Что такое превращение функции

Приращение аргумента, приращение функции

Урок 37. Алгебра 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Приращение аргумента, приращение функции»

· познакомиться с понятием непрерывной функции;

· познакомиться с понятием предел функции в точке;

· рассмотреть примеры использования данных понятий для решения задач.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним упражнение.

Не всегда нам надо знать точные значения тех или иных параметров. Иногда нам достаточно знать, как они изменяются. Например, если мы в течение одного дня выйдем на улицу, то нам не важно, на сколько именно изменилась температура воздуха, а нам важно похолодало или потеплело. Или при движении автомобиля нам, не важно, знать точную скорость, а важно определить разгоняется автомобиль или тормозит.

Причём, если на улице потеплело, то изменения будут со знаком плюс и наоборот если похолодало, то изменения будут со знаком минус.

Если автомобиль разгоняется, то изменения будут со знаком плюс, если тормозит – то со знаком минус.

Для описания таких изменений было введено понятие приращение.

Приращение аргумента обозначают так:

Приращение функции обозначают так:

Давайте рассмотрим, что же такое приращение аргумента и функции на графике.

Рассмотрим ещё один пример.

Давайте вспомним определение непрерывной функции, которое мы формулировали ранее.

Определение непрерывности функции в точке x = a выглядит так:

Определение непрерывности функции в точке можно записать так:

Когда мы вводили определение непрерывной функции, то мы говорили, что функция непрерывна на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка. Давайте уточним, что означает непрерывность функции в концевых точках промежутка, например, как понимать непрерывность функции в точках a и b отрезка [a; b].

Давайте изобразим график линейной функции. Отметим приращение аргумента и функции. И найдём чему равно отношение приращения аргумента к приращению функции.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение производной;

2) Физический смысл производной;

2) Приращение функции;

3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x₀, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдем приращение Δf функции в точке x₀,если приращение аргумента равно x₀.

по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀; t₀+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t 2

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

.

Ответ: _.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Источник

Частное и полное приращение функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Таким образом, имеем:

Записать частные и полное приращение функции

Решение:

По определению частного приращения найдем:

По определению полного приращения найдем:

Готовые работы на аналогичную тему

Решение:

По определению частного приращения найдем:

По определению полного приращения найдем:

\[\Delta _ z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _ z=1\cdot (2+0,1)=2,1\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Проверить утверждение замечания для функции

Решение:

\[\Delta _ z+\Delta _ z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y\ne x+\Delta x+y+\Delta y,\]

\[\Delta _ z+\Delta _ z\ne \Delta z.\]

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:

Записать частные и полное приращение функции

Решение:

По определению частного приращения найдем:

По определению полного приращения найдем:

Решение:

По определению частного приращения найдем:

По определению полного приращения найдем:

\[\Delta _ w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _ w=1\cdot (2+0,1)\cdot 1=2,1\] \[\Delta _ w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1)\cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1)=1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 03 2021

Источник

Урок по теме: «Приращение функции»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Не всегда в жизни нас интересуют точные значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины, например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия, как «приращение функции» и «приращение аргумента».

Понятия «приращение функции» и «приращение аргумента»

Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.

Приращением функции f в точке x ₀ , соответствующим приращению ∆х называется разность f(x ₀ + ∆х) – f(x ₀ ). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:

Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения

Посмотрите на следующий рисунок.

Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Воспользуемся формулами, приведенными выше:

∆ f=f(2.1) – f(2) = 2.1 2 – 2 2 = 0.41.

Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

Пример 3. . Найти приращение функции y=2x 2 при x0=3 и Δx=0,1

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

Δy=y(3+0,1)−y(3)=2 ⋅ (3+0,1) 2 −2 ⋅ 3 2 =1,22

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1547378

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В России стартует пилотный проект по реабилитации детей-инвалидов

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

Итоговое сочинение успешно написали более 97% выпускников школ

Время чтения: 2 минуты

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Приращение функции

Не всегда в жизни нас интересуют точные значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины, например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия, как «приращение функции» и «приращение аргумента».

Понятия «приращение функции» и «приращение аргумента»

Допустим, х – некоторая произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х0. Приращением аргумента в точке х0 называется разность х-х0. Обозначается приращение следующим образом: ∆х.

Иногда эту величину еще называют приращением независимой переменной в точке х0. Из формулы следует: х = х0+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение независимой переменной х0, получило приращение ∆х.

Если мы изменяем аргумент, то и значение функции тоже будет изменяться.

Приращением функции f в точке x0, соответствующим приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0). Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем, по определению:

Иногда, ∆f еще называют приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения

Посмотрите на следующий рисунок.

Как видите, приращение показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции к приращению аргумента определяет угол наклона секущей, проходящей через начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Воспользуемся формулами, приведенными выше:

Пример 2. Вычислить приращение ∆f для функции f(x) = 1/x в точке х0, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

Источник