Что такое правило в математике определение
Определение математического понятия.
Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; три внутренних угла; шесть попарно равных внешних углов и это далеко не все свойства. Математику не интересует, какого цвета треугольник, из какого материала он изготовлен, не ставится задача нахождения массы этого объекта и т.д., перечисленные свойства изучаются другими науками. Более того в природе нет отдельно существующего объекта «треугольник». Если мы вырежем из листа бумаги «треугольник», то с «точки зрения» математики это треугольная призма каждая из двух параллельных граней, которой и есть треугольник. Здесь объект треугольник является частью другого объекта, название которого треугольная призма, но эти объекты не могут существовать друг без друга.
Предложения в которых, что-то утверждается в данный момент являются либо истинными либо ложными, к стати одновременно истинными и ложными они быть не могут. Подобные предложения называются суждениями. Утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства также называются суждениями.
Вот примеры суждений:
Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например:
А вот вопросы, восторги, восхваления, восклицания или требования не являются, суждениями.
Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения.
Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.
Чтобы иметь представление о каком либо объекте, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что мы имеем понятие об этом объекте. Следовательно, понятие — это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте. Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием).
Так, когда говорят о математическом объекте — треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия.
Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.
В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.
Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.
Например, определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: Сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм — это четырехугольник; 2) противоположные стороны параллельны. Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: «Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2». Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:
В данном случае мы имеем: название определяемого понятия — четные числа, родовое понятие — натуральные числа, видовые отличия — кратны числу 2.
Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.
Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое понятие для треугольника — фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис — происхождение).
Вот еще пример генетического определения: «Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F’, при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X’ фигуры F’, построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ’, равный ОХ». Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F’, симметричной фигуре F относительно точки О.
Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией». Здесь определяемое понятие — арифметическая прогрессия, родовое понятие — числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:
Такое определение называется индуктивным (от слова индукция — наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия — возвращение).
Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.
Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества, (совокупность) и некоторые другие.
Овладевая каким либо понятием, необязательно математическим, нужно понимать, что этот процесс сложен и длителен, состоит из нескольких этапов. На начальном этапе нужно произвести анализ свойств изучаемого объекта или его модели, выделить существенные войства и объеденить их в одно множество. Далее происходит длительный процесс запоминания этого множества и привязки его именно к этому объекту. На последнем этапе следует ннаучиться умению строить определение понятий каким-либо способом.
Словарь терминов по математике от А до Я
Аксиома — утверждение, принимаемое 6ез доказательств.
Алгебраическое выражение — некоторое количество чисел, обозначенных буквами или цифрами и соединенных при помощи действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Абцисса (французское слово). Одна из точек декартовых координат. Является первой. Обозначается, обычно, символом «X». Впервые употреблено Г. Лейбницем в 1675 году (немецкий ученый).
Аддитивность. Некоторое свойство величин. Говорит о следующем: значение определенной величины соответствующее полноценному объекту, равно сумме значений такой величины, которые соответствуют его частям в любом разбиении полноценного объекта на части.
Адъюнкта. Полностью соответствует алгебраическому дополнению.
Аксонометрия. Один из способов изображения на плоскости пространственных фигур.
Алгебра. Часть математики, которая изучает задачи и решения алгебраических уравнений. Термин впервые возможно было увидеть в 11-м веке. Применил Мухам меда бен-Муса ал-Хорезми (математик и астроном).
Аргумент (функции). Переменная величина (независимая), с помощью которой определяется значение функции.
Арифметика. Наука, которая изучает действия над числами. Возникла в Вавилоне, Индии, Китае, Египте.
Ассиметрия. Отсутствие или нарушение симметрии (обратное значение симметрии).
Бесконечно большая величина — больше любого наперед заданного числа.
Бесконечно малая величина — меньше любой конечной.
Биллион. Одна тысяча миллионов (единица с девятью нулями).
Биссектриса. Луч, имеющий начало в вершине угла (делит угол на две части).
