Что такое положение устойчивого равновесия

Устойчивое равновесие

Содержание

Классическое определение

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета.

Определение через энергию системы

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями, это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Виды равновесия

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

Неустойчивое равновесие

В случае, когда вторая производная Устойчивое равновесие

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво. Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия.

Безразличное равновесие

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.

Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы

Если система имеет несколько степеней свободы, то можно получить различные результаты для различных направлений, однако равновесие будет устойчиво только в том случае, если оно устойчиво во всех направлениях.

Полезное

Смотреть что такое «Устойчивое равновесие» в других словарях:

устойчивое равновесие — Равновесие механической системы, при котором в случае любого достаточно малого изменения ее положения и сообщения ей любых достаточно малых скоростей, система во все последующее время будет занимать положения, сколь угодно близкие к… … Справочник технического переводчика

УСТОЙЧИВОЕ РАВНОВЕСИЕ — см. в ст. Устойчивость сообщества. Экологический энциклопедический словарь. Кишинев: Главная редакция Молдавской советской энциклопедии. И.И. Дедю. 1989 … Экологический словарь

устойчивое равновесие — pastovioji pusiausvyra statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsena, kuriai esant sistema, dėl trikdžių praradusi pusiausvyrą, trikdžiams nustojus veikti vėl pasidaro pusiausvira. atitikmenys: angl. stable equilibrium rus. устойчивое равновесие… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

устойчивое равновесие — stabilioji pusiausvyra statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. stable equilibrium vok. gesichertes Gleichgewicht, n; stabiles Gleichgewicht, n rus. устойчивое равновесие, n pranc. équilibre stable, m … Fizikos terminų žodynas

устойчивое равновесие — Равновесие механической системы, при котором в случае любого достаточно малого изменения ее положения и сообщения ей любых достаточно малых скоростей, система во все последующее время будет занимать положения, сколь угодно близкие к… … Политехнический терминологический толковый словарь

устойчивое равновесие системы — Равновесие, при котором после устранения причин, вызвавших какие либо возможные отклонения системы, она возвращается в исходное или близкое к нему положение. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР.… … Справочник технического переводчика

устойчивое равновесие атмосферы — Состояние атмосферы, когда вертикальный градиент температуры воздуха меньше сухого адиабатического градиента и не происходит вертикального движения воздуха … Словарь по географии

равновесие системы устойчивое — Равновесие, при котором система возвращается в исходное или близкое к нему положение после устранения причин, вызвавших возможное отклонение системы [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN stable… … Справочник технического переводчика

РАВНОВЕСИЕ — РАВНОВЕСИЕ, равновесия, мн. нет, ср. (книжн.). 1. Состояние неподвижности, покоя, в котором находится какое нибудь тело под воздействием равных, противоположно направленных и потому взаимно уничтожающихся сил (мех.). Равновесие сил. Устойчивое… … Толковый словарь Ушакова

РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА — РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА. I. Р. м е х ан и ч е с к о е, состояние, при к ром тело не испытывает никакого ускорения. В более узком, практически обычно применяемом смысле Р. т. есть состояние неподвижности его относительно окружающей среды. Для того, чтобы… … Большая медицинская энциклопедия

Источник

Равновесие тел. Виды равновесия тел

Виды равновесия тел

Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. Например, шарик, лежащий на дне сферического углубления (рис.1 а).

В данном случае при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Примером может служить шарик, находящийся в верхней точке выпуклой сферической поверхности (ри.1 б).

В этом случае при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю. Например, шарик, лежащий на плоской поверхности (рис.1,в).

Рис.1. Различные типы равновесия тела на опоре: а) устойчивое равновесие; б) неустойчивое равновесие; в) безразличное равновесие.

Статическое и динамическое равновесие тел

Если в результате действия сил тело не получает ускорения, оно может находиться в состоянии покоя или двигаться равномерно прямолинейно. Поэтому можно говорить о статическом и динамическом равновесии.

Динамическое равновесие — это такое равновесие, когда по действием сил тело не изменяет своего движения.

В состоянии статического равновесия находится подвешенный на тросах фонарь, любое строительное сооружение. В качестве примера динамического равновесия можно рассматривать колесо, которое катится по плоской поверхности при отсутствии сил трения.

Источник

Устойчивое равновесие

Если тело находится в состоянии покоя относительно инерциальной системы отсчета, то считают, что оно находится в равновесии.

Условия равновесия изучает раздел физики, который называют статикой.

Условия равновесия тела

Первое условие равновесия можно сформулировать исходя, из второго закона Ньютона: тело может находиться в состоянии покоя в некоторой инерциальной системе отсчета только, если равнодействующая всех сил, приложенных к этому телу (материальной точке) равна нулю:

Выражение (1) называют необходимым условием равновесия тела.

Если тело не подходит под определение материальной точки, то первого условия равновесия недостаточно.

Если тело может вращаться около некоторой оси, то оно находится в состоянии равновесия, если сумма моментов всех действующих на него сил относительно любой оси вращения равна нулю:

Выше названные условия являются достаточными для того, чтобы тело считать находящимся в равновесии.

Виды равновесия

Равновесие можно разделить на: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Равновесие тела называют устойчивым, если при небольших смещениях, действующие на него силы, стремятся вернуть его снова в положение равновесия.

Положение равновесия называют неустойчивым, если при малых смещениях силы, оказывающие воздействие на тело уводят его из положения равновесия еще больше.

Если при небольших смещениях из положения равновесия силы, действующие на тело и их моменты, уравновешиваются, как и прежде, то такое равновесие называют безразличным.

В устойчивом положении равновесия центр тяжести занимает самое низкое положение в сравнении со всеми возможными соседними положениями тела.

1) Допустим, что тело может вращаться около закрепленной оси. Тело находится в положении равновесия, если ось проходит через центр масс тела (безразличное равновесие). Если центр тяжести тела находится ниже оси вращения, то положение равновесия тела будет устойчивым. Пусть ось вращения расположена ниже центра масс тела, то равновесие будет неустойчивым.

2) В том случае, если тело имеет точку опоры (например, шарик, лежащий на опоре), то тело находится в состоянии устойчивого равновесия, когда равнодействующая всех сил, приложенных к телу, направлена в сторону положения равновесия. Если равнодействующая равна нулю, то положение равновесия безразличное. Положение тела будет не устойчивым равновесием, если равнодействующая сил, приложенных к телу, направлена от положения равновесия.

3) Пусть тело имеет площадь опоры. Тогда его равновесие будет устойчивым, если вертикаль, проводимая через центр масс этого тела, пересечет площадь опоры.

Потенциальная энергия и устойчивое равновесие

Как было сказано тело может находиться в состоянии равновесия только, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Следовательно, равновесию соответствует точка минимума (M) или максимума (N) потенциальной энергии ($E_p$), так как в этих точках сила становится равной нулю. Но, следует заметить, что точки максимума и минимума энергии не являются равноценными (рис.1).

Получается, что если частицу, находящуюся в точке с минимумом потенциальной энергии вывести из положения равновесия, то под действием сил она будет возвращаться назад в эту точку. Можно сделать следующий вывод: условием устойчивого равновесия является минимальная величина потенциальной энергии.

Анализируя условия равновесия, следует рассматривать окрестность точки поля ближайшую к ней, где нет дополнительных экстремумов энергии. Проводя анализ сил, действующих на частицу, которую смещали вправо от т М ($x_2>x_M$) мы считали, то на частицу действуют силы притяжения. Это справедливо тогда, когда частица находится левее максимума энергии. Если частица перемещена дальше вправо, то мы получаем силу отталкивания и частица не вернется в прежнее положение.

Примеры задач с решением

Решение. Для того чтобы определить форму потенциальной кривой найдем зависимость потенциальной энергии от координаты материальной точки ($E_p(x)$). Для этого используем формулу связи между потенциальной энергией и консервативной силой:

Задание. Будет ли равновесие шарика, подвешенного на нити устойчивым (рис.3)?

Ответ. Равновесие устойчиво.

Источник

Условия равновесия тел

Равновесие тела

Тело находится в состоянии покоя (или движется равномерно и прямолинейно), если векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Говорят, что силы уравновешивают друг друга. Когда мы имеем дело с телом определенной геометрической формы, при вычислении равнодействующей силы можно все силы прикладывать к центру масс тела.

