Что такое символический язык в математике

Что такое символический язык в математике

Символический язык математики

Представьте себе, что вы стали обладателем точного и исчерпывающего знания об устройстве всего мира — вселенной, земли, жизни, разума и т. п. Окрыленные такой удачей, вы решили поделиться этим знанием со всем человечеством. На каком языке вы о нем поведаете?

Нетрудно понять, что обычный язык для этого не годится — он создан для повседневного общения, для обмена информацией, для выражения наших мыслей и чувств. Для рассказов о таинствах природы он вряд ли подойдет — это хорошо знают люди, пытающиеся популяризировать современные достижения науки, далеко не полные и не всеобъемлющие. Не обращаясь к специальной терминологии и символике, популяризатор легко может впасть в грех либо чрезмерных упрощений, либо необоснованных обобщений. С какой же трудностью столкнетесь и вы сами, пытаясь рассказать о том, о чем у вашего собеседника даже нет понятия, с чем у него не связаны никакие образы…

Одни из первых попыток передать свои представления об устройстве мира, открывшиеся как откровения при попытке проникнуть в суть видимого вокруг, возникли в натурфилософских школах античной Греции. Нам, «стоящим на плечах гигантов», эти попытки могут показаться надуманными или наивными, но по глубине вопросов и силе стремления к пониманию скрытых сил, проявляющихся в наблюдаемых явлениях, они заслуживают уважения, ничуть не меньшего, чем современные. Как передать ощущение единства природы, ощущение единого источника всего сущего? Как объяснить, что за видимым проявлением скрывается некоторая сила, закон, движитель этого явления? Даже пользуясь современной картиной мира и способом ее описания, трудно передать, что же мы хотим разглядеть за видимыми формами. Наверное, для его обозначения в русском языке наиболее близко слово «суть». Фалес Милетский использовал понятие άρχή(архе), для толкования этого слова в современных философских словарях указывают не менее трех смыслов. И вот в учении Фалеса возникает вода как сущность всего, из нее все происходит и в нее же возвращается. Но вряд ли имеет смысл понимать эту воду как жидкость, молекулы которой состоят из двух атомов водорода и одного кислорода, это — символ, многозначный и ускользающий в бесконечном богатстве граней, каждая из которых открывает свой штрих, свою характеристику этого скрытого единого начала. По Фалесу, через первичную влажность в мир проникает Божественная сила и все приводит в движение. Ученик Фалеса, Анаксимандр, это же ощущение невидимого, скрытого от нашего физического взгляда, передавал понятием «άπειρον» (апейрон). Апейрон бесструктурен, вещественно неопределен, он бессмертен и непреходящ, все объемлет и всем правит, он вечно движется и вечно движет, он и есть единственная причина рождения и гибели. Формально противореча своему учителю, он вторит ему в стремлении передать открывшуюся ему единую суть видимой природы.

Язык ионийских натурфилософов далек от современного языка науки, но примерно в то же время в Южной Италии (она входит в область, называемой «Великой Грецией») рождается еще одна система описания глубинных принципов природы: Пифагор, основатель знаменитой философской школы, провозглашает основой и началом мира… число. Если с фалесовской «водой», «апейроном» Анаксимандра или «воздухом» Анаксимена наш разум еще может смириться, считая их символом единой изначальности мира, то число в этой роли вызывает отторжение. Все-таки с числом у нас сейчас связано что-то вполне конкретное — мера количества либо способ сравнения. Как же его можно считать мировым началом? И все-таки именно такое математическое описание мира оказывается наиболее успешным, поскольку, как оказывается впоследствии, именно математика становится тем наиболее успешным символическим языком, к которому прибегают для того, чтобы адекватно описывать законы мироздания, открывающиеся сначала в астрономии, физике, химии, а теперь и в биологии, науках о Земле, о Вселенной в целом, в науках о человеке.

Следуя древней традиции, проявляющейся и в египетской религии, и в учении орфиков, Пифагор считал, что существование человека не бессмысленно, он в своей жизни должен стремиться уподобится Богу. Но что такое Бог и как ему уподобиться, если Бог не явлен нашим физическим очам? Единственная возможность — стараться проникнуть «за видимый мир», умозрительно или интуитивно дотянутся до принципов, по которым этот мир построен. Если есть божественный (т. е. совершенный, истинный, благой) образец, то таким же должен стать и мир явленный, а для того чтобы такой образец воплотить «в видимом», нужно уметь сравнивать, соразмерять «видимое» с невидимым. Слово «соразмерность» передается словом άρμονία, что по-русски звучит как «гармония». За счет «правильного», «истинного» сочетания противоположностей существует мир. И Пифагор провозглашает этот принцип соразмерного, гармоничного построения мира и находит законы этой гармонии. Они, в частности, выражаются в отношениях целых чисел, лежащих в основе музыкальной гармонии, и в законе золотой пропорции, описывающем гармонию геометрических форм. Число при этом является и посредником между видимым и невидимым мирами. Кроме того, сами числа Пифагор рассматривал как символы таких важнейших мировых принципов, как единство и начало мира, его целостности (число 1), двойственности, связанной с неравенством, изменчивостью, множественностью (число 2), троичность как некоторое вновь обретенное равновесие, поскольку в тройственности есть «середина», уравновешивающая и гармонизирующая и, следовательно, дарящая совершенство (число 3), и т. д.

Великое достижение античности — открытие языка, на котором можно записать законы мироздания. Осознание математики как способа изучения устройства мира подкреплялось и созданием геометрии: никто из геометров не сомневался, что их аксиомы и теоремы в точности соответствуют свойствам физического пространства. Более того, как оказалось позже, для чисто теоретических построений, выполненных согласно духу и логике математики и не имеющих изначально реальных прототипов, могут найтись реальные объекты, для описания которых нужны именно эти построения. Примером этого являются мнимые числа, возникшие из потребности расширить область решения квадратных уравнений и изначально считавшиеся чисто умозрительными. В дальнейшем они выросли в комплексный анализ, с помощью которого решено колоссальное количество практических задач электродинамики, механики сплошных сред, гиро- и газовой динамики и т. п. Другой пример дает геометрия Лобачевского, описывающая свойство пространства скоростей в специальной теории относительности, или римановы геометрии, сменившие в XX веке геометрию Евклида для описания физического пространства.

Символический язык математики не открывает сразу все тайны природы, мы лишь постепенно движемся от незнания к более полному знанию, развивая символический язык науки и параллельно развивая знание о мире, связывая математические построения с реальностью. Этот процесс называется интерпретацией, он является необходимой составной частью научных исследований. И если научное знание вдруг вступает в противоречие с экспериментом, то это связывается либо с формальной логической ошибкой, либо с погрешностью измерений, либо с неверной интерпретацией (не те математические объекты следует связывать с параметрами и характеристиками реальности), но никогда не связывается с невозможностью математического описания мира. Эта традиция связывать математику с истиной и реальностью живет и во времена античности, и в средневековье, и в наши новые времена. В подтверждение этого тезиса приведем следующие высказывания.

«Тот, кто порочит высшую достоверность математики, тот питается сумбуром» (Леонардо да Винчи).

«Книга природы написана на языке математики, ее буквами служат треугольники, окружности и другие математические фигуры, без помощи которых человеку невозможно понять ее речь; без них — напрасные блуждания в лабиринте» (Галилей).

«Следы геометрии запечатлены в мире так, словно геометрия была прообразом мира» (Кеплер).

«В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики» (Кант).

«Математическая истина остается на вечные времена, а метафизические призраки проходят, как бред больных» (Вольтер).

«Платоновское выражение, что Бог является геометром, сегодня кажется более истинным, чем когда-либо. Мы все яснее видим, что наиболее общая математическая формулировка одновременно является и физически наиболее плодотворной» (Зоммерфельд).

«Современная физика идет вперед по тому же пути, по которому шли Платон и пифагорейцы. Это развитие физики выглядит так, словно в конце его будет установлена очень простая формулировка закона природы. Трудно указать какое-нибудь прочное основание для этой надежды на простоту, помимо того, что до сих пор основные уравнения физики записывались простыми математическими формулами. Подобный факт согласуется с религией пифагорейцев, и многие физики в этом отношении разделяют их веру. Однако никто до сих пор еще не дал действительного доказательства, что это должно быть именно так» (Гейзенберг).

«Природе присуща та фундаментальная особенность, что самые основные физические законы описываются математической теорией, аппарат которой обладает необыкновенной силой и красотой» (Дирак).

