Что такое понятие степени числа
Что такое степень числа
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6
Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:
Исключение составляют записи:
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Понятие степени числа.
Степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.
Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.
Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.
Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Макарычев Ю. Н. Алгебра: 7 класс. // Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. – М.: Просвещение, 2019. – 256 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
При этом число 8 называют основанием степени, а число 6 – показателем степени.
А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:
степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.
Запись a n читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.
А вот следующие записи можно произносить по-разному:
a 2 – её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;
a 3 – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».
Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:
степенью числа а с показателем n = 1 является само это число:
любое число в нулевой степени равно единице:
ноль в любой натуральной степени равен нулю:
единица в любой степени равна 1:
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.
Примеры. Возведём в степени:
При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Рассмотрим несколько примеров.
Возведём в степень
2 5 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
2,5 3 = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625
Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.
(-5) 4 = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.
Рассмотрим такой пример: 4 2 ∙ 5 2 = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5) 2 = 20 2 = 400.
Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:
Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е.
Наконец, рассмотрим равенство:
Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Свойства степеней и действия с ними
Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?
Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!
Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.
P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Степени. Коротко о главном
Определение степени:
Свойства степеней:
| Произведение степеней с одинаковым основанием: | \( <^ |
| Произведение степеней с одинаковыми показателями: | \( <^ |
| Деление степеней с одинаковым основанием: | \( \frac<<^ |
| Деление степеней с одинаковыми показателями: | \( \frac<<^ |
| Возведение степени в степень: | \( <<\left( <^ |
| Дробная степень: | \( <^<\frac |
Особенности степеней:
Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.
Сложение
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.
Умножение
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).
Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».
В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.
Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).
И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.
И другая таблица, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.
Возведение числа в степень
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.
Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=<<2>^<5>>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).
И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Примеры из жизни
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.
Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…
Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \( \displaystyle 10\) см на \( \displaystyle 10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.
Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac<300\ см><10\ см>=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».
Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.
Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.
Квадрат – это изображение второй степени числа.
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)
Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?
Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.
В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…
Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?
Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!
Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…
Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?
Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Степень с натуральным показателем
Что такое степень?
Степенью называют произведение из нескольких одинаковых множителей. Например:
Значение данного выражения равно 8
Левую часть этого равенства можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку:
Это выражение читается так: « два в третьей степени равно восемь» или « третья степень числа 2 равна 8».
Короткую форму записи перемножения одинаковых множителей используют чаще. Поэтому надо помнить, что если над каким-то числом надписано другое число, то это есть перемножение нескольких одинаковых множителей.
А число, которое надписано над числом 5 называют показателем степени. В выражении 5 3 показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени. В нашем случае основание 5 повторяется три раза
Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют возведением в степень.
Например, если нужно найти произведение из четырёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, то говорят, что число 2 возводится в четвёртую степень:
Видим, что число 2 в четвёртой степени есть число 16.
Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем степени с натуральным показателем. Это вид степени, показателем которой является натуральное число. Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее.
Вообще, определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом:
Примеры:
Следует быть внимательным при возведении числа в степень. Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель.
Например, число 5 во второй степени есть произведение двух множителей каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25
Теперь представим, что мы по невнимательности умножили основание 5 на показатель 2
Получилась ошибка, поскольку число 5 во второй степени не равно 10.
Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число:
Например, число 5 в первой степени есть само число 5
Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице.
Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1
А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры:
А выражение 0 0 не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности анализе и теории множеств, выражение 0 0 может иметь смысл.
Для тренировки решим несколько примеров на возведение чисел в степени.
Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень.
Число 3 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 3
Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень.
Число 2 в четвертой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 2
2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16
Пример 3. Возвести число 2 в третью степень.
Число 2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 2
Возведение в степень числа 10
Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.
Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2
Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени
Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10
Пример 2. Возведём число 10 в третью степень.
В данном случае после единицы будут стоять три нуля:
Пример 3. Возведем число 10 в четвёртую степень.
В данном случае после единицы будут стоять четыре нуля:
Пример 4. Возведем число 10 в первую степень.
В данном случае после единицы будет стоять один нуль:
Представление чисел 10, 100, 1000 в виде степени с основанием 10
Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа.
Представим число 10 в виде степени с основанием 10. Видим, что в нём один нуль. Значит, число 10 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10 1
Пример 2. Представим число 100 в виде степени основанием 10. Видим, что число 100 содержит два нуля. Значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 10 2
Пример 3. Представим число 1 000 в виде степени с основанием 10.
Пример 4. Представим число 10 000 в виде степени с основанием 10.
Возведение в степень отрицательного числа
При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.
Например, возведём отрицательное число −2 во вторую степень. Число −2 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен (−2)
Когда мы ставим перед положительным числом минус, мы тем самым выполняем операцию взятия противоположного значения.
