Что такое равномерная непрерывность

30.10.202324.04.2022 admin 0 Comments

РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Понятие Р. н. обобщается на отображения равномерных пространств.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Келли Д ж. Д., Общая топология, 2 изд., пер. с англ., М., 1981; [4] Бурбаки Н., Общая топология, пер. с франц., М., 1968. Л. Д. Кудрявцев.

Полезное

Смотреть что такое «РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ» в других словарях:

Равномерная непрерывность — в математическом и функциональном анализе это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения. Содержание 1 Определения 1.1 Равномерная непрерывность числовых функций … Википедия

Равномерная непрерывность — важное понятие математического анализа. Функция f (x) называется равномерно непрерывной на данном множестве, если для всякого ε > 0 можно найти такое δ = δ(ε) > 0, что |f (x1) f (x2)| … Большая советская энциклопедия

Равностепенная непрерывность — важное свойство некоторых семейств функций. Семейство функций называется равностепенно непрерывным на данном отрезке [а, b], если для всякого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что |f (x2) f (x1)| Большая советская энциклопедия

Равностепенная непрерывность — Не следует путать с Равномерная непрерывность. Равностепенная непрерывность свойство семейства непрерывных функций. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия

Непрерывная функция — Эта статья о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение. Непрерывная функция функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения… … Википедия

Непрерывное отображение — или непрерывная функция в математике это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений. Наиболее общее определение формулируется для отображений… … Википедия

Непрерывная функция — Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x0 … Большая советская энциклопедия

Теорема Асколи — Теорема Арцела утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство пространство непрерывных функций на отрезке… … Википедия

Источник

Непрерывность функции многих переменных

Непрерывность функции в точке.

Говорят, что функция $f(x)$, определенная в окрестности $O(x^0)$ точки $x^0$ метрического пространства, непрерывна в точке $x^0$, если $\displaystyle\lim_f(x)=f(x^0)$.

Говорят, что функция $f(x)$, определенная в окрестности $0(x^0)$, непрерывна в точке $x^0$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует такая окрестность $S_\delta(x^0)$, что для любого $\forall x\in S_\delta(x^0)$ выполняется неравенство \(|f(x)-f(x^0)| Определение 3.

Пусть функция $f(x)$ определена на множестве $M\subset R^n$, точка $x^0\in M$, причем $x^0$ — предельная точка множества $M$. Говорят, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $x^0$ по множеству $M$, если
$$
\lim_f(x)=f(x^0).\nonumber
$$

Если $x^0$ есть изолированная точка множества $M$, то функция $f(x)$ считается непрерывной в точке $x^0$ по множеству $M$.

Функция
$$
f(x,y)=\left\<\begin\frac<2x^2y>,&x^2+y^2 > 0,\\0,&x=y=0,\end\right.\nonumber
$$
непрерывна в точке $(0,0)$ по любому лучу, но не является непрерывной в точке $(0,0)$.

$\triangle$ Из результата разобранного ранее примера следует, что функция $f(x,y)$ не имеет предела при $(x,y)\rightarrow (0,0)$ и, следовательно, не является непрерывной в точке $(0,0)$. А из результата примера, решенного здесь следует, что в точке $(0,0)$ предел функции $f(x,y)$ по любому направлению существует и равен нулю. Следовательно, функция $f(x,y)$ непрерывна в точке $(0,0)$ по любому направлению. $\blacktriangle$

Основные теоремы о свойствах непрерывных в некоторой точке функций (например, теорема о непрерывности суммы непрерывных функций) доказываются для функций многих переменных так же, как и для функции одной переменной. Ниже будет доказано, что суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Непрерывность сложной функции.

Пусть функции $\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)$ определены в некоторой окрестности точки $x^0\in R^m$ и непрерывны в точке $x^0$, а функция $f(y)=f(y_1,\ldots,y_n)$ определена в окрестности точки $y^0=(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))$ и непрерывна в точке $y^0$. Тогда в некоторой окрестности точки $x^0$ определена сложная функция
$$
\Phi(x)=f(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)),\nonumber
$$
причем функция $\Phi(x)$ непрерывна в точке $x^0$.

$\circ$ Так как функция $f(y)=f(y_1,\ldots,y_n)$ непрерывна в точке $y^0$, то для любого $\varepsilon > 0$ найдется шар $S_<\delta>(y^0)$ такой, что для всех $y\in S_<\delta>(y^0)$ выполнено неравенство
$$
|f(y)-f(y^0)|=|f(y_1,\ldots,y_n)-f(y_1^0,\ldots,y_n^0)|

Свойства функций, непрерывных на компакте.

