Что такое симметричный многочлен

Симметрические многочлены

Определение: Многочлен называется симметрическимесли он не меняется при любой перестановке переменных.

Пример: -симметрический многочлен

не симметрический.

Строение симметрических многочленов можно представить в виде: Пусть некоторая перестановка чисел 1,2,…,n. Если симметрический многочлен содержит член , то он и должен содержать член .

Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. Особую роль среди симметрических многочленов играют так называемые элементарные симметрические многочлены:

Определение: Многочлен называется однородным степени m,если все его члены имеют степень m.

Пример:

Очевидно, что сумма двух однородных многочленов одинаковой степени, есть однородный многочлен той же степени.

Произведение однородных многочленов степени и есть однородный многочлен степени .

17. Многочлены над числовым полем.

Алгебраически замкнутое поле-это поле K в котором каждый многочлен не нулевой степени над полем K имеет хотя бы один корень.

Пример: поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым.

Пример: поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым, то есть:

Свойства:

1) В алгебраически замкнутом поле K каждый многочлен степени n имеет ровно n корней в этом поле ( с учетом кратности)

2) Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Например: можно рассматривать многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля, если к нему прибавить единицу, то многочлен не будет иметь корней.

3) Алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел, его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

4) Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.

5) Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Определение: Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-либо алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Пример:

Теорема Виета: Если многочлен P(x) степени n имеет n различных корней то имеет место следующие соотношения:

В случае, когда уравнение четвертой степени имеем: , где

Корни будут:

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса):Всякий многочлен n-ой степени имеет по крайней мере один комплексный корень.

Следствие: Многочлен степени n с комплексными коэффициентами и со старшим коэффициентом разлагается в произведение n сомножителей вида , то есть:

Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень то он имеет и сопряженный корень .

Теорема: Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение многочленов первой степени и второй степени (не имеющей действительных корней) с действительными коэффициентами.

Теорема: для того, чтобы несокращаемая дробь была корнем многочлена с целыми коэффициентами необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена , а число q знаменателем старшего члена .

Источник

«Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры»

ДАГЕСТАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

КАФЕДРА ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ИКТ

Тема проекта: «Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры»

Махмудов Эдуард Лукманович

МКОУ «Курукальская СОШ»

2.Эмпирическая часть 5

а). Стандартные методы решения

б). Симметрические многочлены

от двух переменных

в). Симметрические многочлены

от трех переменных

д). Неравенства и тождества е). Системы уравнений

3.Обзор литературы 20

Достаточно много лет работаю учителем математики в школе и хорошо знаком с проблемами учащихся, при изучении алгебры в школе. При подготовке к экзаменам выпускники, часто сталкиваются с проблемой невозможности применить тот или иной метод, изученный ранее. В силу многих причин: громоздкости вычислений, отсутствие формулы для подобного решения. Изучив задания из сборника экзаменационных заданий, пробных экзаменационных заданий, прихожу к выводу, что для успешного их решения нужны не только базовые знания формул и стандартных алгоритмов решения. Особую сложность представляют уравнения высших степеней, системы уравнений с двумя и более неизвестными, системы уравнений высших степеней, иррациональные уравнения и многие другие. Не для всех существуют общие алгоритмы или приемы решения. Чаще встречаются методы решения частных случаев. В связи с этим встала проблема: при помощи дополнительной литературы выявить имеющиеся методы решения, не рассматривающийся или рассматривающийся достаточно бегло в школьном курсе математики, затем помочь широкой массе школьников и будущих выпускников освоить найденные методы, т.е. предложить хорошую возможность достойно подготовиться к экзаменам.

Цель: анализ изучение симметрических многочленов для решения задач элементарной математики в школе.

Объект исследования: процесс применение симметрических многочленов в школьном курсе алгебры.

Предмет исследования: Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры.

Гипотеза исследования: применение симметрических многочленов в школьном курсе алгебры позволили бы учащимся решать уравнения содержащие многочлены высших степеней.

Задачи: 1.Знакомство с методом симметрических многочленов, как одним из нестандартных путей решения уравнений и систем уравнений;

2.Классификация заданий и составление задачника с каждым типом заданий и приемом решения.

Моя цель – познакомить с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применен не ко всякой системе. Однако этот метод применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник. Существенно, что, в отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений. Метод, о котором идет речь, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. Сама теория очень проста и она позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и так далее). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приемом.

Симметричные многочлены в решении элементарной алгебры.

Прежде чем переходить к исследованию и решению метода симметрических многочленов, вспомним некоторые стандартные методы решения уравнений, неравенств и других заданий, изучаемые в школьном курсе математики. Это: разложение многочлена на множители (метод введения новой неизвестной, вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, способа группировки, выделение полного квадрата);метод понижения степеней; метод интервалов; раскрытие знака модуля; метод подстановки.

1. Стандартные методы решения

Теорема Безу (без док-ва): Остаток от деления многочлена

Следствие из теоремы Безу:

2. Симметрические многочлены

от двух переменных

Степенные суммы с двумя неизвестными без труда выражаются через σ₁ и σ₂:

Вообще, любую степенную сумму S _k для двух неизвестных можно выразить через σ₁ и σ₂ по формуле:

С ее помощью можно последовательно вычислять значения степенных сумм.

