Что такое симметрия в природе
Симметрия. Виды симметрии. Симметрия в природе
К понятию о симметрии мы привыкаем с детства. Мы знаем, что симметрична бабочка: у неё одинаковы правое и левое крылышки; симметрично колесо, секторы которого одинаковы; симметричны узоры орнаментов, звёздочки снежинок.
Проблеме симметрии посвящена поистине необозримая литература. От учебников и научных монографий до произведений, обращающих внимание не столько на чертежи и формулы, сколько на художественные образы.
Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С ней мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство. Она многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир, именно поэтому выбранная мной тема всегда будет актуальной.
Симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то, несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям – к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т. д. В связи с этим выделяют разные виды симметрии. Рассмотрим все виды более подробно.
Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией (зеркальным отражением относительно прямой).
Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А1.
В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется её осью симметрии.
Фигура называется центрально-симметричной, если существует точка, относительно которой каждая точка фигуры симметрична некоторой точке той же фигуры. А именно: движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией.
Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т. д.
Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии. Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.
Интересна поворотная симметрия кругового цилиндра. Он имеет бесконечное число поворотных осей 2-го порядка и одну поворотную ось бесконечно высокого порядка.
2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.
Чтобы задать преобразование параллельного переноса достаточно задать вектор а.
3. СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ
Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия параллельный перенос. Скользящая симметрия — изометрия евклидовой плоскости. Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор может быть и нулевым).
Скользящую симметрию можно представить в виде композиции 3 осевых симметрий (теорема Шаля).
Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры. Такую симметрию называют зеркальной. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает некоторый предмет и его отражение в плоском зеркале. Два симметричных тела не могут быть «вложены друг в друга», так как в сравнении с самим объектом его зазеркальный двойник оказывается, вывернутым вдоль направления, перпендикулярного плоскости зеркала.
Симметричные фигуры при всем их сходстве существенно отличаются друг от друга. Наблюдаемый в зеркале двойник не является точной копией самого объекта. Зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к зеркалу части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой. Поднесите к зеркалу книгу, – и вы увидите, что буквы как бы вывернуты наизнанку. В зеркале всё переставлено справа налево.
Зеркально равными телами называются тела, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела.
2. 2 Симметрия в природе
Фигура обладает симметрией, если существует движение (преобразование не тождественное), переводящее ее в себя. Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переводится в себя некоторым поворотом. Но в природе с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.
В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мироздание.
Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование.
Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.
Говоря о роли симметрии в процессе научного познания, следует особо выделить применение метода аналогий. По словам французского математика Д. Пойа, «не существует, возможно, открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни, пожалуй, в любой другой области, которые могли быть сделаны без аналогий».В основе большинства этих аналогий лежат общие корни, общие закономерности, которые проявляются одинаковым образом на разных уровнях иерархии.
Итак, в современном понимании симметрия — это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем. Важнейшим свойством симметрии является сохранение (инвариантность) тех или иных признаков (геометрических, физических, биологических и т. д. ) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Математическим аппаратом изучения симметрии сегодня является теория групп и теория инвариантов.
Симметрия в мире растений
Специфика строения растений определяется особенностями среды обитания, к которой они приспосабливаются. У любого дерева есть основание и вершина, «верх» и «низ», выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси «древесного конуса» и плоскостей симметрии. Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и питательные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, т. е, наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступает воздух, свет, влага.
Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и вертикальные плоскости симметрии.
Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа служит осью симметрии. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды. Для листьев характерна зеркальная симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них зеркальная симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией. Нередки случаи и переносной симметрии (веточки акации, рябины).
В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих полевых цветов (колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой, лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша, мандарин и др. ), у цветов плодово-ягодных растений (земляника, малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.
В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет: «На Земле жизнь зародилась в сферически симметричных формах, а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с билатеральной симметрией».
В природе существуют тела, обладающие винтовой симметрией, то есть совмещением со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополнительным сдвигом вдоль той же оси.
Листья на стебле расположены не по прямой, а окружают ветку по спирали. Сумма всех предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага А+В=С, В+С=Д и т. д.
Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное, ботаническое явление носит название филлотаксиса (буквально «устроение листа»).
Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.
Симметрия в мире животных
Значение формы симметрии для животного легко понять, если поставить её в связь с образом жизни, экологическими условиями. Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.
Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном мире. Это симметрия, при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг поворотной оси 5 раз. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа. Вся кожа морских звёзд как бы инкрустирована мелкими пластинками из углекислого кальция, от некоторых пластинок отходят иглы, часть которых подвижна. Обычная морская звезда обладает 5 плоскостями симметрии и 1 осью вращения 5-ого порядка (это самая высокая симметрия среди животных). Ее предки, по-видимому, имели более низкую симметрию. Об этом свидетельствует, в частности, строение личинок звезды: они, как и большинство живых существ, в том числе человек, обладают лишь одной плоскостью симметрии. Морские звезды не имеют горизонтальной плоскости симметрии: у них есть «верх» и «низ». Морские ежи похожи на живые подушечки для булавок; шаровидное тело их несёт длинные и подвижные иголки. У этих животных известковые пластинки кожи слились и образовали сферическую раковину панцирь. В центре нижней поверхности имеется рот. Амбулакральные ножки (воднососудистая система) собраны в 5 полос на поверхности раковины.
Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко.
Для насекомых, рыб, яиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями «вперед» и «назад».
Направление движения является принципиально выделенным направлением, относительно которого нет симметрии у любого насекомого, любой птицы или рыбы, любого животного. В этом направлении животное устремляется за пищей, в этом же направлении оно спасается от преследователей.
Упрощение условий жизни может привести к нарушению двусторонней симметрии, и животные из двусторонне-симметричных становятся радиально-симметричными. Это относится к иглокожим (морские звёзды, морские ежи, морские лилии). Все морские животные имеют радиальную симметрию, при которой части тела отходят по радиусам от центральной оси, подобно спицам колеса. Степень активности животных коррелирует с их типом симметрии. Радиально симметричные иглокожие обычно мало подвижны, перемещаются медленно или же прикреплены к морскому дну. Тело морской звезды состоит из центрального диска и 5-20 или большего числа радиально отходящих от него лучей. На математическом языке эту симметрию называют поворотной симметрией.
Отметим, наконец, зеркальную симметрию человеческого тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом. Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И все же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы.
Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Именно вопросам симметрии и зеркального отражения здесь и уделяется внимание.
Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.
В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.
Наша собственная зеркальная симметрия очень удобна для нас, она позволяет нам двигаться прямолинейно и с одинаковой лёгкостью поворачиваться вправо и влево. Столь же удобна зеркальная симметрия для птиц, рыб и других активно движущихся существ.
Двусторонняя симметрия означает, что одна сторона тела животного представляет собой зеркальное отражение другой стороны. Такой тип организации характерен для большинства беспозвоночных, в особенности для кольчатых червей и для членистоногих – ракообразных, паукообразных, насекомых, бабочек; для позвоночных – рыб, птиц, млекопитающих. Впервые двусторонняя симметрия появляется у плоских червей, у которых передний и задний концы тела различаются между собой.
Симметрия в неживой природе
Есть и исключения; стекло и пластмассы не состоят из кристалликов. Такие твёрдые тела называются аморфными.
Одиночные кристаллы сразу же узнают по правильности форм. Плоские грани и прямые рёбра являются характерным свойством кристалла; правильность формы несомненно связана с правильностью внутреннего строения кристалла. Если кристалл в каком-то направлении особо вытянулся, значит, и строение кристалла в этом направлении какое-то особенное.
Есть центр симметрии и в кубике каменной соли, и в восьмиграннике алмаза, и в звёздочке снежинки. А вот в кристаллике кварца центра симметрии нет.
Наиболее точная симметрия осуществляется в мире кристаллов, но и здесь она неидеальная: невидимые глазом трещинки, царапины всегда делают равные грани слегка отличными друг от друга.
Все кристаллы симметричны. Это значит, что в каждом кристаллическом многограннике можно найти плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии или другие элементы симметрии так, чтобы совместились, друг с другом одинаковые части многогранника.
Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты Она, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.
Мы видим, что природа проектирует любой живой организм согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.
Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира. Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.
Итак, на плоскости мы имеем четыре вида движений, переводящих фигуру F в равную фигуру F1:
1) параллельный перенос;
2) осевая симметрия (отражение от прямой);
3) поворот вокруг точки (Частичный случай – центральная симметрия);
4) «скользящее» отражение.
В пространстве к вышеперечисленным видам симметрии добавляется зеркальная.
Считаю, что цель, поставленная в реферате, достигнута. При написании реферата наибольшей сложностью для меня стали собственные выводы. Думаю, что моя работа поможет школьникам расширить представление о симметрии. Надеюсь, что мой реферат войдет в методический фонд кабинета математики.