Функция $f(x)$ называется непрерывной на множестве $M$, если она непрерывна в каждой точке множества $M$ по этому множеству, то есть если в каждой предельной точке множества $x^0$ выполнено условие
$$
\lim_f(x)=f(x^0).\label
$$

Доказательства следующих двух теорем о свойствах функций, непрерывных на компакте в метрическом пространстве, практически не отличаются от соответствующих доказательств для функций одной переменной, непрерывных на отрезке.

Функция $f(x)$, непрерывная на компакте метрического пространства, ограничена на этом компакте.

Доказательство практически идентично доказательству теореме Вейерштрасса для одной переменной.

Функция $f(x)$, непрерывная на компакте метрического пространства, принимает на этом компакте свои наибольшее и наименьшее значения.

Аналог доказательства для функции одной переменной разобран нами ранее.

Равномерная непрерывность.

Введем фундаментальное понятие равномерной непрерывности функции на множестве.

Говорят, что функция $f(x)$ равномерно непрерывна на множестве $G$ метрического пространства $X$, если $\forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0$ такое, что для $\forall x,\ x’\in G$ таких, что $\rho(x,x’) 0$ такое, что для любого $\delta > 0$ существуют элементы $x,\;x’\in G$ такие, что \(\rho(x,x’) Пример 2.

Покажем, что функция $f(x)=x^2$ не является равномерно непрерывной на интервале $(0,+\infty)$.

$\triangle$ Пусть $\varepsilon_0=1$. Для любого $\delta > 0$ возьмем $x_<\delta>=1/\delta,\;x’=1/\delta+\delta/2$. Тогда \(\rho(x_<\delta>’,x_<\delta>)=|x_<\delta>’-x_<\delta>|=\delta/2 Теорема 4.

Функция $f(x)$, непрерывная на компакте метрического пространства, равномерно непрерывна на этом компакте.

$\circ$ Пусть функция $f(x)$ непрерывна на компакте $M$, но не равномерно непрерывна на этом компакте. Тогда $\exists \varepsilon_0 > 0$ такое, что $\forall n$ найдутся точки $x_n,\;x_n’\in M$ такие, что
$$
\rho(x_n,x_n’) 0.\nonumber
$$
Полученное противоречие доказывает, что функция $f(x)$ должна быть равномерно непрерывной на множестве $M$. $\bullet$

Пусть функция $f(x)$ ограничена на множестве $E$. Выражение
$$
\omega_f(\delta,E)=\sup_

Функция $f(x)$ равномерно непрерывна на множестве $E$ в том и только том случае, когда
$$
\lim_<\delta\rightarrow +0>\omega_f(\delta,E)=0.\label
$$

(\circ\) Если функция $f(x)$ равномерно непрерывна на множестве $E$, то
$$
\forall\varepsilon > 0\;\exists\delta_ <\varepsilon>> 0:\quad\forall x,x’\in E:\quad\rho(x,x’) 0\;\exists\delta_ <\varepsilon>> 0:\quad\forall\delta

Промежуточные значения непрерывной функции.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в области $G\in R^n$ и принимает в этой области значения $A$ и $B$. Тогда функция $f(x)$ принимает в области $G$ все значения, заключенные между $A$ и $B$.

$\circ$ По условию $G$ — область, то есть открытое и связное множество. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в $G$ и $f(a)=A,\;f(b)=B,\;a,\;b\in G$.

Соединим $a$ и $b$ непрерывной кривой $x=x(t),\;\alpha\leq t\leq \beta,\;x(\alpha)=a,\;x(\beta)=b$. Сложная функция $f[x(t)]=\varphi(t)$ непрерывна на отрезке $[\alpha,\beta]$ и принимает на концах этого отрезка значения $A$ и $B$. Так как $\varphi(t)$ есть непрерывная функция одной переменной, то в силу теоремы о промежуточных значениях для функции одной переменной она принимает на отрезке $[\alpha,\beta]$ все значения, заключенные между $A$ и $B$. Но множество значений функции $\varphi(t)=f[x(t)]$ содержится в множестве значений функции $f(x)$. Поэтому функция $f(x)$ принимает все значения, заключенные между значениями $A$ и $B$. $\bullet$

Источник

Равномерная непрерывность. Условие Липшица

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

При этом число 6 зависит не только от выбора £, но и от положения точки а. Когда же говорят о равномерной непрерывности / на X, то это означает, что S можно выбрать зависящим только от е и не зависящим от а. Поэтому в общем случае из непрерывности функции на множестве не следует ее равномерная непрерывность на этом множестве. Пример 5.13. Функция f(x) = х2 непрерывна на множестве X — [0, +оо). Рассмотрим произвольные О 0 и е > О и предположим, что С учетом свойств абсолютного значения числа имеем.