Допустим, дано число 2, и нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположное числу 2 это число −2. Иными словами, чтобы найти противоположное число для 2, достаточно поставить минус перед этим числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эту операцию, как было указано выше, называют операцией взятия противоположного значения.
В случае с выражением −2 2 происходит две операции: операция взятия противоположного значения и возведение в степень. Возведение в степень является более приоритетной операцией, чем взятие противоположного значения.
Поэтому выражение −2 2 вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае во вторую степень было возведено положительное число 2
Затем выполнилось взятие противоположного значения. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 это −4
Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2) 2 сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число.
Пример 2. Возвести число −2 в третью степень.
Число −2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен (−2)
Пример 3. Возвести число −2 в четвёртую степень.
Число −2 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен (−2)
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени.
Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным. Если показатель степени нечётный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа −3
В первом и в третьем случае показатель был нечётным числом, поэтому ответ стал отрицательным.
Во втором и в четвёртом случае показатель был чётным числом, поэтому ответ стал положительным.
Пример 7. Возвести число −5 в третью степень.
Число −5 в третьей степени это произведение трёх множителей каждый из которых равен −5. Показатель 3 является нечётным числом, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет отрицательным:
Пример 8. Возвести число −4 в четвёртую степень.
Число −4 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен −4. При этом показатель 4 является чётным, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет положительным:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Нахождение значений выражений
При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.
Пример 1. Найти значение выражения 2 + 5 2
Сначала выполняется возведение в степень. В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25. Затем этот результат складывается с числом 2
Пример 10. Найти значение выражения −6 2 × (−12)
Сначала выполняется возведение в степень. Заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус:
Завершаем пример, умножив −36 на (−12)
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Пример 11. Найти значение выражения −3 × 2 2
Сначала выполняется возведение в степень. Затем полученный результат перемножается с числом −3
Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
Пример 12. Найти значение выражения (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2
Пример 13. Найти значение выражения 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Сначала возведем числа в степени, затем выполним умножение и сложим полученные результаты:
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Тождественные преобразования степеней
Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их.
(2 3 ) 2 это произведение двух степеней, каждая из которых равна 2 3
При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2
Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (2 3 ) 2 можно перемножить и записать это произведение над основанием 2
После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти.
Пример 2. Найти значение выражения (3 2 ) 2
В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим:
Рассмотрим остальные преобразования.
Умножение степеней
Чтобы перемножить степени, нужно по отдельности вычислить каждую степень, и полученные результаты перемножить.
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
В этом примере основания степеней были разными. В случае, если основания будут одинаковыми, то можно записать одно основание, а в качестве показателя записать сумму показателей исходных степеней.
Например, умножим 2 2 на 2 3
Вообще, для любого a и показателей m и n выполняется следующее равенство:
Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней. Главное, чтобы основание было одинаковым.
В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование, не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять большие степени не так-то просто.
Пример 1. Представить в виде степени выражение 5 8 × 25
В данной задаче нужно сделать так, чтобы вместо выражения 5 8 × 25 получилась одна степень.
В этом выражении можно применить основное свойство степени — основание 5 оставить без изменений, а показатели 8 и 2 сложить:
Запишем решение покороче:
Пример 2. Представить в виде степени выражение 2 9 × 32
Все хорошо знают, что три умножить на три равно девять, но задача требует в ходе решения воспользоваться основным свойством степени. Как это сделать?
Вспоминаем, что если число дано без показателя, то показатель нужно считать равным единице. Стало быть сомножители 3 и 3 можно записать в виде 3 1 и 3 1
Теперь воспользуемся основным свойством степени. Основание 3 оставляем без изменений, а показатели 1 и 1 складываем:
Далее вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно числу 9
Далее вычисляем значение каждой степени и находим произведение:
Пример 5. Выполнить умножение x × x
Это два одинаковых буквенных сомножителя с показателями 1. Для наглядности запишем эти показатели. Далее основание x оставим без изменений, а показатели сложим:
Находясь у доски, не следует записывать перемножение степеней с одинаковыми основаниями так подробно, как это сделано здесь. Такие вычисления нужно выполнять в уме. Подробная запись скорее всего будет раздражать учителя и он снизит за это оценку. Здесь же подробная запись дана, чтобы материал был максимально доступным для понимания.
Решение данного примера желательно записать так:
Пример 6. Выполнить умножение x 2 × x
Показатель второго сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:
Пример 7. Выполнить умножение y 3 y 2 y
Показатель третьего сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:
Пример 8. Выполнить умножение aa 3 a 2 a 5
Показатель первого сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:
Пример 9. Представить степень 3 8 в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.
Представление степени в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями это по большей части творческая работа. Поэтому не нужно бояться экспериментировать.
Конструкции с суммами показателей были записаны для наглядности. Чаще всего их можно пропустить. Тогда получится компактное решение:
Возведение в степень произведения
Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.
Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты:
Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале.
Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители:
Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Следующие выражения также справедливы:
Пример 2. Найти значение выражения (2 × 3 × 4) 2
Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c
Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3
Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения:
Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz
Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3
Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения:
В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем.
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
Возведение степени в степень
Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней.
При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают:
К примеру, выражение (2 3 ) 2 является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить:
(2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3 ) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени.
А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями.
(2 2 × 3 2 ) 3 = 2 2×3 × 3 2×3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения.
Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение:
Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат:
Пример 2. Найти значение выражения (3 3 ) 2
Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем:
Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy)³
Возведём в третью степень каждый множитель произведения:
Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵
Возведём в пятую степень каждый множитель произведения:
Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax) 3
Возведём в третью степень каждый множитель произведения:
Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки.
Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy) 2
Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x) 3
Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y) 4
Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴
Пример 10. Упростите выражение x 5 × (x 2 ) 3
Степень x 5 пока оставим без изменений, а в выражении (x 2 ) 3 выполним возведение степени в степени:
Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми.
Запишем решение данного примера:
Деление степеней
Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел.
Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
Например, найдем значение выражения 2 3 : 2 2
Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени.
Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое.
Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство:
Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица.
При решении примера 2 2 : 2 2 также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 2 2 и 2 2 равна нулю:
В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица:
Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 2 2 : 2 2 обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица.
Пример 2. Найти значение выражения 4 12 : 4 10
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
4 12 : 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Пример 3. Представить частное x 3 : x в виде степени с основанием x
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его:
Пример 4. Представить частное x 3 : x 2 в виде степени с основанием x
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом:
Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче:
Пример 5. Выполнить деление x 12 : x 3
Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Пример 6. Найти значение выражения 
В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:
Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:
Завершаем пример, вычислив степень 7 2
Пример 7. Найти значение выражения 
Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (2 3 ) 4
Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями:
Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
Значит, значение выражения равно 16
В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом.
В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (2 2 ) 3
Пример 8. Найти значение выражения 
Теперь можно применить правило деления степеней:
Возведение в степень обыкновенных дробей
Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.
Например, возведём обыкновенную дробь во вторую степень. Возьмём в скобки данную дробь и в качестве показателя укажем 2
Итак, чтобы вычислить значение выражения , нужно возвести во вторую степень числитель и знаменатель данной дроби:
Получили дробь в числителе и в знаменателе которой содержатся степени. Вычислим каждую степень по отдельности
Значит обыкновенная дробь во второй степени равна дроби 
.
Приведённое правило работает следующим образом. Дробь во второй степень это произведение двух дробей, каждая из которых равна
Мы помним, что для перемножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели:
А поскольку в числителе и в знаменателе происходит перемножение одинаковых множителей, то выражения 2 × 2 и 3 × 3 можно заменить на 2 2 и 3 2 соответственно:
Откуда и получится ответ .
Вообще, для любого a и b ≠ 0 выполняется следующее равенство:
Это тождественное преобразование называют возведением в степень обыкновенной дроби.
Пример 2. Возвести дробь 
в третью степень
Заключим данную дробь в скобки и в качестве показателя укажем число 3. Далее возведём числитель и знаменатель данной дроби в третью степень и вычислим получившуюся дробь:
Отрицательная дробь возводится в степень таким же образом, но перед вычислениями надо определиться какой знак будет иметь ответ. Если показатель четный, то ответ будет положительным. Если показатель нечетный, то ответ будет отрицательным.
Например, возведём дробь 
во вторую степень:
Показатель является чётным числом. Значит ответ будет положительным. Далее применяем правило возведения в степень дроби и вычисляем получившуюся дробь:
Ответ положителен по причине того, что выражение представляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых равен дроби
А произведение отрицательных чисел (в том числе и рациональных) есть положительное число:
Если возводить дробь в третью степень, то ответ будет отрицательным, поскольку в данном случае показатель будет нечётным числом. Правило возведения в степень остаётся тем же, но перед выполнением этого возведения, нужно будет поставить минус:
Здесь ответ отрицателем по причине того, что выражение 
представляет собой произведение трёх множителей, каждый из которых равен дроби
Сначала перемножили и , получили 
, но затем умножив на мы получим отрицательный ответ 
Пример 3. Найти значение выражения 
Выполним возведение в степень обыкновенной дроби:
Далее вычислим значение получившегося выражения:
Возведение в степень десятичных дробей
При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки. Например, возведём во вторую степень десятичную дробь 1,5
Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:
Пример 2. Найти значение степени (−1,5) 3
Показатель степени является нечётным числом. Значит ответ будет отрицательным
Пример 3. Найти значение степени (−2,4) 2
Показатель степени является чётным числом. Значит ответ будет положительным: