Что такое посторонний корень уравнения
Посторонний корень
Смотреть что такое «Посторонний корень» в других словарях:
Уравнение — в математике, аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых… … Большая советская энциклопедия
Уравнение — Первое печатное появление знака равенства в книге Роберта Рекорда в 1557 году (записано уравнение ) Уравнение это равенство вида или, в приведённой форме … Википедия
ГИБУ Николай Трофимович — (р. 19 ноября 1936, село Озерное, Одесская область), режиссер, сценарист. Окончил сценарный факультет ВГИКа (1966, мастерская К.Парамоновой и В.Ежова). С 1966 сценарист и редактор Комитета по кинематографии Молдавской ССР, с 1970 режиссер к/ст… … Энциклопедия кино
Успенский Глеб Иванович — Успенский (Глеб Иванович) известный писатель. Родился 14 ноября 1840 г. в Туле, где его отец, сын сельского дьячка, служил секретарем палаты государственных имуществ. Учился в тульской и черниговской гимназиях; поступил сначала в Петербургский… … Биографический словарь
Успенский, Глеб Иванович — известный писатель. Род. 14 ноября 1840 г. в Туле, где его отец, сын сельского дьячка, служил секретарем палаты государственных имуществ, умер в 1902 г. Учился в тульской и черниговской гимназиях; поступил сначала в Петербургский университет по… … Большая биографическая энциклопедия
Сахар свекловичный и тростниковый* — I. Химия. II. Техническое производство. III. Статистика. IV. Акциз на сахар. V. Сахарная нормировка. VI Сахар в международной торговле. I. С. (хим. С 12 Н 22 О 11). Нахождение и добывание свекловичного и тростникового С. см. ниже. С.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Успенский Глеб Иванович — I известный писатель. Род. 14 ноября 1840 г. в Туле, где его отец, сын сельского дьячка, служил секретарем палаты государственных имуществ. Учился в тульской и черниговской гимназиях; поступил сначала в Петербургский унив. по юридическому… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Сахар свекловичный и тростниковый — I I. Химия. II. Техническое производство. III. Статистика. IV. Акциз на сахар. V. Сахарная нормировка. VI Сахар в международной торговле. I. С. (хим. С12Н22О11). Нахождение и добывание свекловичного и тростникового С. см. ниже. С. кристаллизуется … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
ЛУЧКО Клара Степановна — (1 июля 1925, село Чутово, Полтавская область 26 марта 2005, Москва), российская актриса, народная артистка СССР (1985). Лауреат Сталинской премии (1951, за роль Даши Шелест в фильме «Кубанские казаки»). Дебют актрисы в кино состоялся в 1940 году … Энциклопедия кино
ТОМА Светлана Андреевна — (наст. Фомичева) (р. 24 марта 1947, Кишинев), российская киноактриса, заслуженная артистка Молдавии (1979). Первая роль в кино Иоанна в фильме Эмиля Лотяну «Красные поляны» (1966). Училась на юридическом факультете Кишиневского университета,… … Энциклопедия кино
Посторонние корни уравнения, отсеивание посторонних корней
Решение уравнений через переход к уравнениям-следствиям может привести к появлению так называемых посторонних корней. В этой статье мы, во-первых, детально разберем, что такое посторонние корни. Во-вторых, поговорим о причинах их возникновения. И в-третьих, на примерах рассмотрим основные способы отсеивания посторонних корней, то есть, проверки корней на предмет наличия среди них посторонних с целью исключения их из ответа.
Посторонние корни уравнения, определение, примеры
В школьных учебниках по алгебре не дается определение постороннего корня. Там представление о постороннем корне формируется путем описания следующей ситуации: при помощи некоторых преобразований уравнения осуществляется переход от исходного уравнения к уравнению-следствию, находятся корни полученного уравнения-следствия, и осуществляется проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, которая показывает, что некоторые из найденных корней не являются корнями исходного уравнения, эти корни называют посторонними корнями для исходного уравнения [1, с. 174-175; 2, с. 202; 3, с. 187-188].
Отталкиваясь от этой базы, для себя можно принять такое определение постороннего корня:
Посторонние корни – это корни полученного в результате проведения преобразований уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения.
Причины возможного появления посторонних корней
Если для получения уравнения-следствия не использовать никакие «экзотические» преобразования, а использовать только основные преобразования уравнений, то посторонние корни могут возникнуть лишь по двум причинам:
Здесь стоит напомнить, что расширение ОДЗ в результате преобразования уравнения в основном происходит
Что такое отсеивание посторонних корней?
