Колебания — это процессы, которые имеют какую либо степень повторяемости во времени.
Свободные (собственные) колебания — это колебания, которые предоставляют сами себе системы, вызванные первоначальным кратковременным внешним возбуждением.
Колебательная система — это такая система, которая способная производить свободные колебания.
Колебательная система соответствует следующим условиям:
Амплитуда колебаний — это максимальное значение величины (для механических колебаний это смещение), которая совершает колебания.
Период колебаний — это самый маленький отрезок времени, через который система совершает колебания, снова возвращается в исходное состояние, т. е. в начальный момент.
Частота колебаний — это физическая величина, равная числу колебаний, которые совершаются в единицу времени.
Циклическая частота — это характеристика гармонических колебаний, совершаемых за
Фаза колебаний — это аргумент функции, который периодически изменяется.
Затухающие колебания — это собственные колебания, у которых амплитуда уменьшается со временем, что обусловлено потерями энергии колебательной системой.
Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания — это характеристика быстроты уменьшения амплитуды в случае механических колебаний, где энергия убывает за счет действия сил трения и других сил сопротивления.
Декремент затухания — это количественная характеристика быстроты затухания колебаний, которая определяется натуральным логарифмом отношения двух последовательных максимальных отклонений , колеблющейся величины в одну сторону:
Декремент затухания — величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в: е раз е = 2,71828). Промежуток времени, необходимый для этого, называется временем релаксации.
Дифференциальное уравнение малых затухающих колебаний системы:
Вынужденные колебания — это колебания, которые возникают под действием внешней периодической силы.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
Резонанс — это процесс резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты , вынуждающей силы к собственной циклической частоте колебательной системы.
Автоколебания — это незатухающие колебания физической системы, которые способны существовать без воздействия на нее внешних сил.
Автоколебательная система — это физическая система, где имеет место существовать автоколебания.
Автоколебательная система состоит из следующих частей:
Обратная связь — это воздействие результатом какого-либо процесса на его протекание.
Обратная связь бывает:
Периодические колебания — это колебания, которые имеют изменяющиеся значения физических величин, но которые повторяются через равные отрезки времени.
Смещение — это физическая величина, которая является характеристикой колебаний, равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.
Математический, физический, пружинный маятники.
Математический маятник — это тело малых размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой ничтожно мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити .
Составляющая силы тяжести при отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол ф , где знак «минус» означает, что касательная составляющая на- правлена в сторону, противоположную отклонению маятника. Второй закон Ньютона для математического маятника запишется: , где x — линейное смещение маятника от положения равно- весия по дуге окружности, l — радиус.
Угловое смещение будет равно
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде:
Если математический маятник совершает малые колебания, то он является гармоническим осциллятором. Собственная частота малых колебаний математического маятника:
Период малых колебаний математического маятника определяется:
Физический маятник — это тело, которое является твердым, производящее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, которая не является центром масс этого тела, или горизонтальной оси.
Второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид:
Собственная частота малых колебаний физического маятника:
Период малых колебаний физического маятника определяется:
Круговая частота свободных колебаний физического маятника определяется выражением:
Центр качания физического маятника — это точка, где необходимо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний оставался постоянным.
Физический маятник обладает следующим замечательным свойством: если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний будет постоянным, а прежняя точка подвеса станет новым центром качания.
Пружинный маятник — это колебательная система, которая состоит из груза, подвешенного к абсолютно упругой пружине.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой: , где k — коэффициент жесткости.
Период пружинного маятника определяется:
Уравнение движения пружинного маятника при этом имеет вид:
Период колебаний T – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.
Частота колебаний ν – число полных колебаний в единицу времени. В системе СИ выражается в герцах (Гц).
Период и частота колебаний связаны соотношением:
Циклическая (или круговая) частота ω = 2πν. Она связана с периодом отношением:
Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Смещение определяется формулой:
где x 0 – амплитуда, ω – циклическая частота, φ0 – начальная фаза колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет один и тот же вид для любых колебаний:
где – ускорение тела. Величина ω0 называется собственной частотой свободных колебаний. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно
а период:
а период колебаний:
Вынужденные колебания – колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.
Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.
Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.
Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.
Колебания— это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.
Механические колебания— это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.
Механическая система— совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.
Какими бывают колебания?
Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:
Свободные колебания
Свободные колебания— колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.
Колебательная система— механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.
Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:
Примеры свободных колебаний:
Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.
В колебательную систему математического маятника входят:
В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания— колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.
Примерами вынужденных колебаний служат:
Затухающие и незатухающие колебания
Затухающие колебания— колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.
Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.
Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.
Незатухающимиколебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.
Динамика колебательного движения
Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.
Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости
Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.
Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:
Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:
где k — жесткость пружины.
Тогда уравнение движения шарики принимает вид:
Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?
Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:
∣ ∣ ∣ → F т я ж ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ → F у п р ∣ ∣ ∣
где y m a x — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:
Начальная скорость равна нулю. Отсюда:
Максимальная скорость равна:
Уравнение движения математического маятника
Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:
При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.
Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:
Причем компонента → F τ направлена перпендикулярно нити, а → F n — вдоль нее.
Компонента → F τ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:
Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести → F τ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая → F τ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α → F τ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.
Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:
Внимание!Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2 о = 2∙3,14/180 рад., или 2 о = 0,035 рад.
При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):
Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.
При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:
Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:
Тогда длина нити равна:
Основные характеристики колебательного движения
Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — xmax. Единиц измерения — метр (м).
Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).
Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:
Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:
Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:
Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.
Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.
Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:
Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:
В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.
Каков период колебаний шарика?
Алгоритм решения
Решение
Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:
Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1)
увеличивается
2)
уменьшается
3)
не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
Алгоритм решения
Решение
Потенциальная энергия пружины определяется формулой:
где k — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.
Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:
Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.
В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.
Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.
А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.
Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.
В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.
Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.
Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.
Алгоритм решения
Решение
Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.
Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.
Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.
Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.
Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.
, колеблющейся величины в одну сторону: 
, вынуждающей силы к собственной циклической частоте 
колебательной системы.
уравновешивается силой натяжения нити 
.
, где знак «минус» означает, что касательная составляющая на- правлена в сторону, противоположную отклонению маятника. Второй закон Ньютона для математического маятника запишется: 
, где x — линейное смещение маятника от положения равно- весия по дуге окружности, l — радиус.
, где k — коэффициент жесткости.
– ускорение тела. Величина ω0 называется собственной частотой свободных колебаний. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно 
