Интересно понять, с чем связано то обстоятельство, что схема
оказывается менее точной, чем схема
Эти схемы различаются приближенными выражениями
для производной в точке . Естественно поэтому предполагать, что в первой схеме производная заменена менее точным выражением, чем второй. Так оно и есть на самом деле. Заменим их тейлоровскими разложениями:
Пользуясь этими разложениями, получим
т. е. в первом случае мы имеем аппроксимацию производной лишь с первым порядком точности, а во втором — со вторым порядком.
Рассмотренные примеры наводят на мысль, что порядок скорости сходимости решений разностных уравнений может быть сделан равным порядку аппроксимации производных дифференциального уравнения.
Однако оказывается, что в такой общей формулировке эта гипотеза неверна. На разностные схемы, для которых будет доказана ее справедливость, нам придется наложить одно весьма существенное ограничение — требование устойчивости. Необходимость этого ограничения станет ясна из примера, который мы рассмотрим в следующем параграфе.
После такой подготовки приступит он к судебным делам и прежде всего установит, какого рода эти дела.
В данном параграфе на примере явного метода Эйлера даются основные понятия теории разностных понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости. Доказывается теорема Лакса. Описываются основные приемы построения разностных схем.
1.2.1. Метод ломаных Эйлера.
Перепишем эти равенства в следующем виде:
Запишем метод ломаных Эйлера в общем виде, в котором могут быть записаны другие разностные методы и который позволяет укладывать исследование таких методов в общую схему. Для этого сначала запишем задачу в операторной форме. Начальное условие (C) можно записать в виде
где функция g имеет вид Тогда начальную задачу можно записать в операторной форме
F ( x ) = 0,
(O)
1.2.3. Операторная форма метода ломаных Эйлера.
Задача о нахождении ломаной Эйлера, очевидно, эквивалентна задаче о нахождении решения φ τ уравнения
F τ ( x ) = 0
(S)
в пространстве S τ сеточных функций в следующем смысле: значения (φ τ ) i решения уравнения (S) в узлах сетки и только они являются ординатами вершин ломаной Эйлера в точках t i (см. формулу (1)). Таким образом, вместо точного решения мы ищем приближенное решение φ τ = F τ 1 (0).
1.2.4. Разностные схемы.
Единственное отличие метода ломаных Эйлера от явной схемы Эйлера заключается в том, что в первом ищется функция, заданная на отрезке (ломаная Эйлера), а во на сетке G τ (вершины этой ломаной).
Задача 1.2.1. Докажите, что разностное решение φ τ явной схемы Эйлера для задачи Коши
В условиях задачи 1.2.1 разностное решение φ τ аппроксимирует решение интересующей нас исходной (дифференциальной) задачи в следующем смысле: при всех
(φ τ ) i → x 0 e at при τ→ 0,
(3)
где i = [ t /τ] целая часть числа ниже мы наряду с обозначением [ a ] для целой части числа a используем обозначение < a >для его дробной части: Действительно,
lim τ→0
(φ τ ) i =
lim τ→0
x 0 (1 + τ a ) i = x 0 ·
lim τ→0
(1 + τ a ) [ t /τ] =
lim τ→0
(1 + τ a ) t /τ < t /τ>=
lim τ→0
(1 + τ a ) t /τ ·
Сомножитель равен единице, поскольку Второй сомножитель также вычисляется тривиально:
lim τ→0
(1 + τ a ) t /τ =
lim τ→0
(1 + τ a ) [1/(τ a )] · at =
[
lim τ→0
(1 + τ a ) 1/τ a
и соотношение (3) доказано.
Задача 1.2.2. Докажите более сильное, чем (3) утверждение
||φ τ P τ φ|| τ → 0 при τ→ 0.
означающее, что предельное соотношение (3) выполнено равномерно по
1.2.6. Сходимость разностных схем.
Будем говорить, что разностная схема (S) сходится (к решению φ задачи ), если
||φ τ P τ φ|| τ → 0 при τ→ 0.
(4)
Явная схема Эйлера обладает двумя важными свойствами, из которых, как будет показано ниже, последует ее сходимость с первым порядком. Во-первых, при достаточно малых τ
Обычно требуется, чтобы схема обладала свойством аппроксимации на множестве функций из некоторого класса гладкости. Очевидно, если решения дифференциального уравнения (E) m раз непрерывно дифференцируемы, а разностная схема обладает k-м порядком аппроксимации (согласованности) на m раз непрерывно дифференцируемых функциях, то она обладает k-м порядком аппроксимации на решении.
