Что такое погрешность в физике и как ее найти
Погрешность измерения в физике
Вы будете перенаправлены на Автор24
Погрешностью измерений в физике считается результат измерения физической величины, в независимости от разновидности применения технического средства при измерении.
При этом, каким бы тщательным образом не производилось измерение, в результате оно всегда будет отличаться на некоторую величину от своего истинного значения.
Понятие погрешности измерения
В зависимости от условий, способствующих проведению соответствующего измерения, а также качества подготовки экспериментатора и вида задействованного при измерении технического средства, будет зависеть погрешность измерений.
Погрешность измерения принято считать в физике отклонением значения величины, получившегося после измерения, от ее действительного (истинного) значения. Погрешность измерения представляет собой характеристику точности измерения.
При этом, как правило, невозможным становится выяснение с абсолютной точностью истинного значения измеряемой величины. По этой причине становится невозможным и указание степени отклонения полученного при измерении значения от истинного. Подобное отклонение физики называют ошибкой измерения. Оценка величины такого отклонения возможна только посредством задействования статистических методов.
На практике истинное значение заменяется использованием значения физической величины, полученного экспериментальным способом и настолько близкого к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче смело может применяться вместо него. Подобное значение, зачастую, вычисляется в качестве среднестатистического значения, полученного в момент статистической обработки результатов серии измерений.
Такое значение точным не является, но представляет собой наиболее вероятное. По этой причине в измерениях требуется указание степени его точности. С этой целью, наряду с полученным результатом, указывают погрешность измерений.
Готовые работы на аналогичную тему
Классификация погрешностей
В целях классифицирования погрешностей, в физике применяются следующие признаки: характер проявления, источник появления, условия для проведения измерений, способ выражения, временное поведение величины при измерении.
По источнику возникновения определяются такие виды погрешностей:
Погрешности средств измерений делят, в зависимости от давления, влажности и температуры, на основную и дополнительную.
Дополнительная погрешность, в свою очередь, провоцируется отклонением от нормального значения одной или нескольких влияющих величин. При этом она может оказаться в несколько раз выше основной погрешности.
Погрешности измерений разделяются по характеру своих проявлений на: систематические, случайные и грубые.
Систематические погрешности считаются составляющими погрешностями измерения, которые сохраняют свое постоянство либо изменяются в случае повторных измерений одной и той же величины, благодаря одним и тем же приборам и посредством одного и того же метода. Систематические погрешности возникают вследствие неправильного градуирования шкалы измерительного прибора и изменения момента противодействия.
Случайные погрешности изменяются случайным способом в случае повторных измерений одной и той же величины. Они, в свою очередь, обусловлены неодинаковыми при каждом измерении причинами, и поэтому не могут быть учтены.
Грубые погрешности измерений являются погрешностями, превышающими ожидаемые при данных условиях для измерения. Они могут возникать как следствие небрежности экспериментатора или резких изменений условий измерений.
В зависимости от временного поведения измеряемой величины при измерении определяется:
статистическая погрешность, когда измеряют постоянную во времени величину; динамическая погрешность, когда производится измерение переменной во времени величины, при этом такая погрешность возникает в том случае, когда измерительный прибор не успел отследить изменения измеряемой величины.
Оценка погрешностей измерений
В зависимости от задействования определенного вида измерения, производится соответствующая оценка погрешностей.
Так, в случае использования метода прямого измерения, значение величины определяется непосредственно согласно шкале измерительного прибора, который был задействован в данном случае (динамометра, линейки, часов и др.) При совпадении результатов повторных опытов в пределах максимальной точности измерительного прибора, погрешность измерения считается равнозначной цене деления шкалы прибора.
В случае задействования косвенного метода измерения, значение измеряемой величины устанавливается уже не по непосредственным показаниям прибора, а на основании специальных формул, в которые включены значения физических величин, полученных за счет прямых измерений.
При определении плотности вещества изначально производят измерение массы и объема тела и далее вычисляют плотность.
