1.Петлеобразное движение планет. Общее представление о строении Солнечной системы вы получили еще в курсе природоведения. Теперь вам предстоит более глубоко изучить строение Солнечной системы, и начнем с описания и анализа наблюдаемого движения планет (рис. 17).
Рис. 17. Планеты Солнечной системы.
Невооруженным глазом можно увидеть пять планет — Меркурий, Венеру, Марс, Юпитер и Сатурн. Планету по внешнему виду нелегко отличить от звезды, тем более что не всегда она бывает значительно ярче ее. Планеты относятся к числу тех светил, которые не только участвуют в суточном вращении небесной сферы, но еще и смещаются (иногда незаметно) на фоне зодиакальных созвездий. С этой особенностью планет связано само слово «планета», которым древние греки называли «блуждающие» светила. Чем лучше вы будете знать звездное небо, тем скорее обнаружите на нем планеты как «лишние» светила в созвездиях. В 8-кратный бинокль (а лучше телескоп!) можно заметить, что Венера, Юпитер, Сатурн имеют диски, в отличие от звезд, которые в оптические инструменты видны как точечные объекты.
Если проследить за перемещением какой-нибудь планеты, например Марса, ежемесячно отмечая его положение на звездной карте, то может выявиться главная особенность видимого движения планеты: планета описывает на фоне звездного неба петлю (рис. 18).
Петлеобразное движение планет долгое время оставалось загадочным и, как вы скоро узнаете, нашло простое объяснение в учении Коперника.
Рис. 18. Видимое движение планеты. Такую петлю описал на фоне звездного неба Марс с ноября 1979 г. по июль 1980 г.
Рис. 19. Конфигурация планет.
Видимое движение нижних планет напоминает колебательное движение около Солнца. Нижние планеты лучше всего наблюдать вблизи элонгации (наибольшая элонгация Меркурия — 28°, а Венеры — 48°). С Земли в это время видно не все освещенное Солнцем полушарие планеты, а лишь часть его ( фаза планеты). При восточной элонгации планета видна на западе вскоре после захода Солнца, при западной — на востоке незадолго перед восходом Солнца.
Верхние планеты лучше всего видны вблизи противостояний, когда к Земле обращено все освещенное Солнцем полушарие планеты.
3. Сидерические (звездные) и синодические периоды обращений планет. Промежуток времени, в течение которого планета совершает полный оборот вокруг Солнца по орбите, называется сидерическим (или звездным) периодом обращения (Т), а промежуток времени между двумя одинаковыми конфигурациями планеты — синодическим периодом ( S ).
Планеты движутся вокруг Солнца в одном направлении, и каждая из них через промежуток времени, равный ее сидерическому периоду, совершит один полный оборот вокруг Солнца. Через промежуток времени, равный, например, сидерическому периоду Земли ( ), нижняя планета обгонит Землю, а верхняя отстанет от нее, т. е. первоначальная конфигурация планет не восстановится. Следовательно, синодический период не равен сидерическому. Между обоими периодами существует зависимость, ее легко установить. Для этого сравним дуги, на которые в течение суток сместятся по орбите какая-нибудь планета и Земля . Раз ность этих средних перемещений есть наблюдаемое суточное смещение планеты . Значит, длянижней планеты, которая движется по орбите быстрее Земли, можно написать
(12)
а для верхней, которая движется медленнее, чем Земля, —
(13)
Формулы (12) и (13) называются уравнениями синодического движения. В них = 1 году (или 365,26 сут).
Пример 3. Как часто повторяются противостояния Марса, сидерический период которого 1,9 года?
Общее представление о строении Солнечной системы вы получили еще в курсе природоведения. Теперь вам предстоит более глубоко изучить строение Солнечной системы, и начнем с описания и анализа наблюдаемого движения планет. Невооруженным глазом можно увидеть пять планет — Меркурий (Мercury), Венеру (Venus), Марс (Mars), Юпитер (Jupiter) и Сатурн (Saturn).