1.2.8. Аппроксимация явной схемы Эйлера.
φ( t i ) = φ( t i 1 + τ) = φ( t i 1 ) +τφ′( t i 1 ) +
τ 2 2
φ′′( t i 1 + Φ i τ),
где Φ ∈ (0, 1). Но тогда
=
φ( t i 1 ) + τφ′( t i 1 ) +
τ 2 2
φ′′( t i 1 + Φ i τ) φ( t i 1 )
τ
=
τ 2
φ′′( t i 1 + Φ i τ).
(Если i = 0, то очевидно, [ F τ ( P τ φ)] i = 0.) Из сказанного следует, что
|| F τ ( P τ φ)|| τ =
max 0≤ i ≤ n
||[ F τ ( P τ φ)] i || ≤
≤
τ 2
max 0≤ i ≤ n
||φ′′( t i 1 +Φ i τ)|| ≤ τ
M 2
≝ C a τ.
Задача 1.2.3. Покажите, что явная схема Эйлера обладает первым порядком аппроксимации (согласованности) на любой дважды непрерывно дифференцируемой функциию
Второе важное свойство, которым обладает явная схема Эйлера, называется устойчивостью и определяется так: если и, кроме того, || z || τ и τ достаточно малы, то уравнение
F τ ( y ) = z
(7)
Устойчивость разностной схемы означает, что малые возмущения z в начальных данных и правой части разностной схемы приводят к равномерно малому по τ изменению решения (напомним, что решение невозмущенной системы, а возмущенной). Поскольку неравенство (8), переписанное в виде ≤ означает, в частности, непрерывность обратного к разностному оператору оператора в нуле.
Устойчивость очень важное в приложениях свойство разностных схем. При практической реализации на ЭВМ разностных методов возникают, в частности, проблемы, связанные с невозможностью представления точных чисел в компьютере. В результате мы решаем не разностную схему (S), а несколько отличающееся от (S) уравнение. Все такие возмущения в разностной схеме, грубо говоря, можно «перенести в правую часть» и, таким образом, считать, что в ЭВМ ищется решение не разностной схемы (S), но решение возмущенного уравнения (7). Свойство устойчивости разностной схемы гарантирует близость при достаточно малых τ между точным (теоретическим) решением φ τ разностной схемы и его практической реализацией (где суммарный вектор возмущений). Источником возмущений служит не только невозможность точного представления данных в ЭВМ, но и неточность определения физических параметров модели, погрешность измерений и т.п.
1.2.10. Пример. Устойчивость явной схемы Эйлера.
Докажем, что явная схема Эйлера устойчива.
Разрешимость уравнения (7) для любых τ и z очевидным образом следует из того, что явная схема Эйлера является явной: значения y i решения F τ 1 ( z ) этого уравнения определяются рекуррентными формулами
Обозначим y φ τ через ξ. Очевидно,
Покажем теперь, что
Для этого заметим сначала, что
Проведя такие оценки i раз, получим
||ξ i || ≤ (1 + τ L )||ξ i 1 || + τ|| z || τ ≤
≤ (1 + τ L )[(1 + τ L )||ξ i 2 || +τ|| z || τ ] + τ|| z || τ =
(1 + τ L ) i 1 (1 + τ L ) 1
τ|| z || τ ≤
(1 + τ L ) i 1 L
|| z || τ =
=
(1 + τ L ) i L + (1+ τ L ) i 1 L
|| z || τ ≤ (1+τ L ) i ·
Воспользуемся теперь известным неравенством (1 + α) 1/α e (напомним также, что
|| F τ 1 z φ τ || τ = || y φ τ || τ = ||ξ|| τ =
L + 1 L
|| z || τ = e TL ·
Итак, явная схема Эйлера устойчива.
1.2.11. Теорема Лакса.
Любая устойчивая разностная схема k-го порядка аппроксимации на решении является схемой k-го порядка сходимости.
|| P τ φ φ τ || τ = || F τ 1 [ F τ ( P τ φ)] φ τ || τ ≤
что и требовалось доказать.
Эта теорема описывает наиболее распространенный способ доказательства сходимости разностных схем.
