Что такое поверхности вращения

Поверхность вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Содержание

Примеры

Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна

.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат действительна формула

Объём

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Поверхность вращения» в других словарях:

поверхность вращения — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN surface of revolution … Справочник технического переводчика

поверхность вращения — sukimosi paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. surface of revolution; surface of rotation vok. Drehfläche, f; Rotationsfläche, f; Umdrehungsfläche, f rus. поверхность вращения, f pranc. surface de rotation, f; surface de… … Fizikos terminų žodynas

поверхность вращения — ↑ вращение конус. конический. эллипсоид, сфероид. гиперболоид. параболоид. катеноид. | псевдосфера. меридиан. параллель. локсодрома. | винтовая линия. ▼ сфера, круглый цилиндр ↓ купол, обработка резанием (какая) … Идеографический словарь русского языка

производящая поверхность вращения — Поверхность, образующая в станочном зацеплении поверхность витка червяка. Примечания 1. Различают производящие конус, тор и другие поверхности вращения, образующие главные или номинальные поверхности витков обрабатываемых червяков. 2. Различают… … Справочник технического переводчика

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов … Википедия

ПОВЕРХНОСТЬ — ПОВЕРХНОСТЬ, поверхности, жен. Наружная, особенно верхняя сторона предмета. Поверхность земли. Поверхность воды. Гладкая, зеркальная поверхность. || Граница, отделяющая геометрическое тело от внешнего пространства или от другого тела; след… … Толковый словарь Ушакова

ПОВЕРХНОСТЬ — ПОВЕРХНОСТЬ, поверхности, жен. Наружная, особенно верхняя сторона предмета. Поверхность земли. Поверхность воды. Гладкая, зеркальная поверхность. || Граница, отделяющая геометрическое тело от внешнего пространства или от другого тела; след… … Толковый словарь Ушакова

Поверхность — (Surface, Oberflache). Всякую непрерывную кривую линиюможно представить, как след движущейся точки. подобно этому и всякую П.можно образовать или описать движением в пространстве некоторой кривойлинии неизменяемого или изменяемого вида и размеров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

ПОВЕРХНОСТЬ — (1) граница раздела между двумя контактирующими средами, общая часть двух смежных областей пространства (сред); видимая граница, отделяющая геометрическое (физ.) тело от внешнего пространства или др. среды (тела), которая может быть внешней или… … Большая политехническая энциклопедия

Источник

Поверхность вращения.

Поверхностью вращения называется такая поверхность, которая формируется в результате вращения некоторой не изменяющейся линии (MN), ее принято обозначать как образующую, вокруг неподвижной прямой (AB), обозначаемой как ось.

При этом примем, что образующая (MN), при своем вращении линия, обязательно взаимосвязана с осью (AB).

Отметим на образующей произвольную точку P и прочертим из нее на ось перпендикуляр PO. При вращении остается без изменений длина этого перпендикуляра, величина угла AOP и местоположение точки O.

Вследствие чего любая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси и центр располагается на пересечении этой плоскости с осью.

Отсюда можно сделать вывод, что плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, формирует в сечении окружность.

Значит поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Источник

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением образующей вокруг неподвижной оси (рис. 1). Эта поверх­ность определяется на чертеже заданием образующей и оси вращения.

Каждая точка образующей I описывает при своем вращении ок­ружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центром на оси. Эти окружности называются параллелями. Наибольшая из этих параллелей называется экватором, наименьшая — горлом.

Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называ­ют меридианальной. Линию ее пересечения с поверхностью — меридиа­ном. Меридиан, параллельный фронтальной плоскости проекций, назы­вается главным меридианом. Все меридианы равны между собой.

На чертеже ось вращения II располагают перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, например горизонтальной. Тогда все параллели проецируются на эту плоскость в истинную величину. Экватор и горло определят горизонтальный очерк поверхности. Фронтальным очерком такой поверхности будет главный меридиан, то есть меридиан, располо­женный во фронтальной плоскости.

Точки на поверхностях вращения могут быть построены с помо­щью параллелей, то есть окружностей на поверхности.

Цилиндром вращения называется поверхность, образованная вра­щением прямой вокруг параллельной ей оси.

Если ось цилиндра перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то горизонтальные проекции точек, лежащих на его поверхности, будут расположены на окружности, в которую спроецируется ци­линдр на горизонтальную плоскость Н (рис. 2).

