Что такое первая значащая цифра

Значащие цифры

Смотреть что такое «Значащие цифры» в других словарях:

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — (значащие разряды), цифры числа, которые выражают его с требуемой точностью; последние цифры могут быть округлены. Так, число 2,871828, округленное до шести цифр, будет представлено как 2,87183; округленное до трех цифр как 2,87 … Научно-технический энциклопедический словарь

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — в приближенных вычислениях все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Напр., в записи результата взвешивания 0,03020 кг значащими цифрами будут 3, 0, 2 и 0 … Большой Энциклопедический словарь

значащие цифры — в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, в записи результата взвешивания 0,03020 кг значащими цифрами будут 3, 0, 2 и 0. * * * ЗНАЧАЩИЕ… … Энциклопедический словарь

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — в приближённых вычислениях все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность к рой можно ручаться. Напр., в записи результатов взвешивания 0,320 кг 3. ц. будут 3, 2 и 0 … Большой энциклопедический политехнический словарь

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ — в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля, до последней, за правильность к рой можно ручаться. Напр., в записи результата взвешивания 0,03020 кг значащими цифрами будут 3, 0, 2 и 0 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Закон Бенфорда — Закон Бенфорда, или закон первой цифры, описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры в распределениях величин, взятых из реальной жизни. Закон верен для многих таких распределений, но не для всех. Ра … Википедия

АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

Метод одной касательной — Метод Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643 1727), под именем… … Википедия

Метод Ньютона — Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном… … Википедия

Источник

Правила округления. Обработка и представление результатов измерений. Процедура

Обработка и представление результатов измерений. Процедура

1. Назначение и область применения

1.1. Процедура устанавливает единые требования к обработке и представлению результатов измерений, полученных в лаборатории (центре).

1.2. Представление результатов измерений в лабораторных журналах и в документах, выдаваемых лабораторией, осуществляется согласно методикам измерений и данной процедуре.

1.3. Требования настоящей процедуры распространяются на всех специалистов лаборатории (центра).

2. Нормативные ссылки

2.1. СТ СЭВ 543-77 «Числа. Правила записи и округления» (настоящий стандарт является обязательным в рамках Конвенции о применении стандартов СЭВ);

2.2. ГОСТ 8.736-2011 «Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения»;

2.3. МР 18.1.04-2005 «Система контроля качества результатов анализа проб объектов окружающей среды»;

2.4. ПМГ 96-2009 «Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ). Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления» (правила по межгосударственной стандартизации введены в действие для добровольного применения в РФ в качестве рекомендаций по метрологии РФ).

Примеры
1) Число 12,0 – имеет три значащие цифры;
2) Число 30 – имеет две значащие цифры;
3) Число 120 × 10 3 – имеет три значащие цифры;
4) Число 0,514 × 10 – имеет три значащие цифры;
5) Число 0,0056 × 10 – имеет две значащие цифры;
6) Число 0,704 – имеет три значащие цифры;
7) Число 68 – имеет две значащие цифры.

Таким образом, нули вначале числа всегда незначимы; нули в середине числа между ненулевыми цифрами значимы; нули в конце числа могут быть значимыми и незначимыми.

По количеству значащих цифр осуществляется запись приближенных чисел (согласно СТ СЭВ 543-77).

Пример
Следует различать числа 2,4 и 2,40.
Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых; истинное значение числа может быть, например, 2,43 и 2,38.
Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли числа; истинное число может быть, например, 2,403 и 2,398, но не 2,421 и не 2,382.

3.2. Округление числа – это отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда (согласно СТ СЭВ 543-77).

В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна или больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление может привести к ошибкам.

Примеры
1) Если число 12,364 требуется округлить до сотых долей, после округления получаем число 12,36; если число 12,364 требуется округлить до десятых долей, после округления получаем число 12,4.

2) Если число 0,703 требуется округлить до сотых долей, получаем число 0,70; если число 0,703 требуется округлить до десятых долей, после округления получаем число 0,7.

3) Если число 0,703 требуется округлить до двух значащих цифр, после округления получаем число 0,70; если число 0,703 требуется округлить до одной значащей цифры, после округления получаем число 0,7.

4) Если число 0,429 требуется округлить до двух значащих цифр, после округления получаем число 0,43; если число 0,429 требуется округлить до одной значащей цифры, после округления получаем число 0,4.

5) Если число 8,574 требуется округлить до двух значащих цифр, после округления получаем число 8,6; если число 8,574 требуется округлить до одной значащей цифры, после округления получаем число 9.

