Что такое равенство и неравенство пример

Понятие равенства, знак равенства, связанные определения

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Что такое равенство

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Источник

Что такое числовые выражения, равенства, неравенства и уравнения

Выражение

Числовое выражение — это числа, соединённые знаками арифметических действий: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найти значение числового выражения — это значит выполнить все указанные арифметические действия и получить конкретное число.

Кроме арифметических действий выражения могут содержать скобки, которые влияют на порядок действий при решении выражения.

Пример 1:

Равенство

Равенства — это числа или выражения, соединённые знаком = (равно).

Равенство считается верным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, имеют равное значение.

Равенство считается неверным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, не равны (≠).

При решении равенств соблюдается следующий порядок действий:

Пример 2:

1) 5 = 7 — равенство неверно, так как 5 ≠ 7.

2) 36 : 2 = 6 • 3 — равенство верно, так как:

3) 48 + 9 = 54 — 1 — равенство неверно, так как:

Неравенство

Пример 3:

1) 5 > 7 — неравенство неверно, так как 5

3) 4 + 5 • 6 > (4 + 5) • 6 — неравенство неверно, так как:

Уравнение

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное какой-либо латинской буквой: x, y, a, b, z, d и т.д.

Корень уравнения — это число, при подставлении котрого вместо буквы в равенство делает это равенство верным.

Решить уравнение — это значит найти все возможные корни уравнения.

Порядок и правила решения уравнений зависят от того, к какому типу они относятся:

Источник

Числовые равенства, свойства числовых равенств

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

Источник

Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

Возьмём два числовых выражения 32-20 и 144 : 12.

Получим высказывание, которое называется числовым равенством.

Это высказывание истинно.

14 + 4 • 8 = 4 • 9 (л), т. к. 46≠ 36

Определение 1. Два числа или два числовых выражения, соединённые знаком равенства, называются числовым равенством.

Если знаком равенства соединены 2 числовых выражения, значения которых равны, то получится истинное числовое равенство, если не равны, то ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают .

Свойства истинных числовых равенств

1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.

Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл

Следствие: Любой член истинного числового равенства можно переносить из одной части в другую, поменяв знак на противоположный.

2) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.

Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл

Следствие: О бе части истинного числового равенства можно разделить на одно и то же число , не равное нулю.

В начальной школе истинные числовые равенства называют верными, ложные– неверными.

-Какие выражения называются числовыми выражениями? ( Они образуются из чисел, знаков действий и скобок).

-Что такое значение числового выражения? (Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения).

-Существуют ли числовые выражения, значения которых нельзя найти?

Какие действия выполняются раньше 1 или 2 ступени? (действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание)).

-Что называется выражением с переменной ( Запись, состоящая из чисел, знаков действий, скобок и букв)

-Областью определения выражения с переменной? (множество тех значений переменной, при которых выражение имеет смысл).

-Какие преобразования относятся к тождественным?

-приведение дробей к общему знаменателю;

-группировка или заключение в скобки)

-Что такое тождественное преобразование? (Замена выражения с переменной другим выражением тождественно равным ему называется тождественным преобразованием ).

Задача 1. Найти значение выражения Зх(х-2) + 4(х-2) при х = 6.

3-6-(6-2) + 4-(6-2) = 18-4 + 4-4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения

Зх(х-2) + 4(х-2) = (х-2)(Зх+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо Х число 6, выполним действия: (6-2)-(3-6 + 4)= 4-(18+4) = 4-22 = 88.

-Какие два выражения называются тождественно равными? (если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны).

— Как получить тождество? (Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве).

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax — bx + ab — b 2 = = ( ax — bx ) + ( ab — b 2 ). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x ( a — b )+ b ( a — b ) = ( a — b )( x — b ). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

I . Повторение изученного:

— Какое предложение называют числовым равенством?

— Приведите примеры числовых равенств.

— Можно ли числовое равенство считать высказыванием? (Да)

— Какое числовое равенство истинно? (Если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают).

