Что такое решето эратосфена 6 класс
Что такое решето эратосфена 6 класс
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА И РЕШЕТО ЭРАТОСФЕНА
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Введение
Впервые о простых числах мы узнали в 6 классе на уроке математики, когда изучали тему «Простые и составные числа». Так же на форзаце учебника «Математика-6» имеется таблица простых чисел до числа 997 (Приложение 1). Мы знаем то, что находится на форзаце, имеет важную значимость в изучении данного предмета. И действительно, это подтвердилось при дальнейшем изучении математики
Мы заинтересовались происхождением простых чисел, алгоритмами нахождения простых чисел, алгоритмом создания таблиц простых чисел, в частности, «решетом Эратосфена».
Работу начали с анкетирования учащихся 6 – 10 классов нашей школы, чтобы выяснить знают ли они:
1. Что такое решето?
2. Какие числа называются простыми?
3. Кто такой Эратосфен?
4. Что такое «решето Эратосфена»?
В опросе приняли участие 90 человек. Результаты оказались следующими (Приложение 2).
Проанализировав ответы учащихся, мы убедились, что наша тема актуальна. Поэтому мы и решили глубже исследовать тему «Простые числа» и рассказать другим ученикам о простых числах на модели «решето Эратосфена».
Гипотеза: Действительно ли мы можем найти простое число больше 997.
Цель работы: изучить алгоритм построения «решета Эратосфена» и изготовить его материальную модель для использования на уроках математики.
Задачи:
1.Изучить имеющуюся литературу по теме проекта.
2.Провести опрос по теме проекта.
3.Найти простые числа, больше числа 997.
4.Изготовить материальную модель решета Эратосфена.
Объект исследования: простые числа, «решето Эратосфена»
Предмет исследования: таблица простых чисел
Методы исследования:
1.Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
3. Опыты и эксперименты с простыми числами
Этапы проекта:
2. Основная часть
2.1. Краткое описание используемых понятий
Решето – это утварь для просеивания муки, состоящая из широкого обруча и натянутой на него с одной стороны сетки. Решето отличается от сита более крупным размером отверстий сетки. (Толковый словарь Ушакова)
2) Просеивающее устройство. (Толковый словарь Ожегова)
Решето – всякая несплошная вещь со сквозниной, с промежками, пролётами; ряд установленных жёрдочек, шестиков…переплетённых вдоль и поперёк, или иным образом.(Толковый словарь Даля)
Простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 19 = 1 * 19)
Составное число – это натуральное число, у которого есть делители,отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 10 = 5*2)
Всякое составное число можно разложить на простые множители.(Например: 63=3*3*7 или 363= 3*11*11)
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относит ни к простым, ни к составным числам.
Первым проблему определения простых чисел обозначил и решил древнегреческий ученый Эратосфен Киренский примерно в 220 году до нашей эры, предложив один из алгоритмов определения простых чисел. Этот способ назвали «решето Эратосфена».
В 1909 году американский математик Деррик Норман Лемер опубликовал таблицы простых чисел в промежутке от 1 до 10.017.000. Книга таблиц имеется в Российской государственной библиотеке в Москве.
Еще более титаническую вычислительную работу выполнил профессор Парижского университета славянский математик Якуб Филипп Кулик (01.05.1793- 28.02.1863).Над своей рукописью «Великий канон делителей всех чисел, не делящихся на 2, 3 и 5, и заключенных между ними простых чисел до 100 300 201» он работал последние 20 лет жизни, не имея никакой надежды на его издание. Это произведение до сих пор не напечатано. Оно хранится в библиотеки Венской АкадемииНаук.
2.2. Биография Эратосфена
Вопросом изучения простых чисел, закономерности их появления и поиском самого большого простого числа математики занимаются очень давно. Первые сведения о простых числах, встречаются в трудах древне – греческого математика Эратосфена Киренского (276г.до н.э-194г. до н.э).