И наконец: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им» (Вигнер).

Источник

Математические языки

Что такое математический язык

Языком называют систему общения с использованием звуков и условных символов в устной и письменной формах.

Язык — самостоятельная знаковая система, которая создана естественно или искусственно, где понятийное содержание соотносится с типовым звучанием.

Языком математики называют конструкции из специальных обозначений, которые используют для формирования и описания математических идей.

Математические обозначения служат универсальной единицей для обмена информацией между научными работниками разных сфер.

Область применения специфических математических обозначений включает в себя сферы физики, информатики, экономики и инженерии. И те области человеческой деятельности, где присутствуют математические модели.

Под математической моделью понимают математическое представление реальности с помощью математического языка. Модель представляет собой систему. Она предсказывает поведение реального объекта, но представляет собой некоторую степень его идеализации.

Естественный язык служит основой формирования структуры математического языка. Многие символы заимствованы из латинского и греческого языков. Их значение интерпретируется избранной формой, типом и положением. В некоторых случаях играет роль цветопередача буквенных обозначений.

Математические знаки и символы собирают в формулы.

Понятие формула происходит от латинского слова, которое обозначает правило, предписание.

Выделяют словесные и символьные формулы.

Формула — символьное общее определение положения или закона, которое применимо к частным случаям.

Математическая формула или форма — комбинация математических знаков, с помощью которых записывают утверждения.

При написании формул используют условные обозначения — числа и буквы, специальные знаки и символы.

Формы записи утверждений бывают истинные и ложные. Смысл формул зависит от значения входящих в них переменных.

Развитие математической символики связано с общим развитием понятийного ряда и методов математики. Введение специальных обозначений началось с цифр, которые заменили зарубки, черточки, узелки в условиях обмена информационными сообщениями количественного характера.

Древнейшими числовыми системами считают вавилонскую и египетскую.

Позже в обиход ввели использование буквенных символов и знаков действий.

Знаки, которые используют только с действиями над числами, называют арифметическими.

Знаки, которые используют при описании действий в выражениях с буквами или переменными, называют алгебраическими.

Эти знаки трансформировались из слов, которые ввели для обозначения действий, чтобы запись была короче.

Считают, что первые математические знаки появились у греческих геометров. Евклид использовал буквы для обозначения, например, конечной и начальной точек отрезка.

Буквенные изображения в качестве замены чисел для создания универсальных утверждений возникают в результате освобождения алгебра от геометрической формы.

В XVI веке Ф. Виет использовал буквы для замены чисел.

Создание современной символики относят к XVII веку.

Помимо индо-арабских цифр и букв греческого и латинского алфавитов, математический язык использует множество символов, которые изобретены за последние несколько столетий.

Преимущества использования математического языка заключаются в его:

Виды математического языка

Алфавит языка математики состоит из:

Математика — искусственный язык. Применение естественного языка в математических дисциплинах малопродуктивно.

Под искусственными языками сейчас понимают языки программирования и компьютерные языки. Они предназначены для автоматической обработки информации с помощью электронно-вычислительных машин. Среди искусственных языков выделяют информационные языки, которые используют в различных системах обработки информации. И формальные языки науки — для символической записи фактов и теорий математики, математической логики, физики, химии, информатики.

Формальный язык наследует черты естественных языков и позиционной системы записи чисел. Любой классический формальный язык:

Развитие математики как языка науки имеет свои особенности.

В виде языка математика формировалась после других языков, несмотря на то, что потребности в счете у человека возникли гораздо раньше появления языков.

Язык формировался на протяжении многих веков.

Искусственный язык математики имеет иного оригинальных придуманных символов. Например, символы параллельности, перпендикулярности, обозначение угла. Часть символов произошла от соответствующих названий на европейских языках.

Математический текст характеризуют смешанным набором языков.

Язык математики строго письменный. Он является средством описания. Любой математический текст состоит из слов с вкраплениями формул.

Формулы — выражения формального языка.

Формулы в геометрии могут заменяться чертежами.

Чертежи трудно поддаются объединению в язык. Синтаксис чертежей не систематичен. Чертеж целостен, и эта целостность может искажаться при анализе.

В математику внедряли языковые конструкции подобные чертежам — коммутативные диаграммы.