Что такое симметрия в природе
Цель нашего исследования:
• гармония и красота?
• Найти симметричные фигуры и предметы в окружающем мире.
• Доказать, что нас действительно окружают симметричные предметы.
• Определить значение использования симметрии.
Для решения поставленных задач мы должны провести собственное исследование:
• Изучить внешний вид растений, насекомых, птиц, животных, предметов быта, зданий.
• Сравнить количество симметричных и несимметричных фигур в каждой классификационной группе.
• Показать возможные пути использования симметрии в жизни человека.
Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная на зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой.
Симметрия часто встречается в природе, архитектуре, предметах быта. Также симметричны практически все транспортные средства, некоторые музыкальные инструменты. Эти объекты окружают нас буквально со всех сторон. Мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Она противостоит хаосу и беспорядку.
Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
На данном этапе работа проходит по двум направлениям:
— изучение и анализ теоретического материала по данной проблеме;
— наблюдение за окружающими предметами с целью сравнения симметричных и несимметричных предметов в каждой группе;
Работа в рамках первого направления дала возможность выделить некоторые научные данные о симметрии. Были найдены примеры симметрии в окружающем мире. В дальнейшем описании выделим четыре темы, которые удалось найти при изучении теоретического материала и сопоставления их с конкретными примерами симметрии вокруг нас.
Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. В обычной «нематематической» жизни нам уже не раз приходилось говорить о ней. Только при этом, мы чаще использовали слова «симметричный», «симметрично расположенный». Греческое слово «симметрия» означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Его широко используют все направления современной науки.
Симметрия – это красиво. Мы видим её везде. Сидя за рулём автомобиля, любуясь архитектурой, фильмами или когда ищем для себя красивого человека. Она может быть привычной, пугающей и даже смертельной, а однажды она чуть не погубила всю материю во вселенной.
Действительно, симметричность приятна глазу. Нет такого человека который бы не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем, что окружает нас с детства, всем тем, что стремится к красоте и гармонии. Это понятие проходит через всю историю человеческого творчества. Симметрия придает гармоничность и законченность древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям.
В настоящее время учёные расширяют свои учения о симметрии. Добавляются обширные разделы, такие как цветная симметрия, симметрия многомерных пространств и др. Свои новые результаты они излагают в монографиях. Это значит, что выбранная нами тема актуальна в современном мире.
Сейчас мы покажем как симметрия, и асимметрия влияют на наш мир, и как вселенная поделилась на «право» и на «лево».
II. Теоретическая часть
1. Симметрия в буквах и словах.
Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии; В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную. А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.
Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается этих букв, то у них есть так называемая поворотная симметрия. То есть, если повернуть их на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через её центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буквы симметричны относительно поворота на 180°. Данные буквы обладают осью симметрии 2-го порядка. Также симметрию можно увидеть и в словах: казак, шалаш. Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): “Искать такси”, “Аргентина манит негра”, “А роза упала на лапу Азора”. Такие слова называются палиндромами. Оказывается, симметрия используется не только в математике, но и в русском языке.
2. Симметрия во вселенной.
«Нам нравится смотреть на проявление симметрии в природе, на идеально симметричные сферы планет и солнца, на симметричные кристаллы, на снежинки, цветы, которые почти симметричны».
О симметрии написаны интересные книги, во многих из которых подчёркивается, что симметрия не просто встречается в окружающем нас мире, она буквально «пронизывает» его, соединяя по-своему живое и неживое в этом мире.
2.1.Природная симметрия. Ботаника
Ботаника – наука о растениях. Наше исследование было направлено на выявление примеров симметрии в растениях, то есть мы занимались проблемой поиска закономерностей внешнего строения растений.
Посмотрим на изящное создание природы – кленовый лист. Он симметричен. Если перегнуть его по среднему вертикальному стебельку-прожилке, то получившиеся части листа совпадут друг с другом. Можно провести опыт и с зеркалом; отражение в зеркале дополнит половину кленового листа до целого. Кленовый лист обладает зеркальной симметрией, и, если его нарисовать на листке бумаги, то полученная плоская фигура будет иметь ось симметрии.
Если присмотреться повнимательнее к прожилкам на левой и правой половинках кленового листа, то можно заметить некоторую разницу между ними, поэтому говорят, что симметрия кленового листа не является математически точной. Но эти отклонения столь малы, что не вносят беспорядка в расположение частей и воспринимаются нами как симметричные объекты живой природы.