Условие равновесия тел

Чтобы тело, которое не вращается, находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующий на него, была равна нулю.

Равновесие вращающегося тела. Правило моментов

Условия равенства нулю равнодействующей всех сил недостаточно, если тело может вращаться вокруг некоторой оси.

Определение. Правило моментов

Если алгебраическая сумма всех моментов, приложенных к телу относительно неподвижной оси вращения, равна нулю, то тело находится в состоянии равновесия.

В общем случае для равновесия тел необходимо выполнение двух условий: равенство нулю равнодействующей силы и соблюдение правила моментов.

Безразличное, устойчивое и неустойчивое равновесие

В механике есть разные виды равновесия. Так, различают устойчивое и неустойчивое, а также безразличное равновесие.

Линия, проведенная из центра масс башни пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра.

Источник

Равновесие

Понятие равновесия — одно из самых универсальных в естественных науках. Оно применимо к любой системе, будь то система планет, движущихся по стационарным орбитам вокруг звезды, или популяция тропических рыбок в лагуне атолла. Но проще всего понять концепцию равновесного состояния системы на примере механических систем. В механике считается, что система находится в равновесии, если все действующие на нее силы полностью уравновешены между собой, то есть гасят друг друга. Если вы читаете эту книгу, например, сидя в кресле, то вы как раз и находитесь в состоянии равновесия, поскольку сила земного притяжения, тянущая вас вниз, полностью компенсирована силой давления кресла на ваше тело, действующей снизу вверх. Вы не проваливаетесь и не взлетаете именно потому, что пребываете в состоянии равновесия.

Различают три типа равновесия, соответствующие трем физическим ситуациям.

Устойчивое равновесие

Именно его большинство людей обычно и понимают под «равновесием». Представьте себе шар на дне сферической чаши. В состоянии покоя он находится строго в центре чаши, где действие силы гравитационного притяжения Земли уравновешено силой реакции опоры, направленной строго вверх, и шар покоится там подобно тому, как вы покоитесь в своем кресле. Если сместить шар в сторону от центра, откатив его вбок и вверх в направлении края чаши, то, стоит его отпустить, как он тут же устремится обратно к самой глубокой точке в центре чаши — в направлении положения устойчивого равновесия.

Вы, сидя в кресле, находитесь в состоянии покоя благодаря тому, что система, состоящая из вашего тела и кресла, находится в состоянии устойчивого равновесия. Поэтому при изменении каких-то параметров этой системы — например, при увеличении вашего веса, если, предположим, вам на колени сел ребенок, — кресло, будучи материальным объектом, изменит свою конфигурацию таким образом, что сила реакции опоры возрастет, — и вы останетесь в положении устойчивого равновесия (самое большее, что может произойти, — подушка под вами промнется чуть глубже).

В природе имеется множество примеров устойчивого равновесия в различных системах (и не только механических). Рассмотрим, например, отношения хищник—жертва в экосистеме. Соотношение численностей замкнутых популяций хищников и их жертв достаточно быстро приходит в равновесное состояние — столько-то зайцев в лесу из года в год стабильно приходится на столько-то лис, условно говоря. Если по каким-либо причинам численность популяции жертв резко изменяется (из-за всплеска рождаемости зайцев, например), экологическое равновесие будет очень скоро восстановлено за счет быстрого прироста поголовья хищников, которые начнут истреблять зайцев ускоренными темпами, пока не приведут поголовье зайцев в норму и не начнут сами вымирать от голода, приводя в норму и собственное поголовье, в результате чего численности популяций и зайцев, и лис придут к норме, которая наблюдалась до всплеска рождаемости у зайцев. То есть в устойчивой экосистеме также действуют внутренние силы (хотя и не в физическом понимании этого слова), стремящиеся вернуть систему в состояние устойчивого равновесия в случае отклонения системы от него.