Задача. Найти недостающие проекции точек М и К (рис. 2)

Для того, чтобы найти горизонтальную проек­цию точки М, проведем линию связи от фронталь­ной проекции М(m’) до пересечения с горизонталь­ной проекцией цилиндра (окружностью). Задача имеет два ответа: точки m1 и m2.

Однозначно определить положение фронталь­ной проекции точки К по одной только горизон­тальной проекции k невозможно. По линии связи, проведенной от горизонтальной проекции этой точ­ки, на поверхности цилиндра может находиться бесчисленное множество точек. В этом случае необходима дополнитель­ная информация о положении точки К.

При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получаются две прямые — образующие (рис. 3).

Если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения, в резуль­тате сечения получится окружность (рис. 4).

В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси враще­ния цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 5).

Сечение цилиндра плоскостью

В общем случае построение линии пересечения поверхности плоскостью заключается в нахождении общих точек, то есть точек, принадлежащих одновременно секущей плоскости и поверхности.
Для нахождения этих точек применяют способ дополнительных секущих плоскостей:

Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям.

Нахождение точек линии пересечения начинают с определения ха­рактерных (опорных) точек. К ним относятся

Для более точного построения линии пересечения необходимо по­строить еще и дополнительные (промежуточные) точки.

Прямой круговой конус

Сечение конуса плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении кону­са вращения могут получиться различные линии.

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 8, в, г, д) — в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.

Для конуса наиболее простыми линиями являются прямые (образующие) и окружности.

Горизонтальную проекцию точки А найдем с помощью образующей. Проведем через точку А и вершину конуса S вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р(Рv). Она пересе­кает конус по двум образующим SM и SN. Их фрон­тальные проекции совпадают. Строим горизон­тальные проекции образующих. Затем проводим через точку а’ линию связи. На пересечении ли­нии связи и горизонтальных проекций образую­щих определим горизонтальную проекцию точки. Задача имеет два ответа: точки а₁ и а₂ (рис. 9).

Горизонтальную проекцию точки В найдем, построив окружность, на которой она лежит. Для этого через точку проведем горизонтальную плоскость Т(Тv), которая пересекает конус по ок­ружности радиуса r.

Строим горизонтальную проекцию этой окружности. Через точку b’ проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Задача также имеет два ответа — точки b₁ и b₂.

Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения ко­нуса фронтально — проецирующей плоскостью Р (P_V). В этом случае в се­чении получается эллипс (рис. 10).

Сначала определим характерные (опорные) точки.

Фронтальная проек­ция линии сечения совпа­дает с фронтальным следом плоскости P_V. Нижняя точ­ка 1 лежит на образующей AS, верхняя — 2 на обра­зующей ВS. Эти точки оп­ределяют положение боль­шой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси.

Чтобы найти малую ось, разделим отрезок 1-2 на две равные части. Точки 3 и 4 определяют малую ось эллипса. Точки 5 и 6, расположенные на образующих CS и DS, являются точками границы ви­димости для профильной плоскости проекций. Проекции точек 1, 2, 5 и 6 находятся на соответствующих проекциях образующих. Чтобы найти про­екции точек 3 и 4, проводим дополнительную секущую плоскость Т(Тv).

Она рассекает конус по окружности радиуса г. На этой окружности на­ходятся проекции данных точек. Для точного построения необходимо определить дополнительные (случайные точки). Проекции этих точек находим аналогично точкам 3 и 4 или проводя через эти точки образую­щие. Соединяем полученные проекции точек. Определяем видимость. На горизонтальной плоскости все точки, лежащие на поверхности конуса, видимы. На профильной — точки 5, 3, 1, 4, 6 видимы, остальные — нет.

Шаровой поверхностью (или сфе­рой) называется поверхность, образован­ная при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Если шаровая поверхность пересе­кается плоскостью, то в сечении всегда получается окружность, которая может спроецироваться:

Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную плос­кости проекций, затем построить окружность, на которой находится эта точка.

Сечение шаровой поверхности плоскостью

Пересечем поверхность шара фронтально-проецирующей плоскостью Q(Q_v) (рис. 12). Построение начинаем с определения характерных точек.

Точки 1 и 2 находятся на главном меридиане. Эти точки — концы малой оси эллипса, а также это самая высокая и самая низкая точки. Их горизонтальные и профильные проекции строим по фронтальным проекциям.