Дальнейшие наши поиски были сосредоточены на центральной симметрии. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах и фруктах: персик, голубика, клубника, клюква. Рассмотрев разрез любой из этих ягод, мы увидели, что в разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.
Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки и герберы. Весь цветок ромашки и герберы обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков.
В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой.
Для цветов характерна и поворотная симметрия, например: цветы пиона и розы. Эти цветы можно повернуть вокруг некоторой прямой на угол, равный 360 /5 (или кратный ему), и он совместится сам с собой. Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360.
Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага.
1.По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой, центральной или винтовой симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.
2.Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.
3.Стебли растений обладают осевой симметрией.
4.Симметрия форм, окраски цветков придаёт им красоту.
2.2. Симметрия в животном мире.
Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная. Наше исследование заключалось в поиске примеров этих двух видов симметрии в животном мире. Начнём с осевой симметрии.
Если мы нарисуем бабочку на листе бумаги, то особую роль для этой плоской фигуры будет играть вертикальная прямая, проходящая посередине её туловища. По обе стороны от этой прямой на одинаковом расстоянии от неё находятся одинаковые элементы рисунка. В этом случае говорят, что данная плоская фигура симметрична относительно прямой, а прямую, которая разделяет фигуру на правую и левую половины, называют осью симметрии. В раскраске бабочки можно обнаружить небольшие отклонения. Поэтому говорят, что симметрия бабочки не является математически точной. Зеркальная симметрия характерна для всех представителей животного мира
Рассмотрим очень интересный вид симметрии – билатеральная.
Чтобы поднять по эволюционной лестнице приходится самому двигаться быстрее, ловить больше добычи и просто бежать вперёд, чтобы не стать жертвой. Поэтому передняя часть тела начинает отличаться от задней, сдвигаются органы чувств и рот. Остаётся лишь симметрия левой и правой половины. Именно эта симметрия отлично подходит для движения вперёд.
Люди также являются представителями билатеральной симметрии. Левая и правая половины нашего тела становятся симметричны ещё в состоянии зародыша. За этим стоит сложный механизм, раскрытый Аланом Тьюрингом. Он предположил, что если в живой ткани есть два определённых вещества, которые влияют на производство друг друга, то они могут создавать уникальные узоры. Вот так математика объяснила, как появляются узоры на шкурах животных
Тело зародыша подчиняется тем же самым законам. Есть две группы белков. Одна неравномерно распределяется по длине тела, другая – по ширине. Эти же белки определяют, сколько у нас будет пальцев,
но иногда механизм даёт сбой, и симметрия появляется там, где её не должно быть.
Рассмотрим винтовую, или спиральную симметрию. Винтовая симметрия есть симметрия относительно комбинации двух преобразований – поворота и переноса вдоль оси поворота, т.е. перемещение вдоль оси винта и вокруг оси винта. Встречаются левые и правые винты. Примерами природных винтов являются: бивень нарвала – левый винт; раковина улитки – правый винт, но иногда может быть левый винт, шанс того что это случится один на миллион; рога памирского барана – один рог закручен по левой, а другой по правой спирали.
Спиральная симметрия не бывает идеальной, например, раковина моллюсков сужается и расширяется на конце.
2.3.Горизонтальная зеркальная симметрия в природе.
Зеркальная симметрия насекомых, животных и растений является вертикальной симметрией. Можно ещё много назвать объектов природы, для которых характерна вертикальная зеркальная симметрия. А вот с горизонтальной зеркальной симметрией в природе мы встречаемся редко. Лишь тогда, когда рассматриваем отражение в воде.
Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии.
Посмотрим на другие создания природы – снежинки. Пожалуй, они являются самым ярким примером красоты форм осевой симметрии. Любая снежинка имеет поворотную ось симметрии и является зеркально симметричной. Природные снежинки бывают только шестиугольными.
Снежинка – это кристалл замёршей воды. Все твёрдые тела в природе состоят из кристаллов, каждый из которых имеет форму многогранника, поэтому говорят, что природа реализовала многогранники.
1.Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна билатеральная симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.
2.Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.
3.В природе встречается горизонтальная и винтовая симметрия.
4.Симметрия форм, окраски насекомых, животных придаёт красоту.
5.Мир кристаллов – это особый вид симметрии.