Вектор. Направленный отрезок прямой. Один конец — начало вектора; другой — конец вектора. Впервые термин употребил У. Гамильтон (ирландский ученый).
Вертикальные углы. Пара углов, которая имеет общую вершину (образуется за счет пересечения двух прямых таким образом, что стороно одного угла — это прямое продолжение второго).
Вектор — величина, характеризующаяся не только своим числовым значением, но и направлением.
График — чертеж, наглядно изображающий зависимость одной величины oт другой, линия, дающая наглядное представление о характере изменения функции.
Гексаэдр. Шестигранник. Термин впервые был употреблен Паппой Александийским (древнегреческий ученый).
Геометрия. Часть математики, которая изучает пространственные формы и отношения. Термин впервые употребили в Вавилоне/Египте (5 ве до н. э.).
Гипербола. Незамкнутая кривая (состоит при помощи двух неограниченных ветвей). Термин появился благодаря Апполонию Пермскому (древнегреческий ученый).
Гипоциклоида. Это кривая, которую описывает точка окружности.
Гомотетия. Расположение между собой фигур (подобных), при которых прямые, соединяющие точки этих фигур, пересекаются в одной и той же точке (это называется центр гомотетии).
Градус. Единица измерения для плоского угла. Равна 1/90 части прямого угла. Измерять углы в градусах начала больше 3 веков назад. Впервые такие измерения применили в Вавилоне.
Дедукция. Форма мышления. С ее помощью какое-либо утверждение выводят логически (исходя из правил современной науки «логики»).
Диагональ. Отрезок прямой, который между собой соединяет вершины треугольника (они не лежат на одной стороне). Впервые употребил термин Евклид (3 век до нашей эры).
Дискриминант. Выражение, составленное из величин, определяющих функцию.
Дробь — число, составленное из целого числа долей единицы. Выражается отношением двух целых чисел m/n, где m — числитель, показывающий, сколько долей единицы содержится в дроби, а n знаменатель, показывающий, на сколько долей разделена единица.
Знаменатель. Числа, из которых составляют дробь.
Золотое сечение — деление отрезка на две части так, что большая часть, относится к меньшей так, как весь отрезок — к большей части. Приблизительно равно 1,618. Критерий красоты, используется в архитектуре и др. Термин ввел Леонардо да Винчи.
Индекс. Буквенный либо числовой указатель. С его помощью снабжается математические выражения (делается это для того, чтобы отличать друг от друга).
Индукция. Метод доказательства математического уравнения.
Интеграл. Основное понятие математического анализа. Возникло из-за того, что понадобилось измерять объемы и площади.
Иррациональное число. Число, которое не является рациональным.
Катет. Одна из сторон прямоугольного треугольника, которая прилежит к прямому углу.
Квадрат. Правильный четырехугольник (либо ромб). Каждый угол квадрата прямой. Все углы в квадрате равны (по 90 градусов).
Математическая константа. Величина, которая никогда не изменяется в своем значении. Константа — противоположное число для переменной.
Конус. Тело, которое ограничено одной полостью при помощи конической поверхности. Оно пересекает плоскость (плоскость перпендикулярна ее оси).
Косинус. Является одной из тригонометрических функций. Обозначение в математике/высшей математике — cos.
Корень уравнения — решение, значение неизвестного, найденное через известные коэффициенты.
Константа — постоянная величина.
Координаты — числа, определяющие положение точки на плоскости, поверхности или в пространстве.
Логарифм. Показатель степени «m». Его следует возвести в степень «а» для того, чтобы получить некоторое число NT. Впервые логарифм предложил Дж. Непер.
Линия — общая часть двух смежных областей поверхности.
Максимум. Наибольшее значение функции.
Масштаб. Отношение двух линейных размеров по отношению друг к другу. Используется во многих современных отраслях. Основная — картография, геодезия.
Матрица. Прямоугольная таблица. Образуется при помощи множества числа (определенного). Включает в себя столбцы и строки (структура матрицы). Впервые термин «матрица» появилась у ученого Дж. Сильвестра.
Медиана. Отрезок, который соединяет вершину треугольника и его середину противоположной стороны.
Минимум. Наименьшее значение функции.
Многоугольник. Геометрическая фигура. Определение — замкнутая ломаная.
Модуль. Абсолютная величина (действительного числа).
Множество — совокупность элементов, объединенных по какому-нибудь признаку.
Норма. Абсолютная величина числа.
Неравенство — два числа или выражения, соединенных знаками (больше) или (меньше).
Овал. Выпуклая, замкнутая фигура (плоская).
Окружность. Многочисленные точки, расположенные на плоскости.
Ордината. Одна из декартовых координат. Обозначается, обычно, второй.
Октаэдр. Геометрическая фигура. Один из пяти многогранников (правильных). Октаэдр включает в себя 8 граней (правильных), 6 вершин и 12 ребер.
Параллелепипед. Призма. Основание — параллелограмм или многогранник (равносильные понятия). Имеет 6 граней. Каждая грань — параллелограмм.
Параллелограмм. Четырехугольник. Противолежащие стороны у него параллельны (попарно). На данный момент присутствует 2 частных случая параллелограмма: ромб и квадрат. Главное свойство данной геометрической фигуры:
• Противоположные стороны равны;
• Противоположные углы равны.
Периметр. Сумма всех сторон геометрической фигуры. Впервые удалось встретить у Архимеда и Герона (древнегреческие ученые).
Перпендикуляр. Прямая, которая пересекает плоскость (любую), находящуюся под прямым углом.
Пирамида. Многогранник. Его основание — это многоугольник. Любая другая грань — треугольник (эти грани имеют общую вершину). На данный момент пирамиды могут быть различных типов: треугольные, четырехугольные и так далее (различают таковые при помощи определения числа углов).
Планиметрия. Одна из наиболее важных частей элементарной (простой) геометрии. Планиметрия изучает свойства фигур, которые находятся на плоскости. Впервые термин был обозначен Еквлидом (древнегреческий ученый).
Плюс. Знак, который обозначает математическое действие — сложение. Кроме того, при помощи плюса обозначаются положительные числа. Впервые знак ввел Я. Видман (знаменитый чешский ученый).
Предел. Основное понятие математики. Обозначает: переменная величина неограниченно приближается к постоянному значению (определенному). Впервые термин использовал известный ученый Ньютон.
Призма. Многогранник. Первые 2 грани — равные угольники (это есть основания призмы). Остальное — боковые грани.
Проекция. Один из способов изображения пространственных и плоских фигур.
Переменная — величина, числовое значение которой изменяется по определенному, известному или неизвестному закону.
Плоскость — простейшая поверхность. Любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит ей.
Прямая — совокупность точек, общих для двух пересекающихся плоскостей.
Процент — сотая часть числа.
Радиан. Единица для измерения углов.
Ромб. Параллелограмм. Все стороны у данной фигуры равны. Ромб, имеющие прмые углы, имеет термин «квадрат».
Сегмент. Часть круга (таковую ограничивают при помощи хорды, которая соединяет концы дуги).
Секанс. Тригонометрическая функция. Обозначение в математике/высшей математике — sec.
Сектор. Часть круга. Ограничивается при помощи окружности + двух радиусов (соединяет концы одной дуги с центром круга).
Симметрия — соответствие.
Синус. Тригонометрическая функция. Обозначение в математике/высшей математике — sin.
Стереометрия. Часть элементарной геометрии. Занимается изучением полноценных пространственных фигур.
Тангенс. Тригонометрическая функция. Обозначение в математике/высшей математике — tg.
Тетраэдр. Многогранник, включает в себя 4 треугольные грани. В каждой вершине по 3 грани (сходятся в вершинах). Тетраэдр имеет 4 грани + 6 ребер + 4 вершины.
Точка. Не имеет определенного и окончательного понятия. Любая точка обозначается при помощи букв A, B, C.