Задача 1.2.4. Приведите пример не сходящейся разностной схемы, обладающей своством аппроксимации.
1.2.12. Немного о методах построения разностных схем.
Явная схема Эйлера может быть построена, исходя из различных соображений. Каждый из описываемых ниже приемов порождает ряд обобщений явной схемы Эйлера и может иллюстрировать основные методы построения разностных схем. В дальнейшем эти методы будут рассматриваться подробнее.
производную x ′( t ) в точке t i 1 ее приближенным значением а правую ее значением в этой точке. В результате получим приближенное уравнение
для отыскания значений точного решения уравнения (E) в точках Переход к сеточным функциям и замена приближенного равенства точным приводит к точному уравнению для приближенных значений решения, а именно, к явной схеме Эйлера. Использование других аппроксимаций производной в (9) (например, а также других аппроксимаций правой части (например, взамен позволяет получать другие разностные схемы.
Вторая идея основывается на замене дифференциального уравнения (9) интегральным
x ( t + τ) = x ( t ) +
∫
t +τ
которое так же, как и выше приводит к явной схеме Эйлера. Если использовать другие квадратурные формулы (заменяя, например, интеграл на или то будут получаться другие разностные схемы.
Третья возможность построения разностных схем связана с разложением решения в ряд Тейлора:
«Обрежем» этот ряд до второго члена и выразим производную из (9). В результате получим все то же приближенное уравнение
приводящее к явной схеме Эйлера. Удлинение отрезка ряда и другие аппроксимации коэффициентов приводят к другим разностным схемам.
Наконец, четвертая возможность связана с поиском решения в виде полинома. Допустим, мы ищем решение в виде полинома первого порядка:
ψ( t ) = x i 1 + a ·( t t i 1 )
ψ′( t i 1 + α) = a = f ( t i 1 +α, x i 1 + a α).
Переходя к сеточным функциям, как и выше, получаем разностную схему:
x i = ψ( t i ) = ψ( t i 1 + τ) = x i 1 + τ f ( t i 1 + α, x i 1 + a α).
При α = 0 это явная схема Эйлера. Если выбирать отличные от нуля α, а также брать полиномы более высоких порядков, то получается класс различных разностных схем.
File based on translation from T E X by T T H, version 3.05. Created 23 May 2002, 20:10.
В настоящее при обработке данных различных типов актуальны проблемы прогнозирования. Предсказание или прогнозирование предполагает описание возможных состояний и решений в будущем.
Прогноз может проводиться на основе количественных или качественных подходов, причем, количественный подход имеет определенные преимущества:
1. Модель представляется в явной, часто аналитической форме, что позволяет исследовать влияние ее различных составляющих на сходимость решения. Также явный вид модели позволяет вводить в нее новые составляющие, дающие возможность улучшить результат.
2. Модели, построенные с использованием количественных зависимостей, универсальны, они могут использоваться в различных областях науки и техники для получения результатов различной природы.
В работе проведено исследование возможности аппроксимации данных, которые, рассматриваются, как полученные в результате эксперимента.
Нами использовался метод наименьших квадратов (МНК). Сущность метода состоит в том, что опытные данные аппроксимируют кривой F(x), которая необязательно должна проходить через все узлы, а должна сгладить все случайные помехи табличной функции. При этом аппроксимирующую кривую F(x) мы стремились провести так, чтобы все ее отклонения от табличной функции (уклонения) были минимальными.
При получении прогноза происходит обработка наблюдаемых данных. Были определены требования к коэффициентам аппроксимирующего полинома, дающие приемлемую ошибку аппроксимации.
Также исследовался вопрос о возможности использования различных видов аппроксимирующей функции в зависимости от характеристик экспериментальных данных (например, монотонность).