Планету по внешнему виду нелегко отличить от звезды, тем более что не всегда она бывает значительно ярче ее. Планеты относятся к числу тех светил, которые не только участвуют в суточном вращении небесной сферы, но еще и смещаются (иногда незаметно) на фоне зодиакальных созвездий. С этой особенностью планет связано само слово «планета», которым древние греки называли «блуждающие звёзды». Чем лучше вы будете знать звездное небо, тем скорее обнаружите на нем планеты как «лишние» светила в созвездиях. В 8-кратный бинокль (а лучше телескоп!) можно заметить, что Венера, Юпитер, Сатурн имеют диски, в отличие от звезд, которые в оптические инструменты видны как точечные объекты. Если проследить за перемещением какой-нибудь планеты, например Марса, ежемесячно отмечая его положение на звездной карте, то может выявиться главная особенность видимого движения планеты: планета описывает на фоне звездного неба петлю.
Блуждание планет в зодиакальных созвездиях смог объяснить только Николай Коперник в начале 16 века. Такое видимое отображение на небесной сфере происходит в силу движения Земли и планет с разными скоростями вокруг Солнца. Для описания светил [Луна, Солнце, Планеты], экваториальные координаты которых меняются быстро, используют понятие эклиптики. Эклиптика — это видимый годовой путь центра солнечного диска по небесной сфере. Видимое движение Солнца по эклиптике — это отражение действительного движения Земли вокруг Солнца (доказано лишь в 1728 году Джеймсом Брадлеем открытием годичной аберрации [отклонение от нормы] ).
Благодаря движению Земли вокруг Солнца, пути внешних (верхних) планет кажутся нам не плавными, кругообразными, какими они являются на самом деле, а зигзаговидными или петлеобразными. Планета сначала быстро бросается вперед, затем останавливается, затем делает попятное движение, снова останавливается и снова делает прыжок вперед и т. д., пока не обойдет кругом всего видимого неба и не начнет следующего обхода такими же скачками, но уже по новому пути.
Для нас, живущих после Коперника, в этом не только нет ничего удивительного, но именно так и должно быть. Поясним такое движение на примере, который может проделать каждый самостоятельно. Я беру в руки карандаш, поднимаю его до уровня своих глаз, прищуриваю один из них и смотрю другим, какое место на стене закрывает кончик этого карандаша?
Затем, оставив карандаш неподвижным, начинаю качать головой, делая ею круговые движения. Мне кажется, что проекция конца карандаша вычеркивает на стене эллипс или двигается взад и вперед. Если же, не переставая кружить своей головой, я буду медленно двигать карандаш на вытянутой вперед руке вокруг себя, то мне будет казаться, что он описывает на стоящей за ним стене совершенно такие же петлеобразные фигуры, как и планета между звездами. Причины в обоих случаях совершенно те же самые. Обращающийся вокруг моей шеи кончик карандаша представляет внешнюю планету, медленно и плавно обращающуюся вокруг солнца, а мой глаз, делающий вместе с головой круговые движения вокруг продолжения моей шеи, представляет землю, тоже обращающуюся вокруг солнца. Когда эта Земля опережает кончик карандаша, мне кажется, что проекция его на стене производит попятное движение, как планета на фоне отдаленных звезд при тех же обстоятельствах. Когда же глаз отойдет при качании моей головы в противоположную сторону от кончика карандаша, мне кажется, что его проекция движется на стене вперед ускоренным путем.
Николай Коперник указал, что Земля, занимая третье место от Солнца, так же, как и другие планеты, движется в пространстве вокруг Солнца и одновременно вращается вокруг своей оси. Эта система Коперника очень просто объясняла петлеобразное движение планет. У каждой планеты своя орбита и потому разный период обращения планет вокруг Солнца, а значит скорость движения планет вокруг Солнца и относительно друг друга неодинакова. На рисунке ниже показано движение Марса на небесной сфере, наблюдаемое с Земли. Одинаковыми цифрами отмечены положения Марса, Земли и точек траектории Марса на небосводе в одни и те же моменты времени.