Точки 3 и 4 находятся на профильном меридиане и оп­ределяют видимость на профильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции точек находим по профильным проекциям.

Точки 5 и 6 принадлежат экватору и являются точками границы видимости на горизонтальной проекции. Профильные проекции точек находим по горизонтальным проекциям.

Чтобы найти положение большой оси эллипса (точки 7 и 8) разде­лим отрезок 12 пополам. Фронтальные проекции точек (точки 7 и 8) совпадают с серединой этого отрезка. В этой же точке находится фрон­тальная проекция центра окружности сечения. На горизонтальную плос­кость диаметр окружности проецируется без искажения. Поэтому точки 7 и 8 будут находиться на расстоянии R от центра окружности сечения (рис. 12).

Для большей точности строим несколько дополнительных точек.

Полученные точки соединяем плавной кривой линией с учетом ее видимости.

Тор — поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр.

Если ось вращения проходит вне окружности, то поверхность на­зывается «открытый тор» или «тор — кольцо» (рис. 13); если ось касает тор» (рис. 15 — 16). Тор, изображенный на рис. 15, называется также «тор-яблоко», а на рис. 16 — «тор-лимон». Сфера — частный случай торовой поверхности.

рис. 13 рис. 14 рис. 15 рис. 16

Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка:

двухполостный гиперболоид вращения — поверхность, обра­зованная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси (рис. 19).

рис. 17 рис. 18 рис. 19

Источник

Что такое поверхности вращения

Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими основными способами: а) уравнением; б) каркасом; в) определи гелем; г) очерком.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида F (х,у, z) = 0.

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем, очерком.

Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже может быть задана определителем поверхности.

Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур и связей между ними. позволяющих однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в просфанстве линией называют кинематическим.

Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность называют образующей (производящей).

Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии называются направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример образования поверхности кинематическим способом показан на рис. 96.

В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения образующей задан двумя направляющими m и n и плоскостью а. Образующая а скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости a.

Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или се основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована четырьмя способами (рис. 97):

а) как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,а).

б) как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,6).

в) как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном перемещении ее центра О вдоль оси m. при этом плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 97,в).

г) как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис.97,г).

Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф ( а,m ) [ A₁].

Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

По известному уравнению поверхности или се определителю, или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей, образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:

Поверхности нелинейчатые

Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей переменного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность образуется перемещением образующей переменного вида а по криволинейной направляющей т (рис. 98).

2. Каналовая поверхность. Эта поверхность образуется движением плоской замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 99).

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения но направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок, соединяющий два трубопровода разной формы.

Примером циклической поверхности может быть корпус духового музыкального инструмента.

Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:

1. Поверхность общего вида. Такая поверхность может быть образована движением произвольной кривой линии а по направляющей m (рис. 101).

2. Трубчатая поверхность. Образующей трубчатой поверхности является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной к направляющей (рис. 102).

Примером трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого сечения.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности образуются движением прямой (образующей) по заданному закону. В зависимости от закона движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся:

1. Поверхность косого цилиндра. Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим (рис. 103).

P e ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки, воспользуемся признаком принадлежности ее поверхности: точка принадлежит поверхности; если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную проекцию точки A’ проводим проекцию образующей а’₂, определяем ее фронтальную проекцию а₂«, на которой по линии связи найдем искомую фронтальную проекцию точки A».

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки В’ выполним следующие построения:

1. Построим ряд образующих заданной поверхности a₁,a₂,a₃,a₄ .

2. На фронтальной плоскости проекций через известную проекцию точки В» проведем проекцию вспомогательной линии b’ принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.

3. По известным фронтальным проекциям точек пересечения проекции линии b» с образующими а₁«, а₂«, а₃«, а₄« найдем горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии b’ на которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В’.

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся, например, поверхности гребных винтов судов и пропеллеров самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К линейчатым поверхностями с двумя направляющими плоскостью параллелизма относятся:

a( n ⊥ a) (рис. 108). Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы)

1. Поверхность с ребром возврата. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касательной к пространственной кривой, называемой ребром возврата.

2. Цилиндрическая поверхность. Данная поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и остающейся параллельной своему исходному состоянию (рис.110).

3. Коническая поверхность. Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и ту же неподвижную точку S (рис. 111).

Источник