В языке формируются математические выражения.

При этом выражением не является:

Запись, в которой есть знаки сравнения, называют уравнением или неравенством.

Становление формального математического языка позволило писать программы, где интенсивно используются математические вычисления.

Разновидности языков программирования, где используются вычисления: Python, C/C++, Java…

Функциональные языки, где понятие функции совпадает с математическим определением: Erlang, F#.

Fortran ориентирован на решение математических задач, язык R — на статистические задачи.

Matlab — среда для математических вычислений.

Таблица символов и обозначений

Наиболее употребляемыми считают следующие математические символы, которые представлены в таблице:

Коды в системах классификации знаний

Существенная составляющая разработки технических устройств — математическая: алгебра, дискретная математика, геометрия, физика, математическая логика и т. д. Все современные устройства программируются на выполнение определенных алгоритмов.

Программирование устройств включает в себя написание специфического кода.

Код — система условных знаков для представления информации.

Кодирование — представление информации с помощью кода.

Человек кодирует информацию для:

Выделяют следующие способы кодирования информации:

Обратный процесс перевода кода в первоначальный вариант информации называют декодированием.

Кодирование — операция преобразования знаков одной системы в знаки другой системы.

Одна и та же информация может быть закодирована разными способами. Главное, чтобы получатель имел ключ для расшифровки сообщения.

Ключ — способ или инструкция с грамотным объяснением процесса расшифровки информации.

Источник

СИМВОЛИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Математическая логика имеет ряд разделов, пользующихся искусст­венным языком. В отличие от есте­ственного языка в искусственном каждому символу придано одно единственное значение. Форма­лизация простых высказываний (или суждений) привела к созда­нию пропозициональной логики, или исчисления высказываний. Сложные высказывания образуются из простых при помощи ло­гических союзов. (Таблица логических союзов приведена в главе 3, посвященной анализу сложных суждений. ) Суждение в мате­матической логике принято называть высказыванием. Так, сим­волическая запись: р—»q будет означать сложное высказывание типа: «Если это дерево, то оно не проводит электрический ток».

Логика предикатов, или кванторная логика, является расширением логи­ки высказываний за счет двух кван-торных символов: V и 3 (их логиче­ский смысл будет раскрыт в соот­ветствующей главе). В общем виде искусственный язык включа­ет следующие символы:

6) логические союзы:

— отрицание («не», «неверно, что»);

Следуя исторической эволюции логического знания, изуче­ние логики необходимо начинать с классического исчисления высказываний.

> человек познает мир в разных формах;

> чувственное познание является непосредственным и об­разным;

У образ фиксирует чувственные данные и предполагает сходство с оригиналом;

У в основе логического познания лежит способность клас­сифицировать существенные признаки и абстрагироваться от несущественных;

> абстрактное мышление устанавливает сходство и разли­
чие между предметами в их существенных чертах;

1 В дальнейшем будем использовать как символические обозначения классиче­ской формальной логики (А, В, С. ), так и современной, например язык ис­числения предикатов (р, q, r и др.).

> результатом логического познания являются разные фор­мы мысли;

> более сложными формами мысли являются суждение и умозаключение;

> логика стремится к определению правильных форм рас­суждения;

> формулы рассуждения устанавливаются правилами и за­конами этой науки;

> мышление неразрывно связано с языком;

> периодизация истории логики совпадает с историей науки и техники, а также с общефилософской периодизацией человеческой истории;

> все направления логики изучают человеческое мышление, но каждая в отдельности определяет условия его истинно­сти в зависимости от области его использования.

Контрольные вопросы

1. Что изучает логика?

2. Является ли логика единственной наукой, иссле­дующей мышление?

3. В чем отличие логики от психологии?

4. Как человек познает мир?

5. В чем отличие абстрактного мышления от дру­гих форм познания?

6. Как и почему связаны мышление и язык?

7. В чем разница между естественными и искусст­венными языками? Зачем создаются последние?

8. Каков язык логики предикатов?

9. Что вы знаете об истории логики?

10. Какие «логики» существуют сегодня? Какие про­блемы они решают?

11. Какая из них устанавливает нормы речевого об­щения?

12. Что такое «логическая форма»? Какие формы мысли изучает логика?

13. За что отвечают законы мышления?

14. Как логика определяет свой предмет?

15. Каково практическое значение логики?

О каком языке идет речь в следую­щем рассуждении: «Причина трапь

______ ческой судьбы художника (в прямом

Источник

Что такое символический язык в математике

ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ

ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ – математическая логика, теоретическая логика – область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «символическая логика» был, по-видимому, впервые применен Дж.Венном в 1880.

Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в 17 в. Г.Лейбницем. Однако только к сер. 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, необычайные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа, родоначальником которой можно считать А.де Моргана (Augustus de Morgan, 1806–71), который в 1847 опубликовал книгу «Formal logic; or the calculus of inference, necessary and probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж.Буля (1815–64). В 1847 он публикует брошюру «Mathematical analaysis of logic», а в 1854 опубликовал свой главный труд по логике «An Investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities». Как и де Морган, Дж.Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулем, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 можно считать началом алгебры логики, первоначальный этап развития которой был завершен Е.Шрёдером в трехтомной монографии «Vorlesungugen uber die Algebra der Logik (1890–1905)».

С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г.Фреге (1848–1925) и Ч.С.Пирса (1839–1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begriffsschrift» (лучшая книга по символической логике 19 в.) изобрел символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (напр., формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов (см. Логика предикатов). Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж.Пеано (1858–1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его знаменитый труд «Formulaire de mathématiques», опубликованный в 1894–1908 (в соавторстве), был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А.Н.Уайтхедом и Б.Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910–1913), а затем воспринята Д.Гильбертом. Т.о., был введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки отрицания

, конъюнкции &, дизъюнкции ∨, импликации ⊃, кванторов всеобщности ∀ и существования ∃.

Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 в. возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами.

Основным стимулом развития символической логики в нач. 20 в. была проблема оснований математики. К.Вейерштрасс, Р.Дедекинд и Г.Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Т.о., вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в 1-м томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V).

Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств (см. Парадокс логический) стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), интуиционизм (нужна новая логика), теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств) (см. Множеств теория) и формализм (программа Гильберта). Как отмечает Э.Мендельсон: «Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. В этом состоит одна из задач математической логики» (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М., 1984, с. 11). Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гильберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, т.е. доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой

А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория), после чего, считал Гильберт, используя только финитные методы (см. Финитизм), можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и т.о. решить проблему оснований математики.

Однако результат К.Гёделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, т.е. всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г.Генценом (1936).

Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча–Тьюринга (см. Алгоритм), утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.

И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость А из остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно). Тогда А является независимой аксиомой.

Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. В предисловии к «Handbook of mathematical logic» (1977) Дж.Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD-1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гильберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно (см. Неклассические логики, Философская логика).

Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Гёделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, т.е. логики предикатов. Поэтому последняя, являясь весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, т.е. в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Гёделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, т.е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии сокрушителен! Поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях?

Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, вопрос о том, что такое логика? Дело в том, что в отличие от математики рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик (см., напр., Интуиционистская логика, Многозначные логики, Паранепротиворечивая логика). Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в возможных миров семантике в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится все большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определенных классов. Становится все более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат 21 веку. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic».

1. Математическая логика (Адян С.И.). – В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1912;

2. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики: М., 1979;

3. Они же. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982;

4. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М., 1979;

5. Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957;

6. Колмогоров А.П., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М., 1982;

7. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М., 1984;

8. Марков А.А. Элементы математической логики. М., 1984;

9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику, 3-е изд. М., 1984;

10. Непейвода H.H. Прикладная логика. Ижевск, 1997;

11. Новиков П.С. Элементы математической логики, 2-е изд. М., 1973;

12. Справочная книга по математической логике, т. 1–4. М., 1982–83;

13. Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960;

14. Bochenski J. A history of formal logic, 2d. ed. Chelsea, 1970;

15. Church A. A bibliography of symbolic logic. Providence, 1938;

16. Copi I.M. Symbolic logic, 5th ed. Prentice Hall, 1979;

17. From Dedkind to Godel: Essys on the development of the foundations of mathematics, Ed. J.Hintikka. Dordrecht, 1995;

18. Klenk V. Understanding symbolic logic. 3rd ed., 1994;

19. Mostowski A. Thirty years of foundational studies. Oxf., 1966.

Источник