Что такое погрешность приближения

Погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью. Погрешность приближения представляет собой взятую по модулю разность между точным значением числа и его приближенным значением.

Если a — это точное значение числа, а b — его приближенное значение, то погрешность приближения определяется по формуле |a – b|.

Допустим, что в результате измерений было получено число 1,5. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа равно 1,552. В таком случае погрешность приближения будет равна |1,552 – 1,5| = 0,052.

Как известно, приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку. То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15. Причина, по которой в вычислениях используется его приближение по недостатку, заключается в применении правил округления. Согласно этим правилам, если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку. Если меньше пяти, то по недостатку. Так как третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то поэтому при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.

Действительно, если вычислить погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку, то получим:

|3,14159. – 3,14| = 0,00159.
|3,14159. – 3,15| = 0,0084.

Говоря о погрешности приближения, также как и в случае с самим приближением (по избытку или недостатку), указывают его точность. Так в приводимом выше примере с числом π следует сказать, что оно равно числу 3,14 с точностью до 0,01. Ведь модуль разности между самим числом и его приближенным значением не превышает 0,01 (0,00159. ≤ 0,01).

Точно также π равно 3,15 с точностью до 0,01, так как 0,0084. ≤ 0,01. Однако если говорить о большей точности, например до 0,005, то мы можем сказать, что π равно 3,14 с точностью до 0,005 (так как 0,00159. ≤ 0,005). Сказать же это по отношению к приближению 3,15 мы не можем (так как 0,0084. > 0,005).

Источник

Погрешность и точность приближения

Урок 29. Алгебра 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Погрешность и точность приближения»

При измерении длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях получаются числа, выражающие эти величины.

Ввиду погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой величины.

У каждого из вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.

Из рисунка видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но это было бы не совсем точное измерение.

Такую неточность называют погрешностью измерения.

В нашем случае, на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.

Приближённое значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см. Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.

Значение абсолютной погрешности не всегда можно найти. Но обычно известна её оценка сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.

Посмотрите, на слайде изображён отрезок CD.

Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см. Понятно, что 7 см – это приближённое значение длины отрезка CD с недостатком, а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с избытком.

Если истинную длину отрезка обозначить за х, то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет неравенству:

Пусть истинное значение измеряемой величины равно .

Измерение дало результат .

Тогда разность – это абсолютная погрешность измерения.

Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:

Принято писать

Точность приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от прибора, с помощью которого выполнялось это измерение.

Вот, например, комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах, у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.

Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого значения.

Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Относительную погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна лишь его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.

Например: при измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и толщины компакт-диска получили следующие результаты:

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

Число называют границей абсолютной погрешности измерения, если выполняется неравенство:

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно

Источник

Абсолютная и относительная погрешности

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.

где х — это точное значение числа, а — его приближенное значение.

Приближение может выполняться как по недостатку , так и по избытку .

То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.

Правило округления: если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.

Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.

Вычислим абсолютные погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку:

Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.

Относительная погрешность приближения

Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.

Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.

Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведём несколько примеров.

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.

Найдите абсолютную погрешность приближения:

числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;

числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;

числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;

числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;

Запишите в виде двойного неравенства:

Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:

Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,0005?

Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,005?

Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:

Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.

Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если т (с точностью до 0,5 т), а г (с точностью до 0,01 г).

Сравните качества измерения длины реки Волги и диаметра мячика для настольного тенниса, если км (с точностью до 5 км) и мм (с точностью до 1 мм).

Источник

Лекция 14. Приближенные числа. Погрешности арифметических действий.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Лекция 14. Приближенные числа. Погрешности арифметических действий.

Величиной называется то, что может быть в определенных единицах выражено числом. Например, длина, площадь, объем – это величины. Значение величины, в истинности которого мы не сомневаемся, называется точным (в дальнейшем х — точное число ). Но обычно на практике, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее приближенное значение (в дальнейшем а — приближенное число ). Например, при измерении физических величин с помощью измерительных приборов.

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения .

Предельной абсолютной погрешностью приближения или границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности называется число .

Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей оценкой погрешности является наименьшая оценка. Краткая запись точного числа:

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю точного значения величины называется относительной погрешностью .

На практике используется

Для предельной относительной погрешности (оценки относительной погрешности): .

Относительная погрешность обычно выражается в %.

В дальнейшем слово оценка опускается.

Отсюда следует, что , т.е.

Если учесть, что 3,14 π то получим лучшую оценку

ПРИМЕР 2. При измерении длины пути получен результат 25,2 км с точностью до 2м. Вычислить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности.

ПРИМЕР 3. При измерении длины пути L = 10 км допущена ошибка  (L) = 10 м, а при измерении диаметра гайки d = 4см допущена погрешность  ( d ) = 1мм. Какое из этих двух измерений более точное?

По условию задач  (L) = 0,01 км,

Поскольку  (L)  ( d ) то первое измерение является более точным.

Существует еще понятие верной цифры в узком смысле : .

Значащими цифрами числа, записанного в десятичной форме, называются все верные цифры числа, начиная с первой слева, отличной от 0. Все нули слева являются незначащими. По количеству значащих цифр можно легко оценить абсолютную погрешность приближенного числа. За оценку абсолютной погрешности можно взять 0,5 разряда, следующего за последней значащей цифрой. Предельную относительную погрешность можно принять равной дроби, числитель которой 1, а знаменатель – удвоенное целое число, записанное при помощи всех значащих цифр данного числа.

ПРИМЕР. а=0,065;

V=503м 3

РЕШЕНИЕ.

ЗАДАЧА 1.2. Известно, что приближенное значение а имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную погрешность.

РЕШЕНИЕ.

а=0,6594

РЕШЕНИЕ.

Известно, что приближенное значение а имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную погрешность со следующими исходными данными.

а=694,6 ,

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 28 октября 2019 г.

Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность