Что такое показательная форма

Показательная форма записи комплексного числа

Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:

Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \) :

Используя формулу Эйлера, получаем:

Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения проблем

Записать комплексное число \(\ z=2 i \) в экспоненциальной форме.

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname \frac=\operatorname \frac<2><0>=\operatorname(\infty)=\frac<\pi> <2>\)

Следовательно, экспоненциальная форма:

Запишите комплексное число \(\ z=4-3 i \) в экспоненциальном виде.

Используйте формулы, описанные выше. Модуль комплексного числа равен

Следовательно, экспоненциальная форма:

Для комплексного числа в экспоненциальной форме \(\ z=2 e^<\frac<\pi> <3>i> \) найти его алгебраическую форму.

Используя формулу Эйлера, получаем:

Действия комплексных чисел в экспоненциальной форме умножение

Для произведения комплексных чисел в экспоненциальной форме справедливо равенство:

Найдите произведение комплексных чисел \(\ z_<1>=\sqrt <2>e^<-\frac<\pi> <2>i> \) и \(\ z_<2>=\sqrt <2>e^<\frac<\pi> <4>i> \)

Используйте формулу, написанную выше. Произведением комплексных чисел является:

Фактор комплексных чисел в экспоненциальной форме выполняется по формуле:

Подробнее о разделении комплексных чисел читайте в отдельной статье: Разделение комплексных чисел.

Для поднятия до степени комплексных чисел формула истинна в экспоненциальной форме:

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Тогда оказывается справедливым равенство:

(3)

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Главное
значение
аргумента

Аргумент

Примеры

Главное
значение
аргумента

Аргумент

Примеры

Главное
значение
аргумента

Аргумент

Примеры

x z Третий
квадрант Знаки x и y

x z Отрицательная
мнимая
полуось Знаки x и y

y z Четвёртый
квадрант Знаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

то по формуле (10) получаем:

Источник

Показательная форма записи комплексного числа

Что такое показательная форма комплексного числа

Выражение \(\mathcal z=\mathcal^<\mathcal i\varphi>\) называется показательной формой комплексного числа, где:

\(\mathcal r=\left|\mathcal z\right|=\sqrt<\mathcal x^2+\mathcal y^2>\) — модуль комплексного числа;

\(\mathcal e^<\mathcal i\varphi>\) — расширение экспоненты, если показатель степени является комплексным числом.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как перейти к показательной форме комплексного числа

Для перехода к показательной форме комплексного числа нужно поработать над его алгебраической записью. Рассмотрим преобразование.

Алгебраическая форма имеет вид:

\(\mathcal z=\mathcal a+\mathcal,\;\) где \(\;\mathcal a\;\) и \(\;\mathcal b\) — действительные числа.

Подставляем полученные значения в показательную форму:

\(\mathcal z=\left|\mathcal z\right|\mathcal e^<\mathcal i\varphi>\) (произведение модуля и аргумента)

Пример:

Комплексно сопряженное число в показательной форме

Если \(\mathcal z=\mathcal a+\mathcal,\) то считаем, что \(\overline<\mathcal z>=\mathcal a-\mathcal\) является комплексным сопряженным к числу \(\mathcal z.\)

Примечание:

Мнимые части отличаются знаком.

Пример:

Действия над комплексными числами в показательной форме

Вычитание и сложение происходит в алгебраической форме. Вычитаем и складываем действительные и мнимые части.

Примеры задач

Задача 1

Дано:

Есть комплексное число \(\mathcal z=-7\mathcal i.\)

Найти:

Записать число в показательной форме.

Решение:

Далее считаем аргумент комплексного числа:

Задача 2

Дано:

Число в алгебраической форме \(\mathcal z=-3+4\mathcal i.\)

Источник

Лекция на тему: «Показательная форма комплексного числа»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Лекция

Показательная форма комплексного числа.

1. Общий вид показательной формы.

2.Действия над комплексными числами в показательной форме

1. Общий вид показательной формы.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

3) где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число ( х=0 ), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Пример 1 . Записать в показательной форме комплексное число .

Модуль Находим аргумент .

Поскольку

Пример 2. Находим модуль . Аргумент (главное значение) найдём из соотношения Итак

Пример 3. .

Пример 4.

2. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Из формули Эйлера (1)

(2) можно получить важне следствия.

Складывая почленно равенства(1) і (2),получим откуда

(3)

Почленно вычитая из равенства (1) равенство (2),получаем откуда

(4)

Равенства(3) і (4) также называются формулами Эйлера; они выражают тригонометрические функции действительного аргумента через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (3) и (4) справедливы и тогда, корда заменяется любым комплексным числом ; такая замена дает:

(5) (6)

равенства (5) и (6) принимаются за определения косинуса и синуса комплексного аргумента. Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел