Что такое собственный вектор

Собственный вектор

Из Википедии — свободной энциклопедии

Понятия собственного вектора и собственного числа [3] являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Это связано с тем, что многие соотношения, связанные с линейными операторами, существенно упрощаются в системе координат, построенной на базисе из собственных векторов оператора. Множество собственных значений линейного оператора (спектр оператора) характеризует важные свойства оператора без привязки к какой-либо конкретной системе координат. По этим причинам собственные векторы имеют важное прикладное значение. Так, например, собственные векторы часто встречаются в механике, квантовой теории и так далее. В частности, оператор проекции спина на произвольную ось имеет два собственных и соответствующие им собственные векторы.

Понятие линейного векторного пространства не ограничивается «чисто геометрическими» векторами и обобщается на разнообразные множества объектов, таких как пространства функций (в которых действуют линейные дифференциальные и интегральные операторы). Для такого рода пространств и операторов говорят о собственных функциях операторов.

Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором, называется собственным подпространством [4] этого оператора.

Поиск оптимальных алгоритмов вычисления собственных значений для заданного линейного оператора является одной из важных задач вычислительной математики.

Источник

Собственные векторы и собственные значения

Содержание

Основные теоремы и определения [ править ]

Определения [ править ]

Определение:

[math]\lambda[/math] в равенстве [math]\mathcalx = \lambda x[/math] называется собственным числом (собственным значением) ЛО [math]\mathcal[/math]

Определение:

Спектром [math]\sigma[/math] ЛО называется множество всех его собственных значений
[math]\sigma (\mathcal) = \sigma _\mathcal = \< \lambda _i \>[/math]

Свойства [ править ]

[math]\sum\limits_^m \alpha^i x_i = 0 [/math]

[math]\lambda_m( \sum\limits_^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x[/math] (2)

[math]\Rightarrow [/math] все [math]\alpha_i = 0[/math] [math]\Rightarrow \sum\limits_^m \alpha_i x_i = 0_x[/math]

Читайте также: Что такое мягкий сыр

1) Если [math]x[/math] — св, то и [math] \alpha x[/math] — тоже св.

2) Если [math]x,y[/math] — св, то и [math]x+y[/math] — тоже св.

Из 1 и 2 [math]\Rightarrow[/math] что лемма доказана (по определению подпространства) [math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]L = [/math] линейная оболочка [math]\<[/math] все СВ [math] x_i \leftrightarrow \lambda_i \>[/math] называют собственным подпространством [math]X \leftrightarrow[/math] СЗ [math]\lambda_i[/math]

Сначала [math]\subseteq[/math] потом [math]\supseteq[/math] [math]\Rightarrow[/math] доказательство (так в конспекте);

Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению. [math]\triangleleft[/math]

(идет как упражнение)

Поиск СЗ и СВ [ править ]

Если [math]det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists [/math] нетривиальное решение [math]\Rightarrow \exists[/math] СВ [math]x[/math]

Источник

5.1.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Вектор Х называется Собственным вектором матрицы А, если найдется такое число L, что выполняется равенство: АХ = LХ, то есть результатом применения к Х линейного оператора, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число L. Само число L называется Собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (3) X’J = LXj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

Получим уравнение для определения собственных чисел L, называемое Характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

Поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-LЕ. Многочлен относительно L | A — LE| называется Характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

(см. (11.4)), но Следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и |A—LE| не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного оператора является Симметрической (т. е. АIj=Aji), то все корни характеристического уравнения (11.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов Х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения оператора А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение:

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению L. Из (5) следует, что если Х(1)=<X1,X2,X3> – собственный вектор, соответствующий L1=-2, то

Совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде Х(1)=(A,0,-A), где А – любое число. В частности, если потребовать, чтобы |X(1)|=1,

Источник

Лемма ((следствие из теоремы)):