Одним из максимально упрощенных методов оценки погрешности косвенных измерений считается в физике метод границ, состоящий в том, что посредством специальной формулы, по которой вычисляется измеряемая величина, находятся два ее значения: минимальное и максимальное, и далее вычисляется разница между ними, которая и будет являться истинным значением рассчитываемой величины.
Абсолютная погрешность измерения тогда получится при делении величины, полученной при разнице между максимальным и минимальным значением, на два.
А среднее значение, в свою очередь, рассчитывается делением суммы максимального и минимального значений величины на два.
При этом, округление результатов измерений и вычислений следует производить таким образом, чтобы последняя значащая цифра оказалась в одном с абсолютной погрешностью измеряемой величины десятичном разряде.
Точность и погрешность измерений
Содержание
Одна из самых быстрых машин, которую можно встретить на городской дороге, — BMW M8 Competition, — согласно тестированиям автопроизводителя способна разгоняться до 100 км/ч за впечатляющие 2.5 с.
Иными словами, вы успеете моргнуть лишь единожды прежде, чем спидометр стильного немецкого купе выдаст отметку «100» и, озорно светя задними габаритными огнями, улетит в закат.
Рисунок 1: Панель приборов автомобиля. Спидометр располагается справа.
Физические величины различного рода и их измерения так или иначе окружают нас везде.
К примеру, та же вышеупомянутая динамика разгона, то есть время, за которое транспортное средство разгоняется до определенной скорости, является важным параметром для любого автомобилиста, приобретающего новенький спорткар в салоне.
В жару мы то и дело поглядываем на отметку термометра и ужасаемся, когда температура на отметке безжалостно приближается к 40 °C. Если опаздываем, то обязательно держим под рукой часы и проверяем время по минутам.
Если худеем, то каждое утро начинаем со взвешивания и фиксируем массу своего тела в килограммах. Если растем, то периодически интересуемся, сколько на этот раз метров и сантиметров покажет настенная линейка.
Правда несмотря на то, что физика относится к наукам точным, как бы удивительно ни было, ни одна ее величина — ни время, ни длина, ни скорость, ни что-либо еще — не может быть выражена с предельной точностью.
Ведь вряд ли вы весите, скажем, ровно 60 килограмм без единого лишнего миллиграмма или имеете рост ровно 170 сантиметров. Точно так же, как и BMW M8 Competition не разгоняется до 100 км/ч абсолютно ровно за две с половиной секунды.
Что такое точность?
Точность измерений характеризует близость результата измерения к фактическому значению измеряемой величины. Строго говоря, ни одна физическая величина не может быть измерена с абсолютной точностью — так, чтобы данные измерительного прибора отображали истинное значение.
Мир и его явления, на самом деле, практически всегда имеют отношение к иррациональным числам, таким, как, к примеру, результат деления десяти на три: наберите данную операцию на калькуляторе и посмотрите на то, как неэстетично в реальности выглядят данные — с кучей знаков после запятой, за которыми не угнаться.
Однако иррациональность чисел не удивляет, да и слишком абстрактна, дабы уловить суть. Что есть деление десяти на три? Тогда, для конкретности, стоит покуситься на святое — на время. Казалось бы, что может быть точнее времени, показываемого самыми точными на свете часами — атомными часами?
И тем не менее, даже если вы зайдете на онлайн-ресурс, официально регистрирующий международное атомное время с точностью до миллисекунд, действительного точного измерения времени там вы не найдете.
Всегда есть условности: задержка передачи данных между сетевыми элементами; ваш мозг, регистрирующий и обрабатывающий информацию, поступающую через органы чувств и т. д. Все это отдаляет нас, хоть и несущественно, от фактического значения величины.
Именно поэтому в физике одним из важнейших понятий является понятие погрешности.
Что такое погрешность?
Представьте, что вас отправили в магазин купить сахар, но вот незадача: фасованный в пачках как раз закончился и остался только на развес. Что делать, вы просите продавца тогда отмерить вам ровно килограмм. Продавец взял лопатку, наполнил пакет, положил его на весы, и они выдают значение — 1.000 кг.
Как удачно положили.
