определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости Oxy лежит луч OM (рисунки 1, 2, 3, 4).
Рис.1. Знак sin α
Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α
Рис.4. Знак ctg α
Рис.1. Знак sin α
Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α
Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса
Рассмотрим рисунок 5.
sin (α° + 360°) = sin α°, cos (α° + 360°) = cos α°,
sin (α° – 360°) = sin α°, cos (α° – 360°) = cos α°,
Поворачивая луч OM1 на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:
Теперь рассмотрим рисунок 6.
sin (α° + 180°) = – sin α°, cos (α° + 180°) = – cos α°,
sin (α° – 180°) = – sin α°, cos (α° – 180°) = – cos α°,
sin (α – π) = – sin α, cos (α – π) = – cos α.
Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.
Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.
то справедливы формулы:
Четность тригонометрических функций
Рассмотрим рисунок 7.
Следовательно, справедливы формулы:
откуда вытекают формулы:
Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
Наши учебные пособия для школьников
При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №2 Чётность и нечётность тригонометрических функций. Периодичность.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Функцию y=f(x), x∈X называют чётной, если для любого значения xиз множества X выполняется равенство f(−x)=f(x).
Функцию y=f(x), x∈X называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство f(−x)=−f(x).
Период функций, представляющих собой сумму непрерывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых, если он существует.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |ОА| к длине гипотенузы |ОВ|.
Область. определения функции (D) — множество R всех действительных чисел
Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция —ограниченная.
Для того, чтобы определить чётность функции косинус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).
Например, cos(60°) = ½ = cos(–60°)–это значит, что : cos(−x)=cos x для всех x∈R и у=сosx–чётная
Сиинус(sin α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |АВ| к длине гипотенузы |ОВ|.
Область определения функции (D) — множество R всех действительных чисел.
Множество значений функции (E) — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция —ограниченная.
Для того, чтобы определить чётность функции синус проверим следующие определения: функция чётная, f(−x)=f(x) и функцию нечётная, f(−x)=−f(x).
Например, sin(30°) = ½ sin(–30°) = –½ –это значит, что : sin(−x)=–sin (x) для всех x∈R и y=sinx–нечётная
–нечётная
–нечётная
Период функций y=sin x, y=cos xравен 2π, период функций tgx, ctgx равен π.
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Выясним, является ли функция
чётной или нечётной?
Пример 2. Доказать, что число 2π является наименьшим положительным периодом функции y=cos x
Пусть Т>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos (x+T)= cos x. Положив х=0, получим cos T=1. Отсюда Т=2πk, x∈R. Так как Т>0, то может принимать значения 2π, 4π, 6π,…, и поэтому период не может быть меньше 2π
Уроки математики и физики для школьников и родителей
суббота, 4 сентября 2021 г.
Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции
– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.
Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить1, то значение функции от этого не изменится :
Следовательно, при любом значениих
sin (α + 360 ° ) = sin α
Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.
где k – любое целое число.
Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.
Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.
В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.
отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:
где k – любое целое число.
вычисляются по формуле
равен наименьшему числу, при делении которого на T 1 и T 2 получаются целые числа.
Найти период функции
не существует, так как такого числа, при делении которого на2πи на2получались бы целые числа, нет.
Периода не существует.
Доказать следующее утверждение :
Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :
Доказать следующее утверждение :
Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π, то получим :
Периодической называется функция, которая повторяет свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периодафункции): существует такое ненулевое число TT (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T).f(x)=f(x+T).
Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими.
Периодичность функций sin φ и cos φ
Предположим, что вектор ОА = (х, у) единичной длины образует с осью абсцисс угол φ.
Если сделать полный оборот вектора ОА вокруг точки О против часовой стрелки, то получится угол φ + 360°. Но вектор ОА при этом займет первоначальное положение, а потому координаты его х и у не изменятся.
у = sin φ = sin(φ + 360°),
x = cos φ = cos (φ+ 360°).
Эти соотношения показывают, что значения функций sin φ и cos φ не изменяются, если их аргумент, увеличить на 360°.
Пусть f(х) есть некоторое выражение, зависящее от переменной величины х. (Например, f(х) = x 2, f(х) = sin xи т. д.)