— Назовите свойства истинных числовых равенств.

Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если два числовых выражения соединить знаком «>» или « числовое неравенство.

Определение. Два числовых выражения, соединённые знаком «>» или « числовое неравенство.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7 (И). Если соединить те же выражения знаком « 13-7(Л).

Конъюнкцию двух числовых неравенств принято записывать в виде двойного неравенства.

Дизъюнкцию числового равенства и неравенства записывают в виде нестрогого неравенства

(5 > 4 V 5 = 4 ) ( 5 ≥ 4 )

a > b и c > d – одинакового смысла;

a > b и c d – противоположного смысла.

Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же положительное число, в результате получим истинное числовое неравенство того же смысла.

Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же отрицательное число, в результате получим истинное числовое неравенство противоположного смысла (с противоположным знаком).

Истинные числовые неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, в результате получается неравенство того же смысла.

Истинные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак того неравенства, из которого вычитаем.

Истинные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство того же смысла.

Истинные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство противоположного смысла.

Обе части истинного числового неравенства можно возводить в одну и ту же степень с натуральным показателем, при этом получается неравенство того же смысла.

Источник

Равенства и неравенства. 3-й класс

Класс: 3

Презентация к уроку

Тип урока: открытие новых знаний.

Технология: технология развития критического мышления через чтение и письмо, игровая технология.

Цели: Расширить знания учащихся о равенствах и неравенствах, познакомить с понятием верных и неверных равенств и неравенств.

Дидактическая задача: Организовать совместную, самостоятельную деятельность учащихся по изучению нового материала.

Задачи урока:

Оборудование:

Ход урока

I. Организационный момент.

И так, друзья, внимание.
Ведь прозвенел звонок
Садитесь поудобнее,
Начнем скорей урок!

II. Устный счет.

– Сегодня мы отправимся с вами в гости. Прослушав стихотворение, вы сможете назвать имя хозяйки. (Чтение стихотворение ученицей)

В веках математика овеяна славой,
Светило всех земных светил.
Ее царицей величавой
Недаром Гаусс окрестил.
Мы славим разум человека,
Дела его волшебных рук,
Надежду нынешнего века,
Царицу всех земных наук.

– И так, нас ждет Математика. В её царстве много княжеств, но сегодня мы посетим одно из них (слайд 4)

– Название княжества вы узнаете, решив примеры и расставив ответы в порядке возрастания. (Высказывание)

– Давайте вспомним, что такое высказывание? (Утверждение)

– Каким может быть высказывание? (Верным или неверным)

– Мы сегодня с вами будем работать с математическими высказываниями. Что к ним относится? (выражение, равенства, неравенства, уравнения)

III. Стадия 1. ВЫЗОВ. Подготовка к изучению нового.

(слайд 5 см. примечание)

– Княжна Высказывание предлагае вам первое испытание.

– Перед вами карточки. Найдите лишнюю карточку, покажите (а + 6 – 45 * 2).

– Почему она лишняя? (Выражение)

– Является ли выражение законченным утверждением? (Нет, не является, т.к. оно не доведено до логического завершения)

– Разложите оставшиеся карточки на группы. (Равенства и неравенства)

– А что такое равенство и неравенство, можно ли их назвать высказыванием?

– Назовите верные равенства.

– Как по-другому назвать верные равенства? (истинные)

– О каких равенствах нельзя сказать, что они истинные? (с переменной)

– Математика постоянно учит нас доказывать истинность или ложность наших высказываний.

IV. Сообщение цели урока.

– И сегодня мы должны узнать, что такое равенство и неравенство и научиться определять их истинность и ложность.

– Перед вами высказывания. Прочитайте их внимательно. Если вы считаете, его верным, то поставьте в первом столбике «+», если нет – «–».

– Сколько равенств подчеркнули? Проверим.

– Что помогло выполнить задание? (знаки «=», «>», « 20.05.2012

Источник