Греческий математик Эратосфен, живший более чем за 200 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Это один из самых разносторонних ученых античности. Особенно прославили Эратосфена труды по астрономии, географии и математике, однако он успешно трудился и в области филологии, поэзии, музыки и философии, за что современники дали ему прозвище Пентатл, т.е. Многоборец. Другое его прозвище Бета, т.е. «второй», возможно, также не содержит ничего уничижительного: им желали показать, что во всех науках Эратосфен достигает не высшего, но превосходного результата. Он первый вычислил окружность Земли, пользуясь методами геометрии.
Эратосфен родился в Африке, в Кирене. Учился сначала в Александрии, а затем в Афинах. Вероятно, именно благодаря столь широкому образованию и разнообразию интересов Эратосфен получил от Птолемея III приглашение вернуться в Александрию, чтобы стать воспитателем наследника престола и возглавить Александрийскую библиотеку (одну из первых библиотек в мире). В знаменитой библиотеке хранилось более 700 000 свитков, которые содержали все сведения о мире, известные людям той эпохи. Эратосфен принял это предложение и занимал должность библиотекаря вплоть до своей кончины. При содействии своих помощников Эратосфен первым рассортировал свитки по темам. Он дожил до глубокой старости, а когда ослеп, то перестал есть и умер от голода. Он не представлял себе жизни без возможности работать со своими любимыми книгами.
Его научные таланты удостоились высокой оценки современника Эратосфена, Архимеда, который посвятил ему свою книгу Эфодик (т.е. Метод)
2.3. Из истории появления «решета Эратосфена»
Эратосфен предложил способ нахождения простых чисел, который можно описать в виде следующего алгоритма.
1.Из ряда чисел: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 и т. д вычёркиваем числа кратные 2.
2.Затем, вычёркиваем числа кратные 3.
3.Вычёркиваем числа кратные 4.
4.Вычёркиваем числа кратные 5.
6.Делим, пока все составные числа не будут «просеяны», и останутся только простые числа: 2,5,7,11,.13….
Пример
Запишем натуральные числа, начиная от 2 до 20 в ряд.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Первое число в списке 2 — простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Следующее не вычеркнутое число 3 — простое. Пройдём по ряду чисел, вычёркивая все числа кратные 3
2 3 5 6 7 9 11 12 13 15 17 19
Процесс окончен. Все незачеркнутые числа последовательности являются простыми.
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому алгоритм Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных. Таким способом в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.
2.4. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена
Для изготовления «решета Эратосфена» мы взяли фанеру формата 36*42. Начертили сетку, в каждой клетке записали натуральные числа от 1001 до 1120.
Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделали отверстия в тех клетках, в которых указаны составные числа.(Приложение 3)
Заключение
Мы изучили алгоритм построения «решета Эратосфена», изготовили его материальную модель, изучили литературу и провели опрос. Подтвердили гипотезу, что можно найти простое число, больше чем 997.
Следовательно – наша цель достигнута, проблема решена. Разработанные нами материалы могут использоваться на уроках математики.
Список использованной литературы
Интернет – ресурсы( Википедия)
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Учебник «Математика 6 класс»:Издательство «Вентана–Граф», Москва, 2014
Толковый словарь Ушакова
Толковый словарь Ожегова
Толковый словарь Даля
Приложение 1
таблица простых чисел
Приложение 2
Анкетирование
1. Что такое решето?
2. Какие числа называются простыми?
3. Кто такой Эратосфен?
4. Что такое «решето Эратосфена»?
В опросе приняли участие 90 человек. Результаты оказались следующими.
Вопрос
Знаете ли вы что такое решето?
Знаете ли вы какие числа называются простыми?
Знаете ли вы кто такой Эратосфен?
Знаете ли вы что такое «решето Эратосфена»?
Что такое решето эратосфена 6 класс
IT Resume запись закреплена
Объяснение алгоритма «Решето Эратосфена» за 5 минут
Решето Эратосфена – это алгоритм нахождения всех простых чисел меньше заданного числа.
Алгоритм основан на постепенном отсеивании составных чисел.
Этот метод описан во «Введении в арифметику» Никомаха Герасского (первая половина II в. н. э.). Никомах называет автором метода Эратосфена (конец III – начало II в.в. до н.э.).
