Что такое равный вектор в геометрии

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как , соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор можно записать в таком виде:

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Источник

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Равенство векторов

Урок 2. Геометрия 9 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Равенство векторов»

Вы уже знакомы с понятием вектора, знаете, что каждый вектор характеризуется направлением и длиной, которая равна длине соответствующего отрезка.

Также с прошлых уроков вам известно, что любая точка плоскости тоже является вектором, нулевым вектором. Длина нулевого вектора всегда равна нулю.

Обладая всеми этими знаниями, мы можем приступить к изучению равных векторов.

Но перед этим введём понятие коллинеарных векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Посмотрим на рисунок и найдём на нём коллинеарные векторы.

Векторы коллинеарны. Также коллинеарны будут векторы , ведь нулевой вектор ММ коллинеарен любому вектору.

А вот, например, векторы , не коллинеарны.

Рассмотрим два коллинеарных вектора . Они одинаково направлены. А вот коллинеарные векторы противоположно направлены.

Запомните, в первом случае векторы называют сонаправленными и обозначают их таким знаком , а во втором — противоположно направленными, их обозначают таким знаком .

Если говорить о нулевом векторе, то стоит вспомнить, что его начало совпадает с концом. Поэтому он не имеет какого-то определённого направления. Другими словами, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. Поэтому нулевой вектор будет сонаправлен с любым вектором. Например, векторы .

Для ненулевых коллинеарных векторов можно выделить следующие свойства.

Если вектор сонаправлен с вектором , а вектор , в свою очередь, также сонаправлен с вектором , то сонаправленными будут векторы и .

Если вектор противоположно направлен с вектором , и вектор противоположно направлен с вектором , то векторы и будут сонаправленными.

Если вектор сонаправлен с вектором , а вектор в свою очередь противоположно направлен с вектором , то противоположно направленными будут векторы и .

Итак, мы ввели понятие коллинеарных векторов. Узнали, какие векторы называются сонаправленными, а какие — противоположно направленными.

А теперь рассмотрим такой пример. На велосипеде-тандеме едут два туриста. Каждый из них движется в одном и том же направлении и с одной и той же скоростью.

Скорость каждого туриста является векторной величиной, и мы можем изобразить её в виде вектора.

Так как направления движения совпадают и скорости равны, то векторы будут иметь одинаковые направления и равные длины.

Этот пример даёт нам понять, как дать определение равным векторам.

Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Равенство векторов обозначают так .И оно выполняется при двух условиях: данные векторы сонаправлены и их длины равны .

Приступим к решению задач.

Задача. Начертить векторы , и так, чтобы и были коллинеарны,

а векторы и были не коллинеарны и длины векторов , и были соответственно равны , и .

Чтобы векторы и были коллинеарны, они должны лежать, например, на параллельных прямых. Причём длина вектора равна шести сантиметрам, а длина вектора — четырём сантиметрам.

Вектор изобразим так, чтобы он был не коллинеарным с вектором , а длина его была равна двум сантиметрам.

Перейдём к следующей задаче.

Задача. Выписать пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами:

а) квадрата ;

б) треугольника ;

в) трапеции , где и — основания трапеции.

Изобразим квадрат ABCD. Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Рассмотрим параллельные стороны BC и АD. Можем записать такие пары коллинеарных векторов:

Рассмотрим параллельные стороны AB и CD. Можно записать следующие пары коллинеарных векторов: .

Также коллинеарными будут векторы , так как они лежат на одной прямой.

Получили 12 пар коллинеарных векторов.

В следующем пункте изобразим треугольник KLM.

Никакие из его сторон не параллельны. Но коллинеарными будут векторы, лежащие на одной стороне: , , .

Получили 3 пары коллинеарных векторов.

В последнем пункте изобразим трапецию PSTV так, чтобы стороны ST и PV являлись её основаниями.

Параллельных сторон видим только две, поэтому запишем следующие пары коллинеарных векторов: .

Также коллинеарными будут векторы, лежащие на одной стороне: .

Получили 8 пар коллинеарных векторов.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке . Равны ли векторы: и , и , и , и ?

,

Следующая пара векторов

, .

Далее обратим внимание на пару векторов

, .

Последней рассмотрим пару векторов

, не коллинеарны .

Задача. Определить вид четырёхугольника , если и .

параллелограмм

ромб

Подведём итоги урока.

Сегодня мы познакомились с понятием коллинеарных векторов. Так называют ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

При этом среди коллинеарных векторов мы выделили два случая: сонаправленные векторы (они имеют одинаковое направление) и противоположно направленные векторы (они имеют противоположные направления).

Опираясь на эти знания, мы дали определение равным векторам.

Векторы называют равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Эти знания очень важны, они пригодятся вам при решении задач и при дальнейшем изучении векторов.

Источник