6) Поэтапное округление результата измерения 227,46 дает на первом этапе 227,5 и на втором этапе 228, в то время как правильный результат округления 227.

3.3. Окончательный результат – это результат измерения с погрешностью, который вносится испытателями в лабораторные журналы. Окончательный результат выдается лабораторией в протоколе испытаний.

3.4. Промежуточные результаты – это вся информация по анализу от показания приборов до окончательного результата (в том числе расчеты результатов единичных определений; расчет результата измерения как среднеарифметическое значение результатов единичных определений, полученных в условиях повторяемости; контроль повторяемости; расчет погрешности). Промежуточные результаты заносятся испытателями в лабораторные журналы, но в протоколах испытаний не выдаются.

4.1. Требования к промежуточному результату

4.1.1. Число значащих цифр в промежуточных вычислениях при обработке результатов измерений должно быть больше, чем в окончательном результате.

4.1.2. Если значение погрешности (неопределенности) результата измерений представлено числом, содержащим две значащие цифры, то для промежуточных результатов расчета сохраняем не менее трех значащих цифр.

4.1.3. Если значение погрешности (неопределенности) результата измерений представлено числом, содержащим одну значащую цифру, то для промежуточных результатов расчета сохраняем не менее двух значащих цифр.

4.1.4. При проведении промежуточных расчетов в рукописных лабораторных журналах в числовых значениях измеряемой величины и погрешности следует оставлять столько значащих цифр, чтобы в окончательном результате не появлялась ошибка, связанная с поэтапным округлением.

Примеры

4.2. Требования к окончательному результату

4.2.1. Числовые значения результата измерений и его погрешности (неопределенности) записываются с указанием одной и той же единицы измерения.

Примеры
(5,4 ± 0,5) мг/дм³;
(6,1 ± 0,7) ммоль/ дм³.

4.2.2. Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение его погрешности (неопределенности).

Примеры

4.2.3. Значение погрешности (неопределенности) результата измерений представляют числом, содержащим одну или две значащих цифры. Если числовое значение погрешности (неопределенности) в целой части числа содержит три и более цифр, то результат и погрешность округляются до целых чисел без подсчета количества значащих цифр.

Примеры

4.2.4. Если заказчик требует другие формы представления результатов измерений, лаборатория оставляет за собой право учитывать эти требования.

Ответственность за правильность обработки и представления результатов измерений несут специалисты лаборатории.

Представление результатов измерений на примере определения обобщенных и химических показателей в воде с учетом требований методик измерений

1. Железо общее (ГОСТ 4011-72)
Округлять результат до двух значащих цифр.

Примеры

2. Хлориды (ПНД Ф 14.1:2:3.96-97)
Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения характеристики погрешности.

3. Фосфорсодержащие вещества (ГОСТ 18309-2014)
Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение характеристики погрешности, выраженное в мг/дм³ и содержащее не более двух значащих цифр.

4. Взвешенные вещества (ПНД Ф 14.1:2:3.110-97)
Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения характеристики погрешности.

5. Цветность (ГОСТ 31868-2012)
В протоколе указывают метод определения цветности по настоящему стандарту, результат с указанием единиц измерения (например, градусов цветности по хром-кобальтовой шкале Cr-Co) и температуру пробы анализируемой воды.

При определении цветности при постоянной комнатной температуре (20 ± 5) °С в конкретной лаборатории допускается по согласованию с заказчиком не указывать в протоколе значение температуры.

6. Металлы (ПНД Ф 14.1:2:4.139-98)
Примеры записи числовых значений:

7. Алюминий (ГОСТ 18165-2014)
Числовое значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и абсолютное значение характеристики погрешности измерений, выраженное в мг/дм³. Абсолютное значение характеристики погрешности измерений представляют двумя значащими цифрами, если первая цифра не превышает 3. В остальных случаях оставляют одну значащую цифру.

Примеры

8. Нефтепродукты (ПНД Ф 14.1:2:4.128-98)
Примеры записи числовых значений, мг/дм³:

9. Анионные поверхностно-активные вещества (ПНД Ф 14.1:2:4.158-2000)

10. Щелочность (МП УВК 1.19-2013)
Численные значения результата количественного химического анализа должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и численное значение характеристики погрешности. Характеристику погрешности измерения следует выражать числом, содержащим не более двух значащих цифр.

11. Температура, прозрачность, запах (РД 52.24.496-2018)
Численное значение результата измерений должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение характеристики погрешности.

12. Кальций (РД 52.24.403-2018)
Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения погрешности; последние не должны содержать более двух значащих цифр.

