Что такое смежные углы в математике 6 класс

Урок математики в 6-м классе по теме: «Смежные углы»

Разделы: Математика

Оборудование: циркуль, линейка, плакаты с чертежами и высказываниями, раздаточный материал.

Ход урока

1. Организационный момент

Целью урока является решение проблем связанных со смежными углами; закрепление умения выдвигать гипотезу и научиться доказывать её.

2. Повторение теоретического материала

3. Постановка проблем и их решение

Сегодня нам предстоит решить ряд проблем. (Названия проблем вывешиваются на доске и выделяются цветом).

Проблема 1. Как уравнения помогают решать геометрические задачи?

По Рисунку 1составьте задачу, в которой требуется найти величины смежных углов.

Рисунок 1

Один из смежных углов больше другого на 40 градусов (меньше другого на 40 градусов). Найдите эти углы.

Рассмотрим задачу №1.

Дано: ABC и CBD – смежные,

ABC – CBD = 20.

Найдите: ABC и CBD.

Проанализируем краткую запись и сформулируем её устно. Даны два смежных угла ABC и CBD. CBD на 20 градусов меньше ABC (или ABC на 20 градусов больше CBD). Найдите эти углы.

Необходимо решить задачу с полным оформлением и проверкой.

Пусть CBD – х градусов, тогда ABC = х+20. Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то составляем уравнение:

х+х+20 = 180
2х+20 = 180
2х = 160
х = 80
CBD = 80 градусов;
ABC = 80+20 = 100 градусов.
Проверка: 90+100 = 180.

Рассмотрим задачу №3.

Дано: PQR и RQS – смежные,

RQS = 0,8 PQR.

Найдите: PQR и RQS.

Проанализируем краткую запись и сформулируем её устно. Даны два смежных угла PQR и RQS. RQS в 0,8 раза больше PQR. Найдите эти углы.

Необходимо решить задачу с полным оформлением и проверкой.

Пусть PQR = х, тогда RQS = 0,8х. Так как сумма смежных углов равна 180 градусов, то составляем уравнение:

х+0,8х = 180
1,8х = 180
х = 180:1,8
х = 100
PQR = 100 градусов;
RQS = 0,8*100 = 80 градусов.

Проблема 2. Выяснить, как вычисления и построения помогают выдвинуть некоторую гипотезу?

а) Посмотрите на рисунок 2a и скопируйте его к себе в тетрадь.

Рисунок 2а

б) Постройте с помощью циркуля биссектрисы данных углов.

в) Выделите их другим цветом. (Рисунок 2b).

Рисунок 2б

А теперь давайте попробуем сформулировать гипотезу, предварительно повторив основные понятия по словарю из памятки.

Гипотеза. Если у смежных углов провести биссектрисы, то они будут образовывать прямой угол.

2) (180 – L) / 2;

3) L / 2 + (180 – L) / 2 = 90

(L + 180 – L) / 2 = 90

180 / 2 = 90

90 = 90

Проблема 3. Всегда ли выручает аналогия?

Задача. Один из смежных углов больше другого на 60 градусов или в 2 раза.

Проанализируйте задачу. Нет ли в ней лишних данных?

Рассмотрим задачу №4.

Дано: (ab) и (bc) – смежные,

(bc) : (ab) = 4 : 5

Найдите: (ab) и (bc).

Проанализируем краткую запись и сформулируем её устно. Даны два смежных угла. (bc)относится к (ab) как 4 к 5. Найдите эти углы.

Мы убедились, что не все задания можно решить по аналогии.

Я думаю, что параллельно мы с Вами доказали и формулу красивой задачи:

Красивая задача = непредсказуемость + непредполагаемость + неожиданность +удивительная простота + простота + фантазия + революционный шаг + удивление + оптимизм + труд +.

4. Итог урока

(Оценки выставляются по ходу урока).

Мы трудились при решении задач, если решали правильно, то появлялся оптимизм, при выдвижении гипотезы мы проявили фантазию, а при её доказательстве революционный шаг и это было для нас неожиданностью, и не предполагали, что доказательство будет удивительно простым.

Формула заканчивается многоточием, и это говорит о том, что мы её ещё сможем продолжить.

5. Домашнее задание

Задача №2 из карточки.

