Что такое сеточная функция

27.10.202327.04.2022 admin 0 Comments

Сетки и сеточные функции

Метод конечных разностей.

Метод конечных разностей или меток сеток на сегодняшний день является одним из самых распространенных методов приближенного решения краевых задач. Суть метода в следующем:

1. Область непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного аргумента, выделяются точки, называемые узлами. Наносится сетка.

2. Область непрерывного изменения функции заменяется областью дискретного изменения функции, когда функция определена только в узлах сетки и называется сеточной функцией.

3. Все производные, входящие в определяющие уравнение и краевые условия заменяются (аппроксимируются) алгебраическими соотношениями сеточных функций.

4. Вместо интегрирования дифференциального уравнения записывают разностную схему и решают систему линейных алгебраических уравнений.

При использовании МКР нужно:

2. Выбрать разностную схему;

3. Определить точность аппроксимации;

4. Проанализировать устойчивость и сходимость разностной схемы к точному решению;

5. Провести тестовый расчет.

Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависит от точного выбора сетки.

Рассмотрим несколько видов сеток.

1. Равномерная сетка

Что такое сеточная функция. Смотреть фото Что такое сеточная функция. Смотреть картинку Что такое сеточная функция. Картинка про Что такое сеточная функция. Фото Что такое сеточная функция

— область изменения аргумента.

Разобьем этот отрезок точками , *10 на N равных частей длиной (h – шаг сетки). Таким образом мы задали равномерную сетку в области изменения аргумента. Обозначается:

2. Неравномерная сетка получается в том случае, когда ,

пример:

3. Сетка на плоскости.

Если шаги сетки по каждому из переменных (x, y) одинаковы, то сетка называется равномерной. Если же хотя бы по одной переменной шаг непостоянен, то сетка – неравномерная. Введение сетки:

Метод конечных разностей сводится к замене производных, входящих в уравнения и краевые условия, разностными отношениями.

Классическое определение производной функции одной переменной записывается в виде:

Разложим функцию U в ряд Тейлора в окрестностях точки x₀

Положим, что

, получим:

*11 Это равенство называется правой разностью.

Другая форма записи правой разности:

Если , то получим левую разность:

Существует также третья форма записи разностного отношения, называемая центральной разностью:

Если задана функция u(x), то графически интерпретация производных трёх типов содержат:

AB – левая разность;

CB – правая разность;

АС – центральная разность.

Узлы, которые задействованы в аппроксимации производной, называются шаблонами аппроксимации.

Получим разностное соотношение для второй производной:

Сначала представим U_xx через U_x, используя правую разность:

(5.1)

Далее производные и рассмотрим через левую разность для того, чтобы конечный результат не был смещен вправо, т.е. чтобы не было погрешности.

(5.2)

Подставив (5.2) в (5.1), получим:

С использованием сетки вторая производная имеет вид:

Источник

Сетки и сеточные функции

Метод конечных разностей (МКР)

Основные понятия

МКР, или метод сеток, в настоящее время является одним из наиболее распространенных методов приближенного решения краевых задач.

Суть метода в следующем:

1. Область непрерывного изменения аргумента (отрезок, прямоугольник и т.д.) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой.

2. Вместо функции непрерывного изменения аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные в узлах сетки и называемые сеточными функциями.

3. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями, т.е. линейными комбинациями значений сеточных функций в некоторых узлах сетки.

4. В результате краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных, если исходная задача была линейной, алгебраических уравнений – разностной схемой.

Если, полученная таким образом задача разрешима и ее решение при измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи для дифференциального уравнения, то оно и принимается за приближенное решение исходной задачи.

Несмотря на внешнюю простоту метода, прежде, чем приступить к решению конкретной задачи, необходимо уметь дать ответы на следующие вопросы:

1) как выбрать сетку?

2) Как написать разностную схему?

3) Насколько хорошо разностная схема аппроксимирует исходную задачу?

4) Устойчива ли разностная схема и в каком смысле?

5) Какова скорость сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи?

Сетки и сеточные функции

Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависит от выбора сетки. Расположение узлов сетки в области может быть произвольным и определяться спецификой решаемой задачи. Рассмотрим несколько примеров

1) равномерная сетка на отрезке

2) неравномерная сетка на отрезке

Очевидно, что .

3) равномерная сетка на плоскости

Рассмотрим множество функций двух аргументов. В качестве области определения выберем прямоугольник

например,

Построим на каждом отрезке сетку с шагом . Множество узлов с координатами ( ) назовем сеткой в прямоугольнике

Эта сетка равномерна по каждому из переменных и . Если хотя бы одна из сеток неравномерна, то сетка называется неравномерной. Если , то сетка называется квадратной, — прямоугольной.

4) сетка на плоскости в произвольной области

Пусть на плоскости дана область G сложной формы с границей Г. Проведем прямые

Тогда на плоскости получим сетку с узлами , . Эта сетка равномерна по каждому направлению. Нас интересуют только те узлы, которые принадлежат области G с границей Г .

Узлы, попавшие внутрь G, назовем внутренними узлами и обозначим их совокупность . Точки пересечения прямых с границей Г назовем граничными узлами, а их множество обозначим . Видно, что имеются граничные узлы, которые отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстояния меньшем . Таким образом, сетка для области G неравномерна вблизи границы.

Построение разностной схемы проводится таким образом, чтобы получаемая в результате решения сеточная функция была как можно ближе к искомой непрерывной функции.

Вместо функций непрерывного аргумента будем рассматривать сеточные функции , т.е. функции точки , являющейся узлом сетки в виде вектора .

Для оценки близости приближенного решения (решения на сетке) к точному решению исходной краевой задачи можно использовать два способа

1. Производится интерполяция сеточной функции на все точки области G, после чего определяется норма разности .

2. Точное решение преобразуется в сеточную функцию ( — одно из возможных обозначений сеточных функций), после чего, определив сеточную норму , оценивается погрешность приближенного решения в этой норме. На практике в качестве сеточных норм используются:

а) сеточный аналог чебышевской нормы в пространстве непрерывных функций С

б) сеточный аналог гильбертовой нормы в , где h=h в одномерном случае и в двумерном.

Тогда если при бесконечном дроблении сетки величина , то можно говорить о близости решения разностной и краевой задачи.

Источник

Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

Функция y=y(x_i) дискретного аргумента x_i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т. е. y=y(x_i)=y(i). Далее мы будем писать y(x_i)=y_i.

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h(x) зависят от параметра h.

Функции u(x) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций y_h(x) образует пространство H_h. Таким образом, в методе сеток пространство H заменяется на H_h сеточных функций y_h(x).

Так как рассматривается множество сеток h>, то мы получаем множество h> пространств сеточных функций, определенных на h>.

; y_h— решение разностной задачи, . Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(x) и y_h(x), но u(x) и y_h(x) являются элементами из различных пространств. Пространство H отображается на пространство H_h. Каждой функции ставится в соответствие сеточная функция y_h(x), x w_h, так что y_h=P_hu H_h, где P_h— линейный оператор из H в H_h. Это соответствие можно осуществить различными способами, т. е. зависит от выбора оператора P_h. Теперь, имея сеточную функцию u_h, образуем разность y_h-u_h, которая является вектором пространства H_h.

Соответствие функций u(x) и u_h можно установить различными способами, например,

u_h=u(x), x w_h. В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму ||.||_Hh, которая является аналогом нормы ||.||_Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие: _Hh= _H, (2)