Треугольник. Многоугольник (простой). Включает в себя 3 вершины + 3 стороны;
Теорема — утверждение, которое нужно доказать исходя из аксиом и ранее доказанных теорем.
Тождество — равенство, справедливое при всех значениях входящих в него коэффициентов.
Топология — раздел математики, изучающий свойства фигур, не изменяющиеся при любых деформациях, проводимых 6ез разрывов и склеиваний.
Уравнение — математическая запись задачи о разыскании значений неизвестных, при которых значения двух данных функций равны.
Угол. Геометрическая фигура (плоская). Образуется двумя лучами, которые выходят из одной точки (точки — вершины угла).
Факториал — произведение натуральных чисел от 1 до какого-либо данного натурального числа n. Обозначается n!. Факториал нуля о! = 1.
Формула — комбинация математических знаков, выражающая какое-нибудь предложение.
Функция — числовая зависимость между элементами двух множеств, при котором одному элементу одного множества соответствует определенный элемент другого множества. Может быть задана формулой или графиком.
Хорда. Отрезок, который соединяет между собой 2 точки, находящиеся на окружности.
Цифры — знаки для обозначения чисел.
Центр. Середина чего-либо (например: круга).
Цилиндр. Тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью + параллельными плоскостями (двумя). Впервые понятие «цилиндр» возможно было встретить у Евклида и Аристарха.
Циркуль. Специальный прибор, разработанный для того, чтобы чертить дуги, линейные измерения и окружности.
Числитель. Определенное число, при помощи которого составлена дробь. Впервые термин применил Максим Плануда (византийский ученый).
Число — одно из основных понятий математики, возникшее в связи со счетом отдельных предметов.
Шар. Геометрическое тело. Представляет из себя общую совокупность всех точек определенного пространства.
Экспонента. Является одним и тем же, что и экспоненциальная функция. Впервые термин ввел Г. Лейбниц (немецкий ученый).
Эллипс. Овальная кривая. Впервые данный термин ввел Апполоний Пергский (древнегреческий ученый).
Что такое правило в математике определение
Беседа 5. Математические понятия и их определения
Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) четное число делится на два и т. д.
Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: «5 больше 3», «АВ является стороной треугольника ABC«, «Угол А не является смежным с углом В» и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.?
Рис. 3
Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание. Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.
В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.
Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.
Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.
Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными.
Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества (совокупность) и некоторые другие.
3.1. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:
а) Две стороны трапеции параллельны.
б) Оба угла при большем основании острые.
в) Сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180°.
г) Основания трапеции горизонтальны.
д) Оба угла при меньшем основании трапеции тупые.
3.2. Как связаны между собой математические объекты и математические понятия?
3.3.Укажите, какие из приведенных ниже предложений являются суждениями, а какие ими не являются:
а) В треугольнике проведены три медианы.
б) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?
г) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
3.4. В приведенных ниже определениях выделите название объектов определяемых понятий, родовое понятие и видовые отличия:
а) Числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.
б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
в) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
г) Если точка О является серединой отрезка АВ, то точки A и В называются симметричными точками относительно точки О.
3.5. Сформулируйте генетическое определение окружности, зная, что она образуется в результате вращения отрезка на плоскости вокруг одного из его концов, второй конец этого отрезка в этом случае описывает окружность.
3.6. Члены последовательности Фибоначчи (ок. 1170-1250) задаются с помощью следующей формулы: аn+2=аn+1+an. Сформулируйте определение этой последовательности. Какое это определение?
На основе этого описания сформулируйте определение перпендикулярных прямых.
3.8. Модуль числа определяется следующей формулой:
Сформулируйте словесное определение модуля числа.
3.9. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего члена. Запишите это определение с помощью формулы.
3.11. Укажите ближайшие родовые понятия для следующих понятий: а) квадрат; б) степень с натуральным показателем; в) вертикальные углы; г) простое число; д)хорда.
3.12. Укажите несколько родовых понятий для понятия ромб.
3.13. Нужно ли (и можно ли) доказывать определения?