2.5. Симметрия во всем мире
Но когда мир стал делиться на «право» и на «лево», и почему это так важно?
В поиске ответов мы зашли очень далеко и сейчас хотим вам рассказать, в чем скрывается тайный смысл симметрии.
Двухмерную и трёхмерную симметрию представить легко, а как насчёт симметрии пятидесяти семи мерного объекта? Конечно, мы можем её увидеть только в проекции на плоскость, но это не самое удивительное. Самым удивительным является то, что такая симметрия существует в двухстах сорока восьми измерениях. Шокирует, не правда ли?
На самом деле наш разум не такой умный чтобы представить себе всю эту историю, но для математиков ничего невозможного нет. В реальной жизни почти такую же симметрию показали электроны в кристалле из кобальта и ниобия.
Мы, люди, по крайней мере, тоже симметричны или стараемся такими быть. Наша левая часть похожа на правую. Но есть организмы с более интересной симметрией.
Давайте посмотрим на медузу Аурелию Ауриту.
Её личинка может плавать даже после потери конечности. Она просто перераспределяет оставшиеся и возвращает себе симметрию. Эта медуза может делать так снова и снова, даже когда лопасти остаётся всего две. Выходит, симметрия необходима им для жизни.
Но не всем известно, что симметрией обладают и вирусы. Да, вирусы не совсем живые организмы. Они имеют гены и эволюционируют, но у них нет клеток и своего метаболизма. Поэтому правильно их называть «организмы на грани живого». Благодаря такой жизни они могут принимать красивые и странные формы. Например, «спираль» или «икосаэдры». С такой симметрией вирусы решают математическую задачу: как построить своё тело так, чтобы осталось больше ресурсов для захвата других клеток.
Растения подчиняются закону фракталы (фрактальной симметрии). Фракталы – это фигуры, форма которых похожа на форму их частей. Но зачем природе нужны фракталы?
Такая симметрия позволяет доставлять необходимые вещества к самым отдалённым участкам организма, экономя энергию и пространство. Например, для доставки воды и воздуха в лёгкие.
Разные по природе фракталы оказались настолько похожи, что учёные смогли превратить жидкий листик в кровеносные сосуды, пересадив туда сердечную ткань. Получается, симметрия везде работает по одним законам.
Симметрия имеет более широкий смысл нежели «право» и «лево». Но почему не весь мир симметричен? Почему существует право и лево? Как молекулы определяют, где право, а где лево?
Лево, там, где сердце, не так ли? Не всегда.
Сначала у эмбриона два симметричных сердца, но через 22 дня после зачатия они соединяются в одно и смещаются влево. Это всё происходит, потому что одноклеточные реснички в эмбрионах перегоняют вещества Тьюринга в левую сторону. Но иногда и в правую, т.е. ваши органы становятся зеркальны, это происходит, если вы имеете к этому генетическую предрасположенность.
Но что всё-таки значит симметрия? Попробуем объяснить. Попробуйте сделать слепок левой руки, а потом поместить в него правую, получается? Нет, а почему? Потому что такие вещи, как кисти наших рук, называются хиральными. В зеркале правша превращается в левшу, и наоборот, а объекты становятся несовместимыми.
Например, аминокислоты, составляющие белки, тоже могут быть зеркальными. Несмотря на то, что они одинаковы по составу, их каркас зеркально противоположен. Одни левые, а другие правые. Внешне они похожи, но свойства настолько разные, что одна может быть милым щенком, а другая волком. Например, молекула PENICILLAMINE. Молекула S служит лекарством от отравления тяжёлыми металлами, а R является молекулой яда и вызывает слепоту. Но при этом они близнецы. Разница между молекулами настолько сильна, что каждый может это почувствовать по запаху и вкусу. Как? Возьмите апельсин и лимон и просто понюхайте их. В них есть одно и то же пахучее вещество Limonene, только в зеркальных вариантах. Если искусственно синтезировать аминокислоты, то мы всегда будем получать равное количество левых и правых молекул.
Но почему-то все тела живых организмов в природе построены на левых аминокислотах. А почему именно на левых, а не на правых?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, мы должны посмотреть на вселенную. Асимметрия возникла не на земле. Она имеет неземное происхождение. В метеоритах, которые прилетают к нам издалека, тоже есть аминокислоты, и левых среди них больше. Но что могло сделать их левосторонними? На этот вопрос есть несколько теорий, но приведём мы одну.