Смотреть что такое «порядок аппроксимации» в других словарях:
ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОРЯДОК — аппроксимации порядок, порядок погрешности приближения как переменной величины, зависящей от непрерывного или дискретного аргумента t, относительно другой переменной j(t), поведение к рой, как правило, считается известным. Обычно t нек рый… … Математическая энциклопедия
Разностная схема — Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия
Конечно-разностная схема — Разностная схема это конечная система алгебраических уравнений, поставленная в соответствие какой либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное… … Википедия
РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ТЕОРИЯ — раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и). Р. с. т. изучает способы построения разностных схем,… … Математическая энциклопедия
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… … Математическая энциклопедия
СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИЯ — приближенное представление функции или приближенное восстановление функции из заданного класса по неполной информации (напр., по значениям на сетке) с помощью сплайнов. Как и в классич. теории приближения функций, изучаются линейные методы С. а … Математическая энциклопедия
ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — раздел теории чисел, изучающий метрич. свойства чисел, обладающих определенными свойствами аппроксимации (см. Диофантовы приближения, Метрическая теория чисел). Одной из первых теорем Д. п. м. т. является теорема Хинчина (см. [1], [2]), в… … Математическая энциклопедия
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ — одно из важных понятий теории разностных (сеточных) методов, характеризующее непрерывную зависимость решений разностных схем но отношению к входной информации. Точнее, пусть разностная схема (разностный или сеточный аналог исходной задачи)… … Математическая энциклопедия
ЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — численные методы решения методы, позволяющие получить решение Л. к. з. в виде таблицы его приближенных значений в точках сетки, не используя предварительной информации об ожидаемом виде решения. Для теории этих методов типично предположение о том … Математическая энциклопедия
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких… … Математическая энциклопедия
Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
Построение разностной схемы состоит из последовательности стандартных шагов.
— Построение сетки в области определения искомого решения задачи.
— Замена в ДУ непрерывных производных их разностными аналогами.
— Замена всех функций соответствующими сеточными функциями, определенными в узлах
=>приходим к разностной схеме, представляющей дискретный аналог дифференциальной задачи и содержащей шаги сетки.
Решение разностной задачи сходится к решению дифф. задачи , если при шагах сетки, стремящихся к нулю , в пространстве сеточных функций.
Разностная схема имеет -й порядок аппроксимации по шагу h (или ), если при убывании шагов сетки погрешность аппроксимации стремиться к нулю как ( ).
Разность между дискретными и непрерывными производными принято называть погрешностью аппроксимации или ошибкой дискретизации дифференциального оператора на данной функции. Погрешность аппроксимации дифференциальных операторов может быть выражена путем разложения дифференцируемой функции в степенной ряд в окрестности фиксированного узла сетки (если возможно). Погрешность аппроксимации дискретной модели складывается из погрешностей аппроксимации каждого из ее элементов (погрешности аппроксимации производных, граничных условий, коэффициентов, функций и т.п.).
Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, если погрешность аппроксимации данной разностной схемы на решении дифференциальной задачи стремиться к нулю при шагах сетки, стремящихся к нулю.
Следует подчеркнуть отличие понятий погрешности приближенного решения и погрешности аппроксимации задачи. Погрешность решения определяется разностью между точным решением и некоторым его приближением. Погрешность аппроксимации дискретной задачи выражает невязку, которая возникают при подстановке точного решения в уравнения дискретной задачи, характеризует величину возмущений, связанных с переходом от дифференциальной модели к дискретной.
Рассмотрим стандартную процедуру оценки порядка аппроксимации разностных схем, для дифференциального уравнения вида , — дифференциальный оператор, содержащий частные производные по всем независимым переменным. Разностную аппроксимацию данного уравнения можно представить в виде , , — сеточные представления дифференц-х операторов и функции правой части.
2)Подставить точное решения в построенную схему, полагая, что в точке, относительно которой мы намерены вычислить невязку, значение решения известно, а во всех других точках шаблона зн-я данного реш-я выразить с помощью конечного числа ряда Тейлора.
3)Привести всё к виду .
4)Оценить порядок малости невязки относительно шагов сетки.
в точке 
. Естественно поэтому предполагать, что в первой схеме производная заменена менее точным выражением, чем 
второй. Так оно и есть на самом деле. Заменим 
их тейлоровскими разложениями:
сходится к решению дифф. задачи 
, если при шагах сетки, стремящихся к нулю 
, 
в пространстве сеточных функций.
-й порядок аппроксимации по шагу h (или 
), если при убывании шагов сетки погрешность аппроксимации стремиться к нулю как 
( 
).
, 
— дифференциальный оператор, содержащий частные производные по всем независимым переменным. Разностную аппроксимацию данного уравнения можно представить в виде 
, 
, 
— сеточные представления дифференц-х операторов и функции правой части.
.
относительно шагов сетки.