Дано: KLM и MLN – смежные,

KLM = 3MLN.

Найдите: KLM и MLN.

Источник

Углы. Смежные углы.

Какие углы называются смежными?

Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной

общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг

другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным

будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным

является угол (180 – x) градусов.

Два смежных угла — это углы, с одной общей стороной, а остальные стороны находятся на одной прямой.

При пересечении 2-х прямых получается 4-ре пары смежных углов:

Но, так как ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то достаточно рассматривать

только одну из этих пар.

Свойство смежных углов.

Чему равна сумма смежных углов?

Смежные углы равны: сумма смежных углов 180º.

Следствия из теоремы о смежных углах.

Тригонометрические соотношения.

противоположные знаки (исключение неопределенные значения).

Задание. Чему будет равна градусная мера угла α, когда градусная мера смежного ему угла = 70°?

Как найти смежный угол?

Решение. Из теоремы о смежных углах находим:

Источник

Что такое смежные углы в математике 6 класс

Угол – это геометрическая фигура ( рис.1 ), образованная двумя лучами OA и OB ( стороны угла ), исходящими из одной точки O ( вершина угла ).

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы — (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема: сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:
Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

Интересный факт

Связь математики с музыкой

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1 : 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Источник

Смежные углы и их свойства

Смежные углы и их свойства.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными и лежат на одной прямой.

Смежные углы (понятие и определение):

Рис. 1. Смежные углы

В свою очередь, развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180°.

Поэтому сумма величин смежных углов составляет 180 градусов.

Из этого следует, что величина угла β, являющимся смежным для угла величиной α градусов, будет (180° – α) градусов.

Свойства смежных углов:

1. Сумма величин смежных углов равна 180 градусам.

2. При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов.

Рис. 2. Смежные углы

Рис. 3. Смежные углы

4. В паре смежных углов один угол всегда тупой, а другой – острый либо оба угла являются прямыми.

5. Синусы смежных углов равны.

6. Косинусы и тангенсы смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки.

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Мировая экономика

Справочники

Востребованные технологии

Поиск технологий

О чём данный сайт?

Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.

Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.

Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!

Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.

О Второй индустриализации

Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.

Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.

Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.

Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.

Источник

Общие сведения

Основными элементами, используемыми в геометрии, являются лучи и углы. С их помощью образуется любая геометрическая фигура — квадрат, треугольник или любого вида многоугольник. Луч — это полупрямая, то есть часть линии, на которой точки располагаются по одной стороне от зафиксированной. По-другому можно сказать, что луч — это линия, ограниченная только с одной стороны. Обозначают его как прописными латинскими буквами, так и заглавными с названием точек. Во втором случае первой указывается начальная точка.

Два луча, выходящие из одной точки, образовывают угол. По сути, это незамкнутая геометрическая фигура. Она имеет вершину (общую точку) и стороны. Обозначают его с помощью трёх заглавных букв, соответствующих трём точкам — вершине и двум лежащим на разных сторонах лучах. Внутренняя часть формируется из множества точек, принадлежащих плоскости, ограниченной сторонами угла.

Существует шесть видов углов:

Располагаясь на плоскости, по отношению друг к другу углы могут быть смежными или вертикальными. Согласно определению, смежными углами называют такую пару, у которой одна сторона принадлежит обеим фигурам, а два других луча образуют прямую линию. Вертикальными же считаются углы, стороны которых дополняют друг друга до прямых линий. Они всегда градусно равны.

Из угла всегда можно провести линию, делящую его на две равные части. Такой луч, исходящий из вершины, называют биссектрисой. А это значит, что после его проведения образуется два равных смежных угла, обладающих одинаковыми свойствами.

Единицей измерения разворота фигуры является градусная мера. Если в нём содержится нецелое количество градусов, то используются минуты и секунды. Так, в одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте 60 секунд.

Основные факты

Вычисление элементов треугольников используется в географии, строительстве, астрономии, мореплавании и других науках и технике, например, кинематике, механике, оптике, при проведении гармонического анализа. Для успешного решения задач по теме нужно знать следующие факты:

Кроме этого, нужно учесть, что отличие смежных углов от вертикальных заключается в том, что сумма первых равняется 180 градусам, а вторые всегда равняются друг другу.