3. Симметрические многочлены от трех переменных

Следовательно, степенные суммы соответственно равны:

Для симметрических многочленов от трех неизвестных характерно также понятие орбит соответствующих одночленов (или просто орбиты). Симметрические многочлены, полученные из некоторого одночлена при всевозможных перестановках переменных и суммированием получившихся результатов, называются орбитами. По другому это многочлен с наименьшим числом членов, одним из слагаемых которого является одночлен x k y l z m , назовем орбитой этого одночлена и обозначим через О( x k y l z m ). Если все переменные k , l , m различны, то орбита О( x k y l z m ) будет содержать шесть членов, получающихся путем перестановки его переменных.

Если в одночлене совпадают два показателя, то орбита содержит три члена:

Если все показатели совпадают ( k = l = m ), то орбита состоит из одного одночлена:

Итак, любой симметрический многочлен f ( x , y , z ) есть сумма конечного числа орбит одночленов. Орбиты применяются при доказательстве тождеств, разложении на множители, и т.д.

Метод симметрических многочленов применяется для решения:

1. заданий, связанных с квадратными уравнениями;

2. уравнений высших степеней (возвратные уравнения);

3. иррациональных уравнений;

4. рациональных уравнений (т.е. всех остальных уравнений)

5. систем уравнений;

6. различных видов неравенств и их систем;

7. а также для доказательства тождеств.

Задачи, решаемые с помощью симметрических многочленов

Выражения, заменяемые в возвратных многочленах через σ для четных многочленов (уравнений):

Степень возвратного многочлена, а значит и уравнения, определяется как самая высокая степень при одном одночлене всего многочлена. Для многочлена (уравнения) нечетной степени сначала проводится деление на z +1 (согласно теореме о возвратных многочленах нечетной степени), а затем уже заменяется выражениями от z .

Уравнения высших степеней (возвратные)

Решение: Это уравнение имеет в левой части возвратный многочлен, т.е. является возвратным и имеет четную степень 4. Преобразуем его левую часть:

Так как z =0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к квадратному уравнению относительно σ:

Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения мы получаем две системы:

Решая их, получаем четыре корня исходного уравнения:

Задача 2: Решить уравнение

Решение: Это возвратное уравнение нечетной степени 11.

Согласно теореме разделим его левую часть на z +1:

Таким образом, мы получили два уравнения(т.е. систему уравнений):

z +1 = 0,

Так как z =0 не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению:

Вынесем σ за скобки:

t ₁ = 50/8 = 25/4,

Итак, мы получили пять корней:

Следовательно, мы имеем пять уравнений:

Задания, связанные с квадратными уравнениями.

Задание: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней заданного уравнения x 2 +6 x +10 =0.

сумма корней первого уравнения:

а произведение этих корней:

Аналогично, сумма корней второго уравнения:

а произведение этих корней:

По условию мы имеем:

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

Задача: Решить иррациональное уравнение 4 √97 – x + 4 √ x = 5.

Кроме того, мы имеем:

Таким образом, мы получили систему уравнений

y + z =5,

σ ₁ = 5,

из которой мы получаем для σ ₂ квадратное уравнение:

По теореме Виета получаем

t ₁ = 6,

σ ₁ = 5, σ ₁ = 5,

y + z = 5, y + z = 5,

Первая система имеет два решения:

y ₁ = 2, y ₂ = 3,

Вторая система дает для y и z (значит, и для x ) еще два решения, правда комплексные, а для иррациональных уравнений берутся лишь действительные значения.

5. Неравенства и тождества

Метод симметрических многочленов также с успехом применяется для доказательства многих неравенств (от двух, трех и более переменных). Главным образом используются степенные суммы и следующая теорема.

x + y = σ ₁,

Для неравенств от двух переменных метод симметрических многочленов применяется так:

получают многочлен от σ ₁ и z , и в зависимости от условия доказывают то, что нужно доказать (решить). Как правило, сделать это в отношении исходного неравенства значительно сложнее, для чего и применяется метод симметрических многочленов; иногда заменяют σ ₁ 2 его выражением через σ ₁ и z , т.е. σ ₁ 2 = z + 4 σ ₂.

Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Для того чтобы доказать тождество, необходимо преобразовывать одну из частей тождества до полного совпадения этих частей. Если обе части доказываемого тождества выражаются через разности a – b , b – c , c – a , то удобно сделать замену: x = a – b , y = b – c , z = c – a ; тогда x + y + z = ( a – b ) + ( b – c ) + ( c – a ) = 0.

Применяя к полученному неравенству то же рассуждение, находим:

Аналогично находим, что

Применяя метод математической индукции, можно таким путем доказать, что если a + b ≥ c и n — произвольное натуральное число, то

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Воспользуемся методом группировки

(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х 2 +5ху-7у 2 — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х 2 +5ху-7у 2 =0 — однородное уравнение второй степени.

4) p(x; y)= a_nx n +a_n-1x n-1 y+a_n-2x n-2 y 2 ₊…+a₁xy n-1 +a₀y n — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

Пример 3. Разложить на множители многочлен

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Далее последовательно находим:

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2 )-(x 4 +y 4 )+3(xy) 2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 )(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 )(a+b)=a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

— называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Доказать, что значение выражения 5 n +28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5 n = (4+1) n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Из данных многочленов выделите симметрические:

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

(а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5

Источник