Что такое периметр многоугольника 8 класс определение атанасян
Билет 1, 2 изученое
Просмотр содержимого документа
«Билет 1, 2 изученое»
1 вопрос: дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.
Определение. Многоугольником называют фигуру, составленную из отрезков так, что:
смежные отрезки не лежат на одной прямой
несмежные не имеют общих точек
Вершинами называются точки: А, В, С, D, E, F.
Сторонами многоугольника называются отрезки: AB, BC, CD, DE, ЕF, FA.
Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две любые не соседние вершины.
Периметром многоугольника называется сумма длин всех сторон.
Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2) 
180°
2 вопрос: докажите теорему о средней линни
4 вопрос: периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.
1 вопрос: дайте определение и свойства параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно – параллельны.
1° В параллелограмме противоположные углы равны. В параллелограмме противоположные стороны равны.
2° Диагонали параллелограмма точкой пересечения делится пополам.
3° В параллелограмме сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.
4° Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2 вопрос: доказать свойство медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины
Доказать: точка О пересечение медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Отрезок А₁В₁ параллелен стороне АВ, поэтому 
1 = 2 ; 3 = 4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А₁В₁.).
Следовательно, треугольники АОВ и А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: 
Но АВ=2 А₁В₁, поэтому АО=2 А₁О и ВО= 2 В₁О.
Таким образом, точка О пересечение медиан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.
Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
Многоугольники
Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.
Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины — вершинами многоугольника.
Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.
Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.
Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE :
В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E — это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA — стороны пятиугольника.
Выпуклые и вогнутые
Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:
Периметр
Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.
Периметр многоугольника ABCDE равен:
Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.
Диагональ
Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:
Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.
Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:
Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:
где t — это количество треугольников, а n — количество сторон.
Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.
Как вычислить периметр многоугольника?
Ответ или решение 2
Чтобы ответить на данный вопрос, нам необходимы следующие сведения:
Многоугольник и его свойства
Многоугольником является геометрическая фигура, внутренность которой ограничена ломаной линией, и содержащая не менее одного угла. Другим определением многоугольника может служить следующее утверждение: многоугольник — это замкнутая линия, которая имеет n точек, соединенных между собой последовательными отрезками.
Самыми распространенными примерами многоугольников могут служить: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и так далее.
Основным фактом, о многоугольнике, можно назвать свойство его углов: сумма внутренних углов многоугольника определяется при помощи формулы:
где n — число углов фигуры.
Периметр
Периметром любой фигуры называется величина, которая состоит из суммы длин всех ее сторон. Обозначается периметр буквой «Р».
Периметр многоугольника
Чтобы найти периметр любого многоугольника, необходимо сложить длины всех его сторон.
К примеру, определим периметр пятиугольника ABDCE, в котором:
AB = 5 см; BD = 4 см; DC = 4 см; CE = 5 см; АЕ = 2 см.
Р = AB + BD + DC + CE + АЕ = 5 см + 4 см + 4 см + 5 см + 2 см = 20 см.
Значит, периметр пятиугольника ABDCE равен 20 см.
Урок геометрии на тему «Многоугольники». 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Учебник: Геометрия. 7–9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение.
Оборудование: компьютер, проектор, экран
Ход урока
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков A1 A2; A2 A3;…; An-1 An (рис. 1–3). Точки A1 и An могут быть различными, а могут совпадать. Соседние отрезки не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной, а отрезки, из которых она состоит – звеньями.
— Как вы думаете, на каком рисунке изображена замкнутая ломаная?
— На каких рисунках ломаная простая?
Ломаная называется простой, если ее несоседние звенья не имеют общих точек.
Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.
Любой многоугольник разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю области.
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
— Какие из фигур, изображенных на рисунке, являются многоугольниками?
— Изобразите многоугольники в тетради и отметьте точки во внешней и внутренней областях многоугольника.
2. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Выпуклый многоугольник Невыпуклый многоугольник
— Назовите номера выпуклых многоугольников
— Перечертите любой выпуклый многоугольник в тетрадь и обозначьте его вершины
Задание. Начертите выпуклый восьмиугольник и проведите все его диагонали из какой-нибудь вершины. Сколько при этом получилось треугольников? Найдите сумму углов восьмиугольника.
Получилось шесть треугольников, то есть 
— Как вы думаете, как вычислить сумму углов выпуклого n-угольника?
— 
Задача. Можно ли выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников?
Решение. 
— сумма углов стоугольника
— сумма углов треугольника
Ответ: выпуклый стоугольник разрезать на 97 треугольников нельзя.
Этот материал учащиеся осваивают самостоятельно (п. 41 учебника).
4. Если есть время, то можно предложить учащимся выполнить упражнения 364(а); 365 (а; б) учебника.
Домашнее задание. П. 39–41. № 363; 364(б); 365(в)
Многоугольник
Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.
Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:
Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.
Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.
    |
На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.
Обозначение многоугольника
Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).
Соседние вершины многоугольника
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
 |
На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)
Смежные стороны многоугольника
Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.
На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)
Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник
Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).
  |
На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.
 |
На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.
 |
На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.
Правильный многоугольник
Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.
  |
На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.
Звездчатый многоугольник
Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.
 |
На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)
Периметр многоугольника
Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_
Угол многоугольника
Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).
Внешний угол многоугольника
Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.
На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)
Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.
Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:
Сумма углов выпуклого многоугольника
Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_
 |
Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.
Угол правильного многоугольника
Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.