Вы рассчитываетесь и счастливым возвращаетесь домой. А теперь представим, что по необыкновенной случайности у вас дома имеются весы, показывающие массу с точностью до миллиграмма. Вы решаете интереса ради перевесить пакет, чтобы посмотреть, действительно ли его масса равна строго килограмму.
И какого же удивление, когда более точные весы показывают массу не в 1.000 кг, а в 0.999990 кг. Иными словами, вас обсчитали. Обсчитали, между прочим, на десять миллиграмм!
Чем меньше цена деления прибора, тем точнее измерение. Ваши весы с учетом массы до миллиграмма оказались точнее магазинных «граммовых» весов. Однако и это не предел, ведь существуют фармакологические весы, определяющие массу до микрограмма — одной миллиардной килограмма. Так можно продолжать до бесконечности, пока у нас не закончатся технологические возможности сконструировать еще более точные весы.
Однако все измерительные приборы, пусть и самые точные, несовершенны. Несовершенно даже само то, как мы видим, слышим и ощущаем мир вокруг. Это, наряду с прочими факторами, приводит к тому, что при измерении величины получается ее приближенное значение, не истинное.
Разница между приближенным и истинным значениями и называется погрешностью.
Важно. Погрешность не равно ошибке. В обычном, бытовом языке мы привыкли к тому, что слово «погрешность» у нас ассоциируется с просчетом или упущением.
В физике погрешность — обыденное явление, присутствующее внутри практически каждой величины, и мало что имеет общего с ошибкой в привычном понимании слова.
Все величины, которые, к примеру, вы видите в типовых физических задачах на вычисление, так или иначе содержат погрешность. Ее не обозначают для удобства. Поэтому помните о невозможности проводить эксперименты в идеальных условиях и о том, что ни один прибор чаще всего не сможет показать результат таким, каков он есть на самом деле.
Как правило, при однократном проведении измерения определить значение погрешности крайне затруднительно: для ее выявления обычно проводят серию равноточных измерений — измерений, произведенных в одинаковых условиях.
После результаты сличаются, то есть сравниваются между собой и, при необходимости, сопоставляются с различными экспериментальными величинами. На основе данных, полученных в результате измерений и сличения, вычисляется погрешность.
Эксперимент с линейкой
Обнаружить явление погрешности можно самостоятельно вне строгой лабораторной обстановки: достаточно провести простой эксперимент измерения длины с обычной школьной линейкой. В качестве примера, возьмем карандаш и выполним с ним замеры.
Рисунок 2. Замер линейкой с ценой деления 1 см.
Во-первых, необходимо зафиксировать цену деления измерительного прибора. Цена деления определяется разностью двух ближайших отметок. В нашем случае она равна 1 см.
Примечание. На разметке измерительного прибора всегда указываются единицы измерения. К примеру, на стандартной линейке можно увидеть пометку «см», сантиметры.
Довольно часто используемые для измерений приборы не работают с основными единицами СИ — единицы величин либо являются производными, как сантиметр, либо, как миллиметр ртутного столба, являются внесистемными.
Когда вас просят привести ответ в СИ, не забывайте о переводе значений, если измерительный прибор работает с внесистемными или производными единицами. В случае с сантиметровой линейкой, при подобном требовании, обязательно выражение результата в метрах и т. п.
Далее совмещаем конец карандаша с нулевой отметкой. Видим, что второй конец располагается между отметками 12 и 13.
Какой из этих результатов следует принять за длину нашего карандаша?
Очевидно, что тот, который будет ближе к истинному значению — 12 см. Если бы мы провели аналогичный опыт, использовав более точную линейку с ценой деления в миллиметр, мы получили бы значение 12.2 см.
Рисунок 3. Замер линейкой с ценой деления 1 мм.
А какой из этих результатов лучше будет засчитать теперь? Какой правильный?
Оба результата фактически являются верными, их разница заключается лишь в том, что получены они были с разной точностью измерения: длина карандаша во втором варианте была дана с точностью до миллиметра, в первом — до сантиметра. Можно было бы воспользоваться микро́метром, еще более точным измерительными прибором, и получить результат с точностью до микроме́тра. Однако в случае с карандашом точности до миллиметра будет достаточно.