Иными словами, для пары углов смежным будет угловой элемент, равный у = (180 — x) градусам. Причём при пересечении двух лучей получается четыре смежные пары, из которых две будут вертикальными. Это основополагающие факты, на которых построена геометрия и тригонометрия. Зная их, можно переходить к изучению таких сложных наук, как, например, планиметрия и стереометрия.

Свойства и теорема

С теоремой о смежных углах знакомят на уроках геометрии в седьмом классе средней школы. Исходя из того, что такие фигуры имеют общую вершину и сторону, можно предположить, что сумма углов будет равняться 180 градусам. При этом каждый из них способен дополнить другой до развёрнутого. Равенство суммы 180 градусам и является основной теоремой.

На основании рассмотренной теоремы вытекают три свойства смежных углов:

А также существуют следствия или, как их ещё называют, тригонометрические соотношения. В их основе лежит то, что косинусы и тангенсы рассматриваемых фигур всегда будут равны по величине, но противоположны по знаку. При этом если необходимо построить угол, смежный с существующим, то нужно одну из сторон продлить за вершину.

Указанные свойства используются и при определении подобия треугольников. Например, согласно первому признаку, если два угла равностороннего или разностороннего треугольника совпадают с двумя углами другого, то они подобны. Случается, что по одну сторону от линии могут находиться несколько лучей, имеющих общую вершину. Изобразив такую ситуацию на чертеже, легко убедиться, что если все полученные углы сложить, то их сумма будет соответствовать значению двух прямых, а также из них всегда можно образовать смежную пару.

Этот свойство используется тогда, когда необходимо определить, чему равняется сумма углов вокруг конкретно взятой вершины. То есть продолжив одну из сторон за рассматриваемую вершину, можно получить две группы: первую — сумма которых равна двум прямым, и вторую — сумма которых также равна двум прямым углам. Отсюда следует, что сумма вокруг общей вершины будет равняться прямым углам.

Примеры решения задач

Решать задачи по заданной теме проще, если выполнять чертежи. С их помощью, а также зная свойства и теоремы, найти правильный ответ не составит особого труда. Существуют типовые задания, позволяющие закрепить пройденный материал и на практике применить полученные знания. Вот наиболее интересные из них с подобным решением:

Уметь правильно решать задачи важно, так как в дальнейшем эти знания помогают находить такие важные элементы, как площадь треугольника, зная только разворот и высоту произвольной фигуры, а далее уже легко будет вычислить и объём. Кроме этого, правила смежности часто используются в тригонометрии при нахождении синусов и косинусов.

Вычисление на онлайн-калькуляторе

Нахождение градусной меры смежных элементов обычно не вызывает проблем и относится к элементарным действиям при исследованиях различных треугольников, например, остроугольных или равнобедренных. Но при работе с нецелыми числами или в процессе обучения имеет смысл использовать так называемые онлайн-калькуляторы.

Это обычные интернет-сайты, содержащие встроенную программу для автоматических расчётов. Пользоваться ими сможет каждый, кто имеет компьютер или гаджет с установленным веб-обозревателем. Вся работа с сервисом сводится к загрузке его интернет-страницы и заполнения специальной формы, в которую вводятся исходные данные. Затем нажимается интерактивная кнопка и на дисплее появляется ответ.

Вычисление обычно занимает пару секунд, а появление ошибки исключено. Кроме этого, на сайтах, предлагающего такого рода услуги, содержится весь необходимый для расчётов теоретический материал. Поэтому даже слабо подготовленный по теме пользователь сможет понять, откуда и каким образом получился тот или иной ответ.

Из множества сервисов, существующих в русскоязычном сегменте всемирной сети, можно выделить следующие:

Эти сервисы доступны бесплатно, имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке.

При этом пользователям предлагается ознакомиться с развёрнутым решением, то есть указан поэтапный расчёт. Для удобства на страницах даётся не только необходимая теория, но и ряд типовых примеров с подробным описанием действий.

Следует отметить, что указанные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи. Особенно востребованными становятся такие вычисления в инженерии, связанные с тригонометрическими функциями. Ведь для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить онлайн-калькуляторы.

Источник