Название «решето» метод получил потому, что во времена Эратосфена писали числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывали дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только простые.
Алгоритм Эратосфена заключается в последовательной проверке делимости чисел на предстоящие простые числа.
1. Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n).
2. Пусть переменная p=2— первому простому числу.
3. Зачеркнуть в списке числа, кратные p (это будут числа: 2p, 3p, 4p, …).
4. Найти первое не зачёркнутое число в списке, большее чем p, и присвоить переменной p это значение.
5. Повторять шаги 3 и 4, пока возможно.
Теперь все не зачёркнутые числа в списке — это простые числа от 2 до n.
Пример для n = 24.
a = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
1 Шаг. Находим все числа, кратные 2 и удаляем их:
a = 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
2 Шаг. Находим все числа, кратные 3 и удаляем их:
a = 2 3 5 7 11 13 17 19 23
3 Шаг. Находим все числа, кратные 5 и удаляем их:
Таких чисел нет, поэтому на этом шаге алгоритм останавливается.
Теперь а состоит только из простых чисел, которые меньше 24.
Сложность алгоритма – O(n log(logn))
Кстати, хотите подробный разбор расчета сложности этого алгоритма?
Доклад по Избранным вопросам математики на тему: «Решето Эратосфена».
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Эратосфе́н Кире́нский (276 год до н. э.—194 год до н. э.) — греческий математик, астроном, географ, филолог и поэт. Ученик Каллимаха, с 235 г. до н. э. — глава Александрийской библиотеки. Первый известный учёный, вычисливший размеры Земли.
Что такое решето Эратосфена? Решето Эратосфена – это алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n. В процессе выполнения данного алгоритма постепенно отсеиваются составные числа, кратные простым, начиная с 2.
Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только числа простые.
Итак, решето получило свое имя потому, что когда оно применяется к списку натуральных чисел, составные числа просеиваются, а простые задерживаются.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-773301
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Онлайн-конференция о профориентации и перспективах рынка труда
Время чтения: 3 минуты
Псковских школьников отправили на дистанционку до 10 декабря
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В Петербурге школьникам разрешили уйти на каникулы с 25 декабря
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Презентация ученицы 6 «Г» класса Анащенко Елизаветы по теме «Решето Эратосфена»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Решето Эратосфена Презентация Ученицы 6г класса Анащенко Лизы
Решето Эратосфена – один из древнейших алгоритмов, позволяющих найти числа, которые называют “простыми”. Т.е. числа, которые могут делиться без остатка только на единицу и на себя. Например число 2. На что из натуральных (целых) чисел можно разделить 2, чтоб не получать остаток? Только на 2 и на 1. Или число 7. То же самое. Без остатка оно делится опять таки только на себя и единицу. Достаточно простой алгоритм еще до нашей эры придумал Эратосфен Киренский. Грек по национальности. Математик, астроном, географ.
Процедура поиска простых чисел заключается в следующем: Что такое Решето Эратосфена? Этим именем называют следующий способ получения ряда простых чисел. Из ряда чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17…100. вычеркивают кратные двум; 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100. — кратные трем: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87. — кратные пяти: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 100. — кратные семи: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. Таким образом все составные числа будут просеяны, и останутся только простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Заключение Заключение. Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая вычислительная машина. И, значит, вот что изобрел великий грек: он изобрел СЧЕТНУЮ МАШИНУ! А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Нет такой формулы, а Решето есть. И создав Решето Эратосфена достаточно большого размера, мы отсеем (построим) ВСЕ простые числа без исключения. Все они окажутся в дырках совершенно правильного геометрически Решета! Так «правильно» ли их расположение или неправильно»? Никто не может сказать. Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но — как ни странно — ничего подобного: формулы нет! Сколько столетий уже искали — нет! В это настолько не верится, что и сегодня начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом. Может быть, повезёт мне?
Простые и составные числа. Решето Эратосфена
Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное Учреждение
Средняя Общеобразовательная Школа 180
Простые и составные числа.