В астрологии такое движение планет называется ретроградным:
Таким образом петлеобразное движение определяется взаимным расположением планет.
2. Конфигурация планет
Конфигурациями называются некоторые характерные взаимные расположения планет, Земли и Солнца. Конфигурации нижних и верхних планет различны, так как различны условия их видимости. Видимость планеты зависит от её расположения к Солнцу, которое освещает планету, и Земли, с которой мы эту планету наблюдаем.
Для нижних планет выделяют соединения (нижние и верхние) и элонгации (восточные и западные)
Синодические периоды планет были рассчитаны ещё в глубокой древности, когда считалось, что все тела обращаются вокруг Земли. Однако мы уже знаем, что Земля не является неподвижным телом, а вместе с остальными планетами движется вокруг Солнца. Так вот, промежуток времени, в течение которого планета совершает один полный оборот вокруг Солнца по орбите относительно звёзд, называется сидерическим (звёздным) периодом (от лат. sidus — звезда; род. падеж sideris ). Часто, для простоты, сидерический период называют годом. К примеру, Земной год, Меркурианский год, Юпитерианский год и так далее.
Сидерический период обращения планеты вокруг Солнца с движущейся Земли определить невозможно, так как к его окончанию Земля успевает сместиться в новую точку пространства, и проекция планеты на фон неподвижных звёзд также оказывается смещённой. Получится, что планета может не дойти либо перейти ту точку среди звёзд, откуда было замечено начало её движения. Но между синодическим (то есть видимым) и сидерическим (то есть истинным) периодами планет существует взаимосвязь. Установим её:
Уравнение синодического движения верхних планет можно получить аналогичными рассуждениями. Единственное отличие состоит в том, что их сидерический период обращения больше сидерического периода Земли. Поэтому для верхних планет уже Земля, забега вперёд, совершает один оборот вокруг Солнца и догоняет планету.
3. Сутки в асторономии
Продолжительность суток на планете зависит от угловой скорости её собственного вращения. В астрономии различают несколько типов суток, в зависимости от системы отсчёта. Если в качестве точки отсчёта вращения выбрать далёкую звезду, то, в отличие от центрального светила планетной системы, такие сутки будут иметь иную продолжительность. Например, на Земле различают средние солнечные сутки (24 часа) и звёздные, или сидерические сутки (приблизительно 23 часа 56 минут 4 секунды). Они не равны друг другу, потому что, из-за орбитального движения Земли вокруг Солнца, для наблюдателя, находящегося на поверхности Земли, Солнце смещается на фоне далёких звёзд.
Первая научная геоцентрическая система мира начала формироваться в трудах Аристотеля и других ученых древней Греции. Свое завершение она получила в работах древнегреческого астронома Птолемея. Согласно этой системе в центре мира расположена Земля, откуда и название геоцентрическая. Вселенная ограничена хрустальной сферой, на которой расположены звезды. Между Землей и сферой движутся планеты, Солнце и Луна. Древние считали, что равномерное круговое движение – это идеальное движение, и что небесные тела именно так и движутся. Но наблюдения показывали, что Солнце и Луна движутся неравномерно и для устранения этого очевидного противоречия, пришлось предположить, что они движутся по окружностям, центры которых не совпадают ни с центром Земли, ни между собой. Еще более сложное петлеобразное движение планет пришлось представить как сумму двух круговых равномерных движений. Такая система позволяла с достаточной для наблюдений точностью рассчитывать взаимное расположение планет на будущее. Петлеобразное движение планет еще долгое время оставалось загадкой и нашло свое объяснение только в учении великого польского астронома Николая Коперника
2. Петлеобразное движение планет.
3. Иоганн Кеплер и Исаак Ньютон.
Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж, в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого».
Первый закон Кеплера. Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Второй закон Кеплера Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади: скорость движения планет максимальна в перигелии и минимальна в афелии.