Решая последнее неравенство относительно |ж-а|, получаем, что условие (5.19) будет выполнено, если Поэтому, согласно определению 5.13, для непрерывности данной функции в любой точке a € [0, +оо) достаточно положить равным правой части (5.20). Однако рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на множестве [0, +оо).

Свойство равномерной непрерывности при заданном значении е > 0 наглядно можно представить как возможность прямоугольной рамки pqrs со сторонами е и < (см. рис. 5.4) скользить вдоль кривой графика функции, не изменяя ориентации сторон относительно системы координат и не пересекая кривую горизонтальными сторонами.

Изображенная на рисунке рамка может свободно спуститься из своего положения вдоль кривой к началу координат и затем подняться по левой ветви параболы до исходного уровня. Но при попытке подняться выше исходного уровня рамку „заклиниваем и тогда нужно уменьшать длину 8 горизонтальной стороны. Однако при любом малом 8 > О подъем рамки будет возможен лишь до определенной высоты у. Аналогичная ситуация возникает и при любом ином заданном значении е > 0. #

Говорят, что отображение /: X —> У удовлетворяет условию Липшица на Х> если существует такая константа ЧТО при любых ХиХ2 € X Легко видеть, что функция, удовлетворяющая на X усло-00к> Липшица (по имени немецкого математика Р. Липшица (1832-1903)), является равномерно непрерывной на Х) причем, согласно определению 5.17, достаточно выбрать Теорема 5.13.

В силу компактности X (см. определение 5.12) из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие шарами и принять Теперь возьмем любые точки для некоторого г, ).

Для действительной функции f(x) действительного переменного из этой теоремы последовательно вытекают два следствия. Следствие 5.6. Непрерывная на отрезке [а, 6] € R действительная функция f(x) равномерно непрерывна на этом отрезке. В самом деле, по теореме 5.6 любой отрезок числовой прямой является компактом и в силу теоремы 5.13 непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке. Следствие 5.7. Бели функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [а, 6] € R, то при заданном е > О существует такое 8 >

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Длину участков по мере приближения к точке

Доказать, что отрезок числовой прямой нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств. 5.11. Выяснить, являются ли открытыми (или замкнутыми) следующие множества точек числовой прямой: 5.12. Выяснять, являются лн открытыми (или замкнутыми) множества точек (х, у) плоскости R2, если выполнены условия: 5.13. Указать в пространствах R и R2 примеры множеств: а) без граничных точек; б) не пересекающихся со своей непустой границей; в) содержащих часть своих граничных точек; г) содержащих в себе все свои граничные точки. 5.14.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Равномерная непрерывность

Последний раз редактировалось samuil 21.11.2011, 01:01, всего редактировалось 5 раз(а).

Определения равномерной непрерывности и непрерывности в оффтопе (чтобы не занимало место)

Непрерывность в точке у функции означает, что

Определение равномерной непрерывности:

Функция вещественного переменного равномерно непрерывна, если
0 \;\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \;\forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| 0 \;\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \;\forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2|
Здесь важно, что выбор зависит только от величины .

Как доказать, что функция не является равномерно непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна?

Нужно указать при котором не будет выполняться неравенство ?

Последний раз редактировалось NiGHTeR 21.11.2011, 01:05, всего редактировалось 1 раз.

Ок, спасибо, понятно!

Последний раз редактировалось samuil 21.11.2011, 01:13, всего редактировалось 1 раз.

А еще есть такой вопрос про доказательство отсутствия равномерной непрерывности у

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

Для любого 0$» title=»$\varepsilon>0$» /> можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины такой, что разница значений функции на концах отрезка будет больше В частности, на отрезке разница значений функции стремится к

Вопрос такой:
А откуда взялось и откуда там предел взялся этот? Является ли это доказательство корректным (взято из Википедии, поэтому и спрашиваю). Доказывается не по определению равномерной сходимости, насколько я понимаю.