13. Перманганатная окисляемость (ПНД Ф 14.1:2:4.154-99)
Результаты измерений округляют с точностью:

14. Фториды (ПНД Ф 14.1:2:4.270-2012)
Результаты измерений концентрации фторид-ионов при занесении в протокол округляют с точностью:

15. Растворенный кислород (ПНД Ф 14.1:2:3.101-97)
Численные значения результата измерений должны оканчиваться цифрой того же разряда, что и значения характеристики погрешности.

Источник

Значимые цифры: правила, примеры, решенные упражнения

Содержание:

А что происходит, когда число целое? Это означает, что он известен с максимально возможной точностью, другими словами, он имеет бесконечную точность. Например, при подсчете людей, животных или таких предметов, как книги и телефоны, результатом будет точное целое число.

Если мы скажем, что в кинотеатре 110 человек смотрят фильм, это точное число, ни много, ни мало, и оно состоит из трех значащих цифр.

Значительные числа обрабатываются по некоторым простым правилам, которые запоминаются после небольшой практики, как мы увидим дальше.

Правила определения значащих цифр числа

Правило 1

Начальные нули не считаются значащими цифрами, поэтому 0,045 и 4,5 имеют две значащие цифры, поскольку они начинают отсчет слева и начиная с первой ненулевой цифры.

Правило 2

Нули после (справа) первой значащей цифры действительно считаются значащей цифрой (если это оправдано точностью измерительного прибора).

Наконец, нули в середине также считаются значащей цифрой.

Правило 3

Для чисел, записанных в экспоненциальном представлении, все цифры в мантиссе значимы, а показатель степени не влияет на точность.

Правило 4

При выполнении операций с десятичными знаками, например при вычислении площадей или других подобных операций, результат должен иметь такое же количество значащих цифр, что и количество с наименьшим количеством значащих цифр, участвовавших в операции. Это правило действует для любых арифметических операций.

Правило 5

Знак числа не влияет на количество его значащих цифр.

Мы сразу же увидим некоторые примеры этого и всех других правил.

Примеры

Пример 1

Найдите, сколько значащих цифр в каждом из этих чисел.

Ответы

а) 876 имеет 3 значащих цифры.

б) 1000,68 имеет 6 значащих цифр, поскольку нули в середине считаются как таковые.

c) Вместо 0,00005026 имеется 4 значащих цифры. Обратите внимание, что 5 нулей слева от 5 не считаются значащими цифрами, тогда как 0 между 5 и 2 считается.

г) 4.8 имеет 2 значащих цифры.

Пример 2

Обычно измерения проводят с помощью измерительных инструментов, таких как рулетки, часы, термометры, весы и т. Д. Со сколькими значащими цифрами мы должны указывать количества, которые мы измеряем таким образом?

Ответить

Это зависит от оценки инструмента, которым он измеряется. Возьмем пример: измерьте внешний диаметр трубы с помощью градуированной линейки и штангенциркуля.

Он более точен, чем градуированная линейка, потому что с его помощью мы можем узнать более значащие числа определенной длины.

Вот почему нет смысла сообщать периметр, скажем, 35,88 см, если мы измеряем его рулеткой, поскольку этот инструмент недостаточно точен, чтобы указать такое количество значащих цифр.

Оценка рулетки A определяется по:

Пример 3

Сколько значащих цифр в показании цифрового термометра?

Ответить

Термометр на рисунке показывает трехзначные показания температуры. Однако в показанном измерении 36,6 ºC только первые две цифры слева направо являются точными, поскольку на десятичную дробь влияет погрешность оценки прибора, которая обычно указывается на задней стороне прибора или на ваше руководство по эксплуатации.

Обычно для представленного типа цифрового прибора погрешность оценки составляет 0,1 ºC. Этого достаточно, чтобы быть уверенным, что у вас нет температуры.

Правила округления чисел

При использовании калькулятора для выполнения расчетов с полученными измерениями некорректно давать результат, используя все цифры, которые появляются на экране.

Сохраняются только те, которые точно известны, поскольку только они имеют истинное значение. Затем необходимо округлить результаты, чтобы они соответствовали количеству точно известных цифр. Вот эти правила:

-Если число, следующее за цифрой, которую необходимо скрыть, является равно или больше 5, к этой цифре добавляется 1.

Например, при округлении 3,786 до двух десятичных знаков мы хотим сохранить числа до 8. Поскольку число, следующее за (6), больше 5, 8 становится 8 + 1 = 9, и число остается как 3.79.

-Когда число, следующее за цифрой, которую необходимо сохранить, менее 5, цифра останется прежней.