Термин «отсеивание посторонних корней» лишь с натяжкой можно назвать устоявшимся, он встречается далеко не во всех учебниках алгебры, но является интуитивно понятным, из-за чего обычно и используется. Что понимают под отсеиванием посторонних корней, становится понятно из следующей фразы: «… проверка – обязательный этап решения уравнения, который поможет обнаружить посторонние корни, если они есть, и отбросить их (обычно говорят «отсеять»)» [1, с.176].
Отсеивание посторонних корней – это обнаружение и отбрасывание посторонних корней.
Теперь можно переходить к способам отсеивания посторонних корней.
Способы отсеивания посторонних корней
Проверка подстановкой
Основной способ отсеивания посторонних корней – это проверка подстановкой. Он позволяет отсеять посторонние корни, которые могли возникнуть и по причине расширения ОДЗ, и по причине возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень.
Проверка подстановкой состоит в следующем: найденные корни уравнения-следствия по очереди подставляются в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение, те из них, которые дают верное числовое равенство, являются корнями исходного уравнения, а те, которые дают неверное числовое равенство или выражение, не имеющее смысла, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
Покажем на примере, как проводится отсеивание посторонних корней через подстановку в исходное уравнение.
Решите уравнение 
В некоторых случаях отсеивание посторонних корней целесообразнее проводить другими способами. Это относится в основном к тем случаям, когда проверка подстановкой связана со значительными вычислительными трудностями или когда стандартный способ решения уравнений какого-то определенного вида предполагает другой проверки (например, отсеивание посторонних корней при решении дробно-рациональных уравнений проводится по условию не равенства нулю знаменателя дроби). Разберем альтернативные способы отсеивания посторонних корней.
По ОДЗ
В отличие от проверки подстановкой, отсеивание посторонних корней по ОДЗ уместно не всегда. Дело в том, что этот способ позволяет отсеивать лишь посторонние корни, возникающие по причине расширения ОДЗ, и он не гарантирует отсеивание посторонних корней, которые могли возникнуть по другим причинам, например, из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Более того, не всегда просто отыскать ОДЗ для решаемого уравнения. Тем не менее, способ отсеивания посторонних корней по ОДЗ стоит держать на вооружении, так как часто его использование требует меньших вычислительных работ, чем использование других способов.
Отсеивание посторонних корней по ОДЗ проводится следующим образом: все найденные корни уравнения-следствия проверяются на предмет принадлежности области допустимых значений переменной для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения, те из них, которые принадлежат ОДЗ, являются корнями исходного уравнения, а те из них, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
Анализ приведенной информации приводит к выводу, что отсеивание посторонних корней по ОДЗ целесообразно проводить, если единовременно:
Покажем, как проводится отсеивание посторонних корней, на практике.
Решите логарифмическое уравнение 
По условиям ОДЗ
Как мы сказали в предыдущем пункте, если посторонние корни могли возникнуть лишь по причине расширения ОДЗ, то их можно отсеять по ОДЗ для исходного уравнения. Но не всегда просто найти ОДЗ в виде числового множества. В таких случаях можно проводить отсеивание посторонних корней не по ОДЗ, а по условиям, определяющим ОДЗ. Разъясним, как проводится отсеивание посторонних корней по условиям ОДЗ.
Найденные корни по очереди подставляются в условия, определяющие ОДЗ для исходного уравнения или любого равносильного ему уравнения. Те из них, которые удовлетворяют всем условиям, являются корнями уравнения. А те из них, которые не удовлетворяют хотя бы одному условию или дают не имеющее смысла выражение, являются посторонними корнями для исходного уравнения.
Приведем пример отсеивания посторонних корней по условиям ОДЗ.
Решить иррациональное уравнение 
Отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в четную степень
Понятно, что отсеивание посторонних корней, возникающих из-за возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, можно осуществить путем подстановки в исходное уравнение или в любое равносильное ему уравнение. Но такая проверка может быть связана со значительными вычислительными трудностями. На этот случай стоит знать альтернативный способ отсеивания посторонних корней, о котором мы сейчас и поговорим.
Покажем, как на практике отсеиваются посторонние корни указанным способом.
Решите уравнение 
В заключение скажем, что рассмотренный подход является частным случаем более общего подхода к отсеиванию посторонних корней, возникающих при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Отсеять посторонние корни, которые могут возникнуть при возведении обеих частей уравнения f(x)=g(x) в одну и ту же четную степень, можно по условию 
. Несомненно, озвученное утверждение нуждается в доказательстве. Оставим это Вам.