Третий закон Кеплера. Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца соотносятся между собой, как кубы их средних расстояний от Солнца:
Основная задача небесной механики – это исследование движения небесных тел под действием сил всемирного тяготения. А именно расчет орбит планет, комет, астероидов, искусственных спутников Земли, космических аппаратов, звезд в двойных и кратных системах. Все задачи в математическом смысле очень трудны и за редким исключением решаются только численными методами с помощью самых больших ЭВМ. Однако модельные задачи, в которых тела рассматриваются как материальные точки и можно пренебречь влиянием других тел, можно решить в общем виде, т. е. получить формулы для орбит планет и спутников. Простейшей считается задача двух тел, когда одно значительно больше другого и система отсчета связана с этим большим телом.
Именно для этого случая три закона движения планет относительно Солнца были получены эмпирически Иоганном Кеплером. Как же он это сделал? Кеплеру были известны: координаты Марса на небесной сфере с точностью до 2” по данным наблюдений его учителя Тихо Браге; относительные расстояния планет от Солнца; синодические и сидерические периоды обращения планет. Далее он рассуждал примерно так.
Известно положение Марса во время противостояния (см. рис.). В треугольнике АВС буква А обозначает положение Марса, В— Земли, С – Солнца. Через промежуток времени, равный сидерическому периоду обращения Марса (687 дней) планета вернется в точку А, а Земля за это время переместится в точку В’. Поскольку угловые скорости движения Земли в течение года известны (они равны угловым скоростям видимого движения Солнца по эклиптике), можно вычислить угол АСВ’. Определив координаты Марса и Солнца в момент прохождения Землей через точку В’, мы можем, зная в треугольнике 2 угла, по теореме синусов рассчитать отношение стороны СВ’к АС. Еще через один оборот Марса Земля придет в положение В»и можно будет определить отношение СВ»к тому же отрезку АС и т. д. Таким образом, точка за точкой можно получить представление об истинной форме орбиты Земли, установить, что она является эллипсом, в фокусе которого находится Солнце. Можно определить что, если время движения по дуге M3M4 = времени движения по дуге M1M2, то Пл. SM3M4 = Пл. SM1M2.
5. Закон всемирного тяготения Ньютона.
Исаак Ньютон смог объяснить движение тел в космическом пространстве с помощью закона всемирного тяготения. Он пришел к своей теории в результате многолетних исследований движения Луны и планет. Но упрощенный вывод закона всемирного тяготения можно сделать и из третьего закона Кеплера.
Согласно II закону Ньютона, сила F, сообщающая планете это ускорение, равна: (1) т. е. прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до Солнца.
Необычно ведет себя сила тяжести внутри Земли. Если Землю принять за однородный шар, сила тяжести растет пропорционально расстоянию до центра шара r.
6. Конические сечения.
Конические сечения образуются при пересечении прямого кругового конуса с плоскостью. К коническим сечениям относятся кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола. Все они является геометрическим местом точек, расстояния от которых до заданных точек (фокусов) или до заданной прямой (директрисы) есть величина постоянная. Например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: F1M+F2M=2а=const. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е =с/а. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуосьа является средним расстоянием от фокуса до эллипса. Ближайшая к фокусу точка эллипса называется перицентром, самая удаленная – апоцентром. Расстояние от фокуса до перицентра равно ПF1 = a (1 – e), до апоцентра – F1A = a (1 + e).
7. Ревизия законов Кеплера.
Итак, Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон же вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. В результате этого претерпели изменения первый и третий законы. Первый закон Кеплера был обобщен и его современная формулировка звучит так: Траектории движения небесных тел в центральном поле тяготения представляют собой конические сечения: эллипс, окружность, параболу или гиперболу, в одном из фокусов которой находится центр масс системы. Форма траектории определяется величиной полной энергии движущегося тела, которая складывается из кинетической энергии К тела массы m, движущегося со скоростью v, и потенциальной энергии U тела, находящегося в гравитационном поле на расстоянии r от тела с массой М. При этом действует закон сохранения полной энергии тела. Е=К +U=const;К =mv2/2,U=-GMm/r.
