Что такое площадь прямоугольного треугольника
Все основные формулы площади прямоугольного треугольника
1. Если известны только катеты
Формула площади треугольника через катеты ( S ) :
2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет
Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :
Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :
то справедливы следующие тождества:
3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза
Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :
Площадь прямоугольного треугольника
Как найти площадь прямоугольного треугольника?
Любая формула площади треугольника может быть использована и для вычисления площади прямоугольного треугольника.
Выведем формулы для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты, гипотенузу, острый угол, проекции катетов на гипотенузу.
I. Площадь треугольника равна половине произведению стороны на высоту, проведенную у этой стороне:
Поскольку катеты перпендикулярны, то один катет является высотой, проведенной к другому катету.
Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Формула для нахождения
площади прямоугольного
треугольника
через катеты
площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе:
Так как высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
площадь прямоугольного треугольника
через проекции его
катетов на гипотенузу:
II. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними:
Для прямоугольного треугольника эту формулу можно записать как
Нахождение площади прямоугольного треугольника по формуле Герона либо через радиус вписанной или описанной окружности также возможно, но нецелесообразно, поскольку ведет к усложнению вычислений.
Как найти площадь треугольника
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Площадь прямоугольного треугольника
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные определения
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.
Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.
Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты
Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.
Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.
S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.
Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол
Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:
S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2
r — радиус вписанной окружности
C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью
Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!
Найти площадь прямоугольного треугольника
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
Теория
Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?
Формула
Пример
К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:
S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²
Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе
Теория
Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?
Формула
Пример
К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:
Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу
Теория
Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)
Пример
К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:
S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²
Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу
Теория
Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
Пример
К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:
S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²
Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов
Теория
Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны длина гипотенузы (c) и один из острых углов?
Формула
S = ½ ⋅ c² ⋅ sin(α) ⋅ cos(α) = ½ ⋅ c² ⋅ sin(β) ⋅ cos(β)
Пример
К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:
S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²