Их такими мог сделать Поляризованный УФ, который появляется там, где рождаются новые звёзды. Например, в туманности Ориона. Такой свет разрушает правые аминокислоты и оставляет левые. Именно эти аминокислоты, когда-то попавшие на землю, могли образовывать живые белки, из которых потом началась вся жизнь на планете.
Возможно, где-то в параллельной вселенной жизнь построена на правых аминокислотах. И вот когда мы туда попадём, нас будут угощать местной едой, но мы не сможешь насытиться, и независимо от количества употреблённой пищи, нам не хватит жизненной энергии для продолжения своего существования, т.к. мы не сможем использовать зеркальные молекулы для строительства своих клеток. Мы умрём с голоду.
Всем знакомые монитор компьютера, телевизор, профессиональная камера корреспондента, материя, Земля, звёзды созданы благодаря асимметрии. Сейчас, как и раньше, в космосе образуется некое количество материи и антиматерии.
По законам физики материя и антиматерия взаимоуничтожаются, каждый раз излучая фотон, частичку света. Представьте тетрис, состоящий только из красных и чёрных блоков, которые постоянно соединяются, взаимоуничтожаются и оставляют частичку света. Этот свет мы можем наблюдать до сих пор в виде реликтового излучения. Вся вселенная заполнена старым светом от этих вспышек. А теперь представьте что через 0,000000000000000000001 (ноль целых одну септиллионную) долю секунды после взрыва на 1 млрд. чёрных блоков стало приходиться на 1 красную больше. Получается, что эта красная не сможет найти себе пару, чтобы уничтожиться. Красные блоки, это и есть то самое вещество, из которого состоит всё то, что мы чувствуем, видим, трогаем. Это те самые частицы, которые не смогли найти себе пару среди античастиц. Вскоре они стали собираться в облака, планеты, звёзды и звёздные системы, и даже в нас благодаря гравитации.
Если бы новорождённая вселенная была бы абсолютно симметрична, т.е. материя и антиматерия образовывались и уничтожались в равных количествах, то ничего не было бы. Ни нас, ни планет, ни звёзд, просто ничего. И на карте не было бы ничего кроме света, от симметричного уничтожения этих частиц.
Мы – результат превосходства материи над антиматерией. Результат асимметрии вещества и антивещества, результат борьбы правого и левого. Все что мы знаем и видим в природе: сферы, фракталы, спирали, пятна животных, наши тела, положение сердца, кровеносная система, две половинки нашего мозга построены благодаря переплетению симметрии и асимметрии миллиарды лет назад, и до сих пор всё работает по тем же законам.
3. Симметрия в архитектуре.
Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Одним из художественных средств, которые использует архитектор, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление. Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий, архитектуры фасадов, в оформлении внутренних помещений, колоннах, потолках и т.д. В большинстве случаев они обладают осевой симметрией.
Мы провели небольшое исследование в своём городе. Прогуливаясь по Калуге, рассмотрели 10 административных зданий, определили количество фасадов, обладающих осевой симметрией. Мы сделали вывод о том, что большинство фасадов зданий нашего города обладают осевой симметрией, но если фасад не обладает осевой симметрией, то, разбив строение на маленькие пристройки, мы обнаружим, что осевая симметрия всё-таки присутствует.
1.Симметрия широко используется в архитектуре.
2.Использование симметрии в конструкции зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию.
3.Прогулявшись по своему городу, мы убедились, что удачных решений может быть слишком много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.
III . Показатели опроса
Мы с друзьями опросили 150 учащихся и 50 педагогов нашей школы. Вопрос заключался так: Как вы думаете, в чём заключается роль симметрии в нашей жизни. Также мы предложили варианты ответов:
А. Равновесие
Б. Гармония
В. Красота
Г. Стабильность
Д. Существование мира
Е. Затрудняюсь в ответе
“Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”
Изучая симметрию, мы провели исследование по нескольким направлениям:
симметрия в буквах;
симметрия в природе;
симметрия во вселенной;
С симметрией мы встречаемся везде – в природе, архитектуре, искусстве. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в математике, биологии, архитектуре, живописи и скульптуре. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии, как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.
Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия –
гармония и красота,
V. Список использованных источников информации
1.Андрущенко А.В. Развитие пространственного воображения на уроках математики. М.: Владос, 2003.
2. Иванова О. Интегрированный урок «Этот симметричный мир»// газета Математика. 2006. №6 с.32-36.
3. Ожегов С.И. Толковый словарь русского языка. М. 1997.