Аналогичные эффекты можно наблюдать и в экономических системах. Резкое падение цены товара приводит к всплеску спроса со стороны охотников за дешевизной, последующему сокращению товарных запасов и, как следствие, росту цены и падению спроса на товар — и так до тех пор, пока система не вернется в состояние устойчивого ценового равновесия спроса и предложения. (Естественно, в реальных системах, и в экологических, и в экономических, могут действовать внешние факторы, отклоняющие систему от равновесного состояния — например, сезонный отстрел лис и/или зайцев или государственное ценовое регулирование и/или квотирование потребления. Такое вмешательство приводит к смещению равновесия, аналогом которого в механике будет, например, деформация или наклон чаши.)

Неустойчивое равновесие

Не всякое равновесие, однако, является устойчивым. Представьте себе шар, балансирующий на лезвии ножа. Направленная строго вниз сила земного притяжения в этом случае, очевидно, также полностью уравновешена направленной вверх силой реакции опоры. Но стоит отклонить центр шара в сторону от точки покоя, приходящейся на линию лезвия хоть на долю миллиметра (а для этого достаточно мизерного силового воздействия), как равновесие будет мгновенно нарушено и сила земного притяжения начнет увлекать шар всё дальше от него.

Примером неустойчивого природного равновесия служит тепловой баланс Земли при смене периодов глобального потепления новыми ледниковыми периодами и наоборот (см. Циклы Миланковича). Среднегодовая температура поверхности нашей планеты определяется энергетическим балансом между суммарным солнечным излучением, достигающим поверхности, и суммарным тепловым излучением Земли в космическое пространство. Неустойчивым этот тепловой баланс становится следующим образом. В какую-то зиму выпадает больше снега, чем обычно. На следующее лето тепла не хватает, чтобы растопить излишки снега, и лето оказывается также холоднее обычного вследствие того, что из-за переизбытка снега поверхность Земли отражает обратно в космос большую долю солнечных лучей, чем прежде. Из-за этого следующая зима оказывается еще более снежной и холодной, чем предыдущая, а следующим за ней летом на поверхности остается еще больше снега и льда, отражающего солнечную энергию в космос. Нетрудно увидеть, что чем больше такая глобальная климатическая система отклоняется от исходной точки теплового равновесия, тем быстрее нарастают процессы, уводящие климат еще дальше от нее. В конечном итоге, на поверхности Земли в приполярных областях за долгие годы глобального похолодания образуются многокилометровые напластования ледников, которые неумолимо продвигаются в направлении всё более низких широт, принося с собой на планету очередной ледниковый период. Так что трудно себе представить более шаткое равновесие, чем глобально-климатическое.

Особого упоминания заслуживает разновидность неустойчивого равновесия, называющаяся метастабильным, или квазиустойчивым равновесием. Представьте себе шар в узкой и неглубокой канавке — например, на повернутом острием вверх лезвии фигурного конька. Незначительное — на миллиметр-другой — отклонение от точки равновесия приведет к возникновению сил, которые вернут шар в равновесное состояние в центре канавки. Однако уже чуть большей силы хватит для того, чтобы вывести шар за пределы зоны метастабильного равновесия, и он свалится с лезвия конька. Метастабильные системы, как правило, обладают свойством пребывать какое-то время в состоянии равновесия, после чего «срываются» из него в результате какой-либо флуктуации внешних воздействий и «сваливаются» в необратимый процесс, характерный для нестабильных систем.

Типичный пример квазиустойчивого равновесия наблюдается в атомах рабочего вещества некоторых типов лазерных установок. Электроны в атомах рабочего тела лазера занимают метастабильные атомные орбиты и остаются на них до пролета первого же светового кванта, который «сбивает» их с метастабильной орбиты на более низкую стабильную, испуская при этом новый квант света, когерентный пролетающему, который, в свою очередь, сбивает с метастабильной орбиты электрон следующего атома и т. д. В результате запускается лавинообразная реакция излучения когерентных фотонов, образующих лазерный луч, которая, собственно, и лежит в основе действия любого лазера.

Безразличное равновесие

Промежуточный случай между устойчивым и неустойчивым равновесием — так называемое безразличное равновесие, при котором любая точка системы является точкой равновесия, и отклонение системы от исходной точки покоя ничего не изменяет в раскладе сил внутри нее. Представьте себе шар на абсолютно гладком горизонтальном столе — куда бы вы его ни сместили, он останется в состоянии равновесия.

Источник