Приведем пример отсеивания посторонних корней предложенным способом. Возьмем уравнение 
, «сделанное» из только что решенного уравнения. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат и некоторые дальнейшие преобразования позволяют найти корни 
и 
. Проведем отсеивание посторонних корней по условию , которое в нашем случае таково
Подстановка в неравенство 
корня дает
Полученное неравенство верное, так как в числителе положительное число, а в знаменателе – отрицательное, поэтому, отношение этих чисел есть отрицательное число. Значит, — корень исходного уравнения.
Подстановка в неравенство корня дает неравенство 
, которое является неверным, так как отношение двух положительных чисел есть число положительное. Значит, — посторонний корень для решаемого уравнения.
Рациональные уравнения. Посторонний корень
Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая и правая части – рациональные выражения. Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную. Решением, или корнем уравнения, называется всякое значение неизвестного х, при подстановке которого в обе части уравнения получается истинное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Если в результате преобразований мы заменим исходное уравнение следствием, то при решении нового уравнения мы можем получить корни, не являющиеся корнями исходного уравнения, т. е. посторонние корни. Однако, это не страшно, так как от посторонних корней, как правило, можно легко избавиться с помощью проверки.
Дробно-рациональные уравнения
Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную, то уравнение называется дробно-рациональным.
Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.
При решении дробного уравнения целесообразно поступать следующим образом:
Решение: В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:
Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Данное уравнение эквивалентно системе: \(\begin
Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.
Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:
Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия: \(\begin
Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.
Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 50 км. Начав бег на 30 мин позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, больше предполагавшейся на 5 км/ч, и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.
Две бригады должны были собрать весь урожай за 16 дней. Однако после четырех дней совместной работы первая бригада была переведена на другую работу, и оставшуюся часть работы вторая бригада завершила за 18 дней. За сколько дней вторая бригада в отдельности собрала бы весь урожай?
Турист прошел по проселочной дороге \(6\) км и по шоссе \(3\) км, затратив на весь путь \(2\) ч. По шоссе он прошел со скоростью на \(2\) км/ч больше, чем по проселочной дороге. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге?
math4school.ru
Ошибки в уравнениях
При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.
Потеря корней
L Неправильное решение.
2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,
Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:
J Правильное решение.
Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на lg x и получим:
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.
Посторонние корни
При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.
Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:
J Правильный ответ: х = 0.
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
J Правильный ответ: решений нет.
Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.
K Упражнение. Решить уравнение
L Неправильное решение.
После приведения подобных слагаемых получим:
Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.
L Неправильное решение.
Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения
для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.
J Правильный ответ: решений нет.
Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.
K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .
L Неправильное решение.
Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:
| tg ( x + y ) = | tg x + tg y |
| 1 – tg x · tg y |
| sin 2 x = | 2 tg x |
| 1 + tg 2 x |
L Неправильное решение.
Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.
J Правильное решение.
\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-3 \right)=\left(x-1 \right)^2;\)
\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-3 \right)-\left(x-1 \right)^2=0;\)
\(\left(x-1 \right)^2\cdot \left(x-4 \right)=0;\)
Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.
Ошибки, связанные с заменой переменной
K Упражнение. Решить уравнение \(5 \left(x-3 \right)^<1>-6=\left(x-3 \right)^<1>.\)
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Верный результат можно получить, сделав замену \( \left(x-3 \right)^<1>=t\), тогда \( \left(x-3 \right)^<1>=t^2\) с продолжением:
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение. Решить уравнение \(x^2-4x-\sqrt<2x^2-8x+12>=6.\)
L Неправильное (нерациональное) решение.
Чаще всего данное уравнение начинают решать так:
Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.
J Правильное решение.
и исходное уравнение принимает вид:
А дальше все просто:
Ошибки, связанные с использованием модуля
K Упражнение 1. Решить уравнение \(\sqrt
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение \(\sqrt<(x+3)^2>=x+3.\)
L Неправильное решение.
Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.
J Правильное решение.
Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.
J Правильное решение.
На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.
1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:
2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:
что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;
3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:
Подбор корней без обоснования
L Неправильное решение.
Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.
J Правильное решение.
1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях
Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.
L Неправильное решение.
Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.
J Правильное решение.
Возведем в куб обе части уравнения, тогда
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что:
из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;
степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
L Неправильное решение.
J Правильное решение 1.
2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.
J Правильное решение 2.
lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.
K Упражнение 1. Решить уравнение \(\left(\log_
L Неправильное решение.
\(\left(1 +2 \log _<5>x\right)\log _<5>x=0;\)
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение \(20\log_<4x>\sqrt
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.
Ошибки в тригонометрических уравнениях
Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.