Что такое симметрический многочлен

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Воспользуемся методом группировки

(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х 2 +5ху-7у 2 — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х 2 +5ху-7у 2 =0 — однородное уравнение второй степени.

4) p(x; y)= a_nx n +a_n-1x n-1 y+a_n-2x n-2 y 2 ₊…+a₁xy n-1 +a₀y n — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

Пример 3. Разложить на множители многочлен

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Далее последовательно находим:

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2 )-(x 4 +y 4 )+3(xy) 2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 )(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 )(a+b)=a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

— называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Доказать, что значение выражения 5 n +28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5 n = (4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Из данных многочленов выделите симметрические:

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

(а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5

Источник

Симметрические многочлены

Многочлен , зависящий от переменных , называется симметрическим, если он не меняется от любой перестановки его переменных.

Примером симметрических многочленов являются элементарные симметрические многочлены:

Пример 1 .

Пример 2 .

Симметрические многочлены вида

называются степенными суммами.

Степенные суммы связаны с элементарными симметрическими многочленами формулами Ньютона:

Эти формулы позволяют последовательно выражать элементарные симметрические многочлены через степенные суммы и наоборот.

Пример 3 При первая формула такова: .

Выразим отсюда через . Из первой формулы . Из второй формулы . Наконец, из третьей формулы

.

Таким образом, мы можем последовательно выразить и остальные . Точно так же выражаются и элементарные симметрические многочлены через степенные суммы:

Все мы знаем теорему Виета о корнях квадратного трехчлена: если квадратный трехчлен имеет корни и , то , а .

Теорема Виета имеет место и для многочлена — ой степени. А именно, коэффициенты многочлена — ой степени с точностью до знака совпадают с элементарными симметрическими многочленами относительно корней этого многочлена:

Отметим, что сумма, произведение симметрических многочленов есть опять симметрический многочлен, то есть множество симметрических многочленов замкнуто относительно операций сложения и умножения. Справедлива основная теорема о симметрических многочленах.

Заметка Каждый симметрический многочлен однозначно представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

В заключении рассмотрим следующие примеры:

Пример 4 Разложить многочлен на множители.

Данный нам многочлен – симметрический относительно своих переменных. Будем считать, что это многочлен третьей степени относительно , а — параметры. Заметим, что при многочлен тождественно равен нулю:

.

Согласно следствию теоремы Безу, исходный многочлен должен без остатка поделиться на . Разделим исходный многочлен уголком на . Запишем его в порядке убывания степеней :

Если раскрыть скобки в частном и привести подобные члены:

и искомое разложение будет таким:

.

Пример 5 Разложить многочлен на множители, используя формулы Ньютона.

Воспользуемся обозначениями элементарных симметрических многочленов и степенных сумм.

Тогда наш многочлен будет выглядеть так: .

В примере 3 мы получили формулу: . Подставляя ее в полученное выражение найдем:

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Источник

Симметрические многочлены

Определение: Многочлен называется симметрическимесли он не меняется при любой перестановке переменных.

Пример: -симметрический многочлен

не симметрический.

Строение симметрических многочленов можно представить в виде: Пусть некоторая перестановка чисел 1,2,…,n. Если симметрический многочлен содержит член , то он и должен содержать член .

Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. Особую роль среди симметрических многочленов играют так называемые элементарные симметрические многочлены:

Определение: Многочлен называется однородным степени m,если все его члены имеют степень m.

Пример:

Очевидно, что сумма двух однородных многочленов одинаковой степени, есть однородный многочлен той же степени.

Произведение однородных многочленов степени и есть однородный многочлен степени .

17. Многочлены над числовым полем.

Алгебраически замкнутое поле-это поле K в котором каждый многочлен не нулевой степени над полем K имеет хотя бы один корень.

Пример: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым.

Пример: поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, то есть:

Свойства:

1) В алгебраически замкнутом поле K каждый многочлен степени n имеет ровно n корней в этом поле ( с учетом кратности)

2) Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Например: можно рассматривать многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля, если к нему прибавить единицу, то многочлен не будет иметь корней.

3) Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел, его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

4) Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.

5) Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Определение: Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Пример:

Теорема Виета: Если многочлен P(x) степени n имеет n различных корней то имеет место следующие соотношения:

В случае, когда уравнение четвертой степени имеем: , где

Корни будут:

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса):Всякий многочлен n-ой степени имеет по крайней мере один комплексный корень.

Следствие: Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом разлагается в произведение n сомножителей вида , то есть:

Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то он имеет и сопряженный корень .

Теорема: Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой степени и второй степени (не имеющей действительных корней) с действительными коэффициентами.

Теорема: для того, чтобы несокращаемая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена , а число q знаменателем старшего члена .

Источник