Впервые о простых числах я узнал в 6 классе на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Я заинтересовался происхождением простых чисел, алгоритмами нахождения простых чисел, алгоритмом создания таблиц простых чисел, в частности, «решетом Эратосфена».
Гипотеза: Действительно ли мы можем найти простое число при помощи «решета Эратосфена».
Цель работы: изучить алгоритм построения «решета Эратосфена» и изготовить его материальную модель для использования на уроках математики.
1. Изучить теорию по теме проекта.
2. Найти простые числа, больше числа 1000 (до 1100)
3. Изготовить материальную модель решета Эратосфена.
Объект исследования: простые числа, «решето Эратосфена»
Предмет исследования: таблица простых чисел
1. Работа с литературой, ресурсами сети Интернет
2. Эксперименты с простыми числами
Простые и составные числа
Простое число – это натуральное число, которое не имеет других делителей кроме 1 и самого себя. (Пример: число 11 = 1 * 11)
Количество простых чисел уходит в бесконечность, но поиск закономерности появления простых чисел является самой большой загадкой математики. Приз в миллион долларов обещан тому, кто сможет раскрыть тайну этих чисел.
Пестрота картины распределения простых чисел увеличивается еще более, если отметить, что существуют пары простых чисел, которые отделены в натуральном ряду только одним числом («близнецы»). Например. 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 10016957 и 10016959. С другой стороны, существуют пары простых чисел, между которыми много составных. Например, все 153 числа от 4652354 до 4652506 являются составными.
За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.
Составное число – это натуральное число, у которого есть делители, отличные от 1 и самого себя. (Пример: число 6 = 3*2)
Всякое составное число можно разложить на простые множители. (Например: 55 = 5*11)
Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным числам.
Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.
Свои знания Эратосфен изложил в многочисленных научных сочинениях и исследовательских работах.
Наиболее известным сочинением Эратосфена по математике является «Письма к Птолемею». Эти письма сохранились в комментарии Эвтокия Аскалонского к сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре». В истории математики эти письма ценны тем, что в них содержатся сведения о происхождении задачи удвоения куба. Эту сложную проблему Эратосфен разрешил с помощью изобретенного им прибора под названием «мезолябия».
Из истории появления «решета Эратосфена»
В другом научном тракте «Введение в арифметику» Никомаха Геразенского сохранился отрывок сочинения Эратосфена о пропорциях. В этой работе Эратосфен излагает способ определения простых и первых чисел с помощью «решета».
Название «решето» метод получил потому, что, согласно легенде, Эратосфен писал числа на дощечке, покрытой воском, и прокалывал дырочки в тех местах, где были написаны составные числа. Поэтому дощечка являлась неким подобием решета, через которое «просеивались» все составные числа, а оставались только числа простые. Эратосфен дал таблицу простых чисел до 1000.
1. Из ряда чисел: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 и т. д вычёркиваем числа кратные 2.
2. Затем, вычёркиваем числа кратные 3.
3. Вычёркиваем числа кратные 4.
4. Вычёркиваем числа кратные 5.
6. Делим, пока все составные числа не будут «просеяны», и останутся только простые числа: 2,3, 5,7,11,13 и т.д.
В Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до 100 000 000.
Изготовление «решета Эратосфена»
Для изготовления «решета Эратосфена» я взял фанеру формата 30*28. Начертил сетку, в каждой клетке записал натуральные числа от 1001 до 1100 (Рис.1) Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделал отверстия в тех клетках (Рис.2), в которых указаны составные числа (Приложение 1)
Мы изучили алгоритм построения «решета Эратосфена», изучили литературу, изготовили его материальную модель.
Математика нужна каждому и везде. Без математики ничего не обходится. Математика – наука прошлого, настоящего, будущего. Не каждый может стать математиком, но математика в жизни нужна каждому!
Список источников информации
Математика 6 класс, А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.
Рис.1. Начертил сетку, в каждой клетке записал натуральные числа от 1001 до 1100
Рис. 2. Используя алгоритм построения «решета Эратосфена», проделал отверстия в тех клетках, в которых указаны составные числа