Закон сохранения энергии можно переписать в виде: (2).
Константа h называется постоянной энергии. Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E и зависит только от начального радиус-вектора r0 и начальной скорости v0. При h 0 кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимися коническими сечениями. Как следует из формулы (2), приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в соответствии со вторым законом Кеплера. Второй закон Кеплера не подвергся ревизии, а вот третий был уточнен, и звучит он так: отношение куба большой полуоси. планетной орбиты к квадрату периода обращения планеты вокруг Солнца равно сумме масс Солнца и планеты, где (3)MQ и m массы Солнца и планеты, соответственно; а и Т – большая полуось и период обращения планеты. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.
Если мы применим этот закон к планетам Солнечной системы и пренебрежем массами планет М1 и М2 в сравнении с массой Солнца М☼ (т. е. M1
), нижняя планета обгонит Землю, а верхняя отстанет от нее, т. е. первоначальная конфигурация планет не восстановится. Следовательно, синодический период не равен сидерическому. Между обоими периодами существует зависимость, ее легко установить. Для этого сравним дуги, на которые в течение суток сместятся по орбите какая-нибудь планета 
и Земля 
. Раз ность этих средних перемещений есть наблюдаемое суточное смещение планеты 
. Значит, длянижней планеты, которая движется по орбите быстрее Земли, можно написать
(12)
(13)
= 1 году (или 365,26 сут).
Известно положение Марса во время противостояния (см. рис.). В треугольнике АВС буква А обозначает положение Марса, В — Земли, С – Солнца. Через промежуток времени, равный сидерическому периоду обращения Марса (687 дней) планета вернется в точку А, а Земля за это время переместится в точку В’. Поскольку угловые скорости движения Земли в течение года известны (они равны угловым скоростям видимого движения Солнца по эклиптике), можно вычислить угол АСВ’. Определив координаты Марса и Солнца в момент прохождения Землей через точку В’, мы можем, зная в треугольнике 2 угла, по теореме синусов рассчитать отношение стороны СВ’ к АС. Еще через один оборот Марса Земля придет в положение В» и можно будет определить отношение СВ» к тому же отрезку АС и т. д. Таким образом, точка за точкой можно получить представление об истинной форме орбиты Земли, установить, что она является эллипсом, в фокусе которого находится Солнце. Можно определить что, если время движения по дуге M3M4 = времени движения по дуге M1M2, то Пл. SM3M4 = Пл. SM1M2.
(1) т. е. прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до Солнца.
Необычно ведет себя сила тяжести внутри Земли. Если Землю принять за однородный шар, сила тяжести растет пропорционально расстоянию до центра шара r.
(2).
Константа h называется постоянной энергии. Она прямо пропорциональна полной механической энергии тела E и зависит только от начального радиус-вектора r0 и начальной скорости v0. При h 0 кинетическая энергия тела достаточно велика, и на бесконечном расстоянии от притягивающего центра тело будет иметь ненулевую скорость удаления от него – это движение по гиперболе. Таким образом, можно сказать, что тело движется относительно притягивающего центра только по орбитам, являющимися коническими сечениями. Как следует из формулы (2), приближение тела к притягивающему центру всегда должно сопровождаться увеличением орбитальной скорости тела, а удаление – уменьшением в соответствии со вторым законом Кеплера. Второй закон Кеплера не подвергся ревизии, а вот третий был уточнен, и звучит он так: отношение куба большой полуоси. планетной орбиты к квадрату периода обращения планеты вокруг Солнца равно сумме масс Солнца и планеты, где (3) MQ и m массы Солнца и планеты, соответственно; а и Т – большая полуось и период обращения планеты. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам.
Если мы применим этот закон к планетам Солнечной системы и пренебрежем массами планет М1 и М2 в сравнении с массой Солнца М☼ (т. е. M1