Вычисление погрешности
Но что делать, если бы мы захотели учесть погрешность? Как ее вычислить и обозначить математически?
На самом деле, точно определить погрешность не так просто. Для этого необходимо владение методами математической статистики, для чего требуется уже знание высшей математики. Плюс немаловажно определение комплексных параметров вроде класса точности измерительного прибора.
Поэтому для простоты измерений с погрешностью считается, что обычно она равна половине цены деления прибора. В нашем эксперименте при цене деления линейки в сантиметр погрешность составила 0.5 см. При цене деления в миллиметр — 0.05 см.
$l$ = 12 ± 0.5 cм — в случае, когда цена деления составляла сантиметр;
$l$ = 12.2 ± 0.05 см — в случае, когда цена деления составляла миллиметр.
Математический символ плюс-минус (±) используется для обозначения интервала значений и расшифровывается следующим образом: истинное значение величины заключено в диапазоне «от-до».
Формула погрешности
Таким образом, общая формула для записи величин с погрешностью выглядит следующим образом:
Выходит, что истинное значение длины карандаша располагается в диапазоне значений от 11.5 см до 12.5 см.
При более точных замерах до миллиметра: от 12.15 см до 12.25 см.
Однако остается один последний интересный момент. Несмотря на то, что мы провели замеры и определили длину, философски говоря, вопрос остается вопросом: так какую же точную длину имеет карандаш?
Памятка «Как находить погрешность измерений»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Как определять погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое измерение – определение значения физической величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное измерение – определение значения физической величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми прямыми измерениями.
Апр. – приближенное значение физической величины.
А – абсолютная погрешность измерения физической величины.
иА – абсолютная инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора.
оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в большинстве случаев
половине цены деления; при измерении времени – цене деления секундомера или часов.
Абсолютную погрешность измерения обычно округляют до одной значащей цифры:
Численное значение результата измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде, что и цифра погрешности:
Результат измерения записывается так:
%
Определение погрешности методом среднего арифметического
При многократных измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом:
1. Определить среднее значение величины А :
(при трех измерениях).
2.Определить отклонение каждого значения от среднего:
3.Определить среднее значение отклонения, его и принимают за абсолютную погрешность:
4.Определить относительную погрешность и выразить ее в процентах:
№ опыта
Многократные измерения предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются
Определение погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение физической величины находится путем расчетов по формуле.
Относительную погрешность определяют так, как показано в таблице:
Формула относительной погрешности
1. 
2. 
3. 
4. 
Абсолютную погрешность определяют по формуле:
( 
выражается десятичной дробью)
Пример : пусть измеряется сопротивление проводника. 
.
Результаты прямых измерений : 
Тогда 
; 
, 
; 
, 
; 
, 
, 
.
Графическое представление результатов эксперимента
Правила построения графиков
выберите соответствующую бумагу;
выберите масштаб по осям координат;
напишите обозначения измеряемых физических величин;
нанесите на график данные;
нанесите на график доверительные интервалы;
проведите кривую через нанесенные точки;
составьте заголовок графика.
Для построения графиков выпускают специальную бумагу-миллиметровку.
При выборе масштабов по осям координат следует руководствоваться следующими правилами:
— значение независимой переменной откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат;
— цена наименьшего деления масштабной сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения;
— точка пересечения оси абсцисс и оси ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0).
При построении графиков следует иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами 
и 
.
В
 |
При выполнении простых лабораторных работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить крестиком, не указывая доверительных интервалов.
Этот кружок или крестик будут обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности.
Правила приближенных вычислений
1. Основное правило округления.
Если первая отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения, например:
2. При сложении и вычитании приближенных чисел в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством десятичных знаков, например:
3. При умножении и делении приближенных чисел в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например:
4. При возведении в квадрат приближенного числа нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число, например:
5. При извлечении квадратного корня в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число, например:
6. При вычислении промежуточных результатов в них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления.
7. При нахождении углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две значащие цифры, например:
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.