Тогда равенство y =f(х)
Определяет у как функцию аргумента х.
Если при любых допустимых значениях аргументах
где Т — некоторое отличное от нуля число, то функция f (x) называется периодической, а число Т — ее периодом.
Согласно этому определению функции sin xи cos х являются периодическими с периодом Т = 360°.
При n полных оборотах вектора ОА против часовой стрелки образуется угол φ + 360°n, а по часовой стрелке — угол φ — 360°n. В каждом из этих случаев координаты х и у вектора не изменяются, а потому не изменяются sin φ и cos φ.
Таким образом, cos φ = cos (φ + 360°n),
sin φ = sin (φ + 360°n), (1)
где n — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).
Можно доказать, что любая периодическая функция (а не только sin φ и cos φ) имеет бесконечное множество периодов.
Говоря о периоде функции, удобно из бесконечного множества всех ее периодов иметь в виду какой-нибудь один вполне определенный период. Обычно выделяют наименьший положительный период функции.
Из всех рассмотренных выше периодов функции sin φ наименьшим положительным периодом является угол в 360°. Но, может быть, существует еще меньший угол, который мы просто упустили из виду, но который, Также является периодом функции sin φ? Чтобы решить этот вопрос, предположим, что наименьший положительный период функции sin φ равен Т. Тогда при любом φ
sin (φ + Т) = sin φ.
В частности, при φ = 0 получаем: sinТ = sin 0° = 0.
Составляет ли он период функции sin φ? Если бы это было так, то равенство sin (φ + 180°) = sin φ должно было бы выполняться при всех значениях φ. В частности, при φ = 90° мы получили бы
sin 270° = sin 90°.
Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360°Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.
Периодичность функций tg φ и ctg φ
Следовательно, при любом φ
tg (φ + 180°) = tg φ.
Это означает, что функция tg φ является периодической с периодом 180°. Но будет ли угол в 180° наименьшим жительным периодом этой функции?
Предположим, что наименьший положительный период функции tg φ равен Т. Тогда для всех допустимых значений φ должно быть
tg (φ + Т) = tg φ
В частности, при φ = 0° получаем:
tg Т = tg 0° = 0.
Но тангенс положительного угла равен нулю лишь тогда, когда синус этого угла равен нулю, то есть при Т = 180°, 360°, 540° и т, д. Следовательно, никакой положительный угол, меньший 180°, не может быть периодом функции tg φ. Остается признать, чтб периодом(то есть наименьшим положительным периодом) функции tg φ является угол в 180°.
Аналогично можно доказать, что периодом функции сtg φ также является угол в 180°. Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.
Упражнения
1. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы были положительными и не превышали 180°:
2. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90°:
3. Доказать, что угол в 120° является одним из периодов функции у = ctg 3х.
4. Доказать, что любой период Т функции у = ctg х является корнем уравнения
Верно ли обратное утверждение?
О периодических функциях.
Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой.
Действительно, пусть периодическая функция f(x) задана в интервале (а, а + Т), где Т — период этой функции.
Покажем, как можно определить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ).
Для любой точки b из этого интервала можно указать точку b‘ из интервала (а, а + T), отстоящую от b на расстоянии T.
В силу периодичности функции f(x)
f(b) = f(b‘)
Таким образом, по заданным значениям функции f в интервале (а, а +T ) можно восстановить значения этой функции в интервале (а + Т, а + 2T ). Затем исходя из значений функции f в интервале (а + Т, а + 2T ), можно восстановить ее значения в интервале (а + 2T, а + 3T ). После этогo точно так же можно найти значения функции f в интервале (а + 3T, а + 4T) и т. д. Аналогично можно определить значения функции f(x) и во всех точках числовой прямой, лежащих левее отрезка (а, а + Т ).
Итак, задание периодической с периодом Тфункции f(x) на любом интервале длины Т дает возможность полностью охарактеризовать ее на всей числовой прямой. Поэтому для исследования функции f(x), периодической с периодом Т, достаточно изучить ее поведение лишь на каком-нибудь интервале длины Т. Например, для исследования функций у = sin φ и у = cos φ достаточно рассмотреть их лишь при 0° Просмотр содержимого документа «Математика. Периодичность тригонометрических функций.»
–нечётная
–нечётная