Если мы хотим округлить 1,27924, чтобы у него было только 3 десятичных разряда, это достигается путем достижения 9, за которым следует 2. Поскольку 2 меньше 5, эти десятичные дроби исчезают, а округленное число остается 1,279.

Упражнение решено

Обеденный стол имеет форму и размеры, указанные на прилагаемом рисунке. Вам предлагается рассчитать его площадь по правилам работы со значащими цифрами.

Решение

Зона стола может быть разделена на центральную прямоугольную зону и два полукруга, по одному с каждой стороны, которые вместе составляют один полный круг.

Мы будем называть A₁ к площади прямоугольника, задаваемой:

К₁ = основание × высота = 2,5 м x 1,0 м = 2,5 м 2

Со своей стороны, площадь круга, равная площади 1 полукруга, умноженной на 2, равна:

Диаметр любого из полукругов составляет 1,0 м, поэтому радиус равен 0,50 м. Диаметр также можно использовать напрямую для расчета площади, в этом случае:

К₂ = (π × диаметр 2 ) / 4

К₂ = [π x (1,0 м) 2 ] / 4 = 0,785398163 м 2

Были использованы все цифры, предоставленные калькулятором. Теперь добавляем A₁ уже₂ для общей площади стола A:

A = (2,5 + 0,785398163) м 2 = 3,285398163 м 2

Поскольку размеры таблицы известны до двух значащих цифр, не имеет смысла выражать результат со всеми десятичными знаками, указанными калькулятором, который никогда не дает количество значащих цифр в результате.

Что вам нужно сделать, так это округлить область так, чтобы в ней было такое же количество значащих цифр, что и размеры таблицы, то есть 2. Таким образом, окончательный результат будет представлен следующим образом:

Ссылки

10 важнейших характеристик общества

Культура Кампече: фестивали, ремесла, гастрономия

Источник

Значимые фигуры

Числа часто округляют, чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, это создало бы ложную точность для выражения измерения как 12,34525 кг (с семью значащими цифрами), если бы шкала была измерена только с точностью до грамма и дала показание 12,345 кг (с пятью значащими цифрами). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы их можно было быстрее произносить в выпусках новостей.

Далее предполагается основание системы счисления 10.

СОДЕРЖАНИЕ

Определение значащих цифр [ править ]

Правила обозначения значащих цифр в числах [2] [ править ]

Важно отметить, что идентификация значащих цифр данного числа требует точности числа или разрешения измерения, поскольку только цифры в пределах точности могут быть значимыми; например, 3 и 4 в 0,00234 не имеют значения, если точность до 0,001. (Число достоверно только с точностью до тысячных.)

Способы обозначения значащих цифр в целых числах с завершающими нулями [ править ]

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно оказывается точным кратным сотне) или оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неопределенности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

Поскольку приведенные выше условные обозначения не являются общедоступными, для обозначения значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:

Округление и десятичные знаки [ править ]

Чтобы округлить до n значащих цифр: [4] [5]

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков (например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют). Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.

В британских налоговых декларациях доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.

В качестве иллюстрации десятичная величина 12,345 может быть выражена различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать имеющейся точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.

Подходящее приближение
Концепции
Порядок аппроксимации Масштабный анализ · Обозначение Big O Подгонка кривой · Ложная точность Значимые числа
Прочие основы
Аппроксимация · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование

Другой пример для 0,012345 :

Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое дается формулой: [ необходима ссылка ]

который может потребоваться написать с особой маркировкой, как описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.

Арифметика [ править ]

Поскольку существуют правила определения количества значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют правила определения количества значащих цифр в количествах, рассчитываемых на основе этих измеренных величин.

Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов; десятичный разряд последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичный разряд последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. [ необходима цитата ] Тем не менее, большая точность часто достигается, если некоторые незначительные цифры сохраняются в промежуточных результатах, которые используются в последующих вычислениях. [ необходима цитата ]

При взятии антилогарифмов полученное число должно иметь столько значащих цифр, сколько мантисса в логарифме.

Выполняя расчет, не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте столько цифр, сколько возможно (по крайней мере, на 1 больше, чем предполагает точность окончательного результата) до конца вычислений, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления. [7]

Оценка десятых [ править ]

При использовании линейки сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз, ближе чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае его можно оценить как от 4,51 см до 4,53 см (см. Ниже).

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если принять нормальную линейку хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. [8] В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке калибровки линейки. [9]

Оценка [ править ]

При оценке доли лиц, несущих определенную характеристику в популяции, из случайной выборки этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.

Отношение к точности и точности измерения [ править ]

В вычислениях [ править ]

Источник