Что такое соотношение между сторонами и углами треугольника

Существование фигуры

Пусть имеется три отрезка, и необходимо понять, возможно ли из них построить треугольник. Это можно сделать с помощью одного простого правила, которое можно сформулировать следующим образом: любая сторона треугольника всегда меньше суммы длин двух других.

Знание этого правила является очень важным и эффективным инструментом при решении задач. Например, из отрезков с условными длинами 1, 2 и 4 построить треугольник невозможно, а из 2, 3, 4 это сделать можно.

Помимо соотношения длин сторон существует также еще одна теорема, которая гласит, что во всяком треугольнике сумма его внутренних углов всегда равна 180 °. Благодаря знанию этой теоремы можно все рассматриваемые фигуры разделить на три типа:

Полноты ради следует сказать о вырожденных фигурах. К ним относятся такие многоугольники, у которых тупой стремится к 180 °. Несложно представить, что в этом случае два других будут обращаться в ноль, а сумма противолежащих им сторон окажется равной длине отрезка, расположенного напротив тупого угла. На плоскости вырожденный треугольник представляет отрезок, его площадь стремится к нулю.

Важные линии

Несмотря на всю простоту построения треугольника, при решении задач могут понадобиться дополнительные отрезки. Внутри фигуры существует целая гамма типов этих отрезков, наиболее важными из них являются следующие:

Для правильных, равнобедренных и прямоугольных треугольников некоторые из названных отрезков могут совпадать друг с другом, а также со сторонами фигуры. Например, в прямоугольном треугольнике две малые стороны (катеты) также являются высотами.

Соотношение отрезков и углов

Задачи на соотношение отрезков и угловых мер в рассматриваемой фигуре могут требовать либо качественный, либо количественный ответ. В первом случае следует провести определенное доказательство, опираясь на известные аксиомы и теоремы о сторонах треугольника и их следствия. Во втором же случае следует пользоваться формулами и выражениями, которые содержат тригонометрические функции. В действительности оба типа задач связаны между собой. Так, прежде чем использовать какую-либо формулу, следует доказать возможность ее применения в конкретной ситуации.

Большие и меньшие длины

Основная теорема о соотношении между элементами в рассматриваемом типе многоугольников гласит, что против большего угла лежит большая сторона. Ее доказательство провести несложно, если построить треугольник, например, тупоугольный. Из тупого провести отрезок к противоположной стороне таким образом, чтобы он образовывал новый равнобедренный треугольник внутри исходного. После этого следует воспользоваться тем свойством, что внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.

Следуя условию равенства углов в построенном равнобедренном треугольнике, легко показать, что против тупого всегда находится самый длинный отрезок.

Обратно эта теорема также справедлива, то есть против большей стороны треугольника лежит больший угол. Ее справедливость понятна каждому школьнику на интуитивном уровне, а доказательство заключается в переборе возможных трех вариантов соотношения между отрезками (больше, меньше, равно) и в привлечении уже доказанной теоремы.

Рассмотренные теоремы приводят к двум важным следствиям:

Рассмотренные теоремы и их следствия активно используются при изучении подобных фигур. Поскольку напротив равных углов двух треугольников лежат соответствующие им длины отрезков, то последние будут попарно относиться друг к другу с определенным коэффициентом подобия.

Теоремы косинусов и синусов

Количественной характеристикой соотношения сторон и углов являются знаменитые формулы, содержащие зависимость длин отрезков и угловых мер. Первая из них называется теоремой косинусов. Соответствующая формула имеет вид:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cos©.

Здесь величины a, b, c — это длины, C — угол напротив стороны c. Формула позволяет вычислить третью сторону по известным двум другим и углу между ними. Однако, возможности выражения шире, с его помощью можно посчитать всякий внутренний угол фигуры, если известны три ее стороны.

Следующая по счету, но не по важности теорема синусов. Ее математическое выражение записывается так:

a/sin (A) = b/sin (B) = c/sin©.

Эти равенства говорят о том, что отношение стороны к синусу противоположного ей угла является постоянной характеристикой конкретного треугольника. Зная связь двух углов и стороны или двух отрезков и одного угла можно рассчитать все остальные характеристики фигуры. Следует запомнить, что для любого рассматриваемого типа многоугольников однозначное вычисление всех его свойств требует знания минимум трех элементов (кроме трех углов).

Прямоугольный треугольник

Этот особый случай следует рассмотреть подробнее. Каждый школьник знает знаменитую теорему, позволяющую сравнить соответствие отрезков друг другу в этом типе фигуры. Она гласит, что сумма квадратов катетов соответствует квадрату гипотенузы, и называется пифагоровой теоремой, то есть можно записать:

Работать с прямоугольными треугольниками удобно по одной простой причине: через их геометрические параметры вводятся в математику тригонометрические функции. Последние легко использовать при вычислении сторон и углов фигуры. Например, если фигура является не только прямоугