Что такое полное пространство
Полное пространство
Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).
В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.
Содержание
Пополнение
Всякое метрическое пространство 
можно вложить в полное пространство 
таким образом, что метрика продолжает метрику 
, а подпространство всюду плотно в . Такое пространство называется пополнением и обычно обозначается 
.
Построение
Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в можно ввести отношение эквивалентности
Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой
является метрическим пространством. Само пространство 
изометрически вкладывается в него следующим образом: точке 
соответствует класс постоянной последовательности 
. Получившееся пространство 
и будет пополнением .
Свойства
Примеры
Полные пространства
Неполные пространства
Вариации и обобщения
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Полное пространство» в других словарях:
ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО — термин, относящийся к метрическому пространству, равномерному пространству, топологическому пространству, близости пространству, пространству топологической группы, пространству с симметрикой, псевдометрическому пространству;возможны употребления … Математическая энциклопедия
Полное пространство — Метрическое пространство, в котором выполнен признак сходимости (См. Сходимость) Коши. Последовательность точек x1, х. xn. на прямой, в плоскости или пространстве называемом фундаментальной, если при достаточно больших номерах n и… … Большая советская энциклопедия
ПОЛНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Полное пространство … Математическая энциклопедия
ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ — категории, обозначающие осн. формы существования материи. Пр во (П.) выражает порядок сосуществования отд. объектов, время (В.) порядок смены явлений. П. и в. осн. понятия всех разделов физики. Они играют гл. роль на эмпирич. уровне физ. познания … Физическая энциклопедия
Пространство имен (программирование) — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имен в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имён в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имён (программирование) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство имён. Пространство имён (англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки … Википедия
ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО
термин, относящийся к метрическому пространству, равномерному пространству, топологическому пространству, близости пространству, пространству топологической группы, пространству с симметрикой, псевдометрическому пространству;возможны употребления этого термина и в других ситуациях. Все определения полноты основаны на одной общей идее, конкретное воплощение к-рой зависит от рассматриваемого типа пространств. Общее в определениях полноты состоит в требовании сходимости достаточно широкого класса последовательностей, направленностей или центрированных систем.
Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.
Полезное
Смотреть что такое «ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО» в других словарях:
Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства). В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция… … Википедия
Полное пространство — Метрическое пространство, в котором выполнен признак сходимости (См. Сходимость) Коши. Последовательность точек x1, х. xn. на прямой, в плоскости или пространстве называемом фундаментальной, если при достаточно больших номерах n и… … Большая советская энциклопедия
ПОЛНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Полное пространство … Математическая энциклопедия
ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ — категории, обозначающие осн. формы существования материи. Пр во (П.) выражает порядок сосуществования отд. объектов, время (В.) порядок смены явлений. П. и в. осн. понятия всех разделов физики. Они играют гл. роль на эмпирич. уровне физ. познания … Физическая энциклопедия
Пространство имен (программирование) — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имен в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имён в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имён (программирование) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство имён. Пространство имён (англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки … Википедия
Полное Пространство
Термин, относящийся к метрическому пространству, равномерному пространству, топологическому пространству, близости пространству, пространству топологической группы, пространству с симметрикой, псевдометрическому пространству;возможны употребления этого термина и в других ситуациях. Все определения полноты основаны на одной общей идее, конкретное воплощение к-рой зависит от рассматриваемого типа пространств. Общее в определениях полноты состоит в требовании сходимости достаточно широкого класса последовательностей, направленностей или центрированных систем. Метрич. пространство наз. полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем сходится. В этом же смысле понимается полнота псевдометрич. пространства и пространства с симметрикой. Равномерное пространство наз. полным, если для каждой центрированной системы множеств в нем, содержащей сколь угодно мелкие по отношению к покрытиям из данной равномерной структуры множества, пересечение элементов этой системы не пусто. На топологич. группе есть естественные правая и левая равномерные структуры. Если пространство группы в одной из этих равномерных структур полно, то оно полно и в другой, и топологич. группа наз. тогда полной по Вейлю. Полнота по отношению к двусторонней равномерной структуре на группе, получаемой структурным объединением ее правой и левой структур, наз. полной по Райкову. Полнота метрич. пространства и полнота по Райкову могут быть истолкованы как абсолютная замкнутость по отношению к любым представлениям данного пространства, как подпространства пространства того же типа. В частности, метрич. пространство полно в том и только в том случае, если оно замкнуто в любом объемлющем его метрич. пространстве. Топологич. группа полна но Райкову, если и только если она замкнута в любой топологич. группе, содержащей ее в качестве топологии, подгруппы. Это связано с фундаментальной конструкцией пополнения: каждому метрич. пространству канонич. образом сопоставляется его пополнение — полное метрич. пространство, содержащее исходное пространство в качестве всюду плотного подпространства. Аналогично, каждая топологич. группа пополняема по Райкову, но не каждая топологич. группа пополняема по Вейлю. Для топологич. пространств требование абсолютной замкнутости — т. е. замкнутости в любом объемлющем пространстве,- приводит, если ограничиться классом вполне регулярных хаусдорфовых пространств, к бикомпактным пространствам: такие и только такие пространства обладают этим свойством. Однако есть другой полезный и естественный подход к определению полноты топологич. пространства. Вполне регулярное хаусдорфово пространство наз. полным по Чеху, если оно представимо в виде пересечения счетного семейства открытых множеств в нек-ром своем бикомпактном хаусдорфовом расширении. Все такие пространства обладают свойством Бэра: пересечение счетного семейства непустых открытых всюду плотных множеств в них всегда не пусто. Метризуемое пространство полно по Чеху в том и только в том случае, если оно метризуемо полной метрикой (теорема Александрова — Xаусдорфа). Полнота по Чеху обеспечивает правильное поведение топологич. пространства во многих существенных отношениях. Так, полное по Чеху счетное пространство имеет счетную базу и метризуемо. Паракомпактность сохраняется при операции произведения, когда пространства полны по Чеху. Полнота по Чеху сохраняется совершенными отображениями, а в классе метризуемых пространств она сохраняется в сторону образа открытыми непрерывными отображениями. Другой полезный подход к определению полноты вполне регулярного хаусдорфова пространства связан с рассмотрением максимальной равномерной структуры на нем: если такое равномерное пространство полно, то топологич. пространство наз. полным по Дьёдонне. Полны по Дьёдонне в точности те пространства, к-рые гомеоморфны замкнутым подпространствам топологич. произведений метризуемых пространств. В присутствии полноты по Дьёдонне в одно свойство сливаются псевдокомпактность, счетная компактность и бикомпактность. Все параком-пакты полны по Дьёдонне, в частности полны по Дьёдонне все метрич. пространства. Отсюда видно, что из полноты по Дьёдонне не следует наличие у пространства свойства Бэра. Специальный случай полноты по Дьёдонне — полнота топологич. пространства в смысле Хьюитта, означающая гомеоморфность пространства замкнутому подпространству топологич. произведения нек-рого семейства действительных прямых. Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.
Полное пространство
Полезное
Смотреть что такое «Полное пространство» в других словарях:
Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства). В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция… … Википедия
ПОЛНОЕ ПРОСТРАНСТВО — термин, относящийся к метрическому пространству, равномерному пространству, топологическому пространству, близости пространству, пространству топологической группы, пространству с симметрикой, псевдометрическому пространству;возможны употребления … Математическая энциклопедия
ПОЛНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Полное пространство … Математическая энциклопедия
ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ — категории, обозначающие осн. формы существования материи. Пр во (П.) выражает порядок сосуществования отд. объектов, время (В.) порядок смены явлений. П. и в. осн. понятия всех разделов физики. Они играют гл. роль на эмпирич. уровне физ. познания … Физическая энциклопедия
Пространство имен (программирование) — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имен в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имён в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… … Википедия
Пространство имён (программирование) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство имён. Пространство имён (англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки … Википедия
Полное пространство
Интуитивно понятно, что пространство считается полным, если в нем «нет дыры», если «нет пропущенной точки». Например, рациональные числа не образуют полное пространство, поскольку √ 2 там не появляется, хотя существует последовательность Коши рациональных чисел, имеющая этот предел. Всегда можно «заполнить пробелы», что приведет к заполнению данного пространства.
Резюме
Примеры
Некоторые теоремы
Завершено метрическим пространством
Полностью метризуемое пространство
Полностью метризуемое пространство даже полностью бэровское (и, конечно, метризуемое ).
Любое полное метризуемое равномерное пространство вполне метризуемо.
Следующие две теоремы принадлежат соответственно Павлу Александрову и Стефану Мазуркевичу :
Отсюда легко вывести, что метризуемое пространство вполне метризуемо тогда и только тогда, когда оно является G δ в своем компактифицированном по Стоун-Чеху пространстве или даже в любом вполне регулярном пространстве, где оно плотно.
Практически полное пространство и полузаполненное пространство
Если локально выпуклое пространство полно, оно почти полное. Обратное неверно. Например, рефлексивное банахово пространство бесконечной размерности с ослабленной топологией почти полное, но не полное.