Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.

Школьники начальных классов должны уметь производить в уме несложные арифметические вычисления. Например, дети должны уметь складывать и вычитать в уме двузначные и трехзначные числа.

У взрослых сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел не вызывает затруднений, так как взрослый человек самостоятельно выработал для себя способы элементарного устного счета.

Складывать и вычитать, делить и умножать в уме двузначные и трехзначные числа очень просто, если знаем прием. Описанные ниже способы не отличаются от вычисления столбиком, зато гораздо понятнее.

Комбинации разных способов

80 + 67 (перенос единицы с числа 68 на число 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

Аналогичными способами легко складываются и вычитаются в уме и трехзначные числа.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенос тройки с 38 на 57)

Одним из приемов ускоренного умножения является прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии» или «умножением крестиком».

Пусть требуется перемножить 2432.Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 42=8-это последняя цифра результата;

2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6-средняя цифра результата; единицу запоминаем;

3) 23=6 да еще удержанная в уме единица, имеем 7-это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8=768

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых «дополнений».удобно применяется в тех случаях. когда перемножаемые числа близки к 100.Полученный результат верен, наглядно видно из следующих преобразований;

8896=88(100-4)=88100-884

496= 4(88+8)= 48+884

929 =8832+0

Таблица умножения на «9».

Существует огромное множество приемов ускоренного выполнения арифметических действий-приемов, предназначаемых для обиходных вычислений.

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на «5».

Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит, =4225

все ответы заканчиваются числом 25. Но как получаются первые две цифры ответа? Они получаются умножением цифры десятков на следующее за ней натуральное число. Чтобы возвести в квадрат число, например 65, надо к разряду десятков прибавить 1(т. е.6+1=7) и умножить 6*7=42, а 5*5=25. Значит =4225.

Запоминания таблицы значений Sin, Cos, tg для острых углов.

Видите, пальцы левой руки образуют углы:

мизинец-0 (нулевой палец)

безымянный-30 (первый палец)

средний-45 (второй палец)

указательный- 60(третий палец)

большой-90 (четвёртый палец)

Зная синусы, можно заполнить косинусы (наоборот),тангенсы и котангенсы острых углов.

Способ умножения чисел близких к 100

Чтобы получить 2 последние цифры ответа (десятки и единицы), нужно

Чтобы получить первые 2 цифры ответа (тысячи и сотни), надо

Предположим, что требуется перемножить 92*96.Дополнение для 92 до 100 будет 8, а для 86-4. Действие производят по следующей схеме:

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот: т.е. из 92 вычитают 4 или из 96-8.В том и другом случае имеем 88;к этому числу приписывают произведение «дополнений»:8?4=32.Получаем результат 8832.

Дополнения: 22 и 23.

Вероятно, все знают, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся на 1, 5 или 6, получается число, оканчивающее той же цифрой.

46 = 2116; 46 = 97 336

Извлечение из под корня

1). Чтобы извлечь число из под корня, например, разделим это число по два разряда справа налево так: = 568

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы (число 2). Так мы получаем первую цифру числа.

3. Находим квадрат первой цифры (2 2 =4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5. Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11. 48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.

Далее процесс повторяется.

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают удивительной особенностью. Кто бы мог подумать что

Сложение чисел, близких друг к другу по величине.

В практике технических и торговых вычислений нередки случаи, когда приходится складывать столбцы чисел, близких друг к другу по величине. Например;

Для сложения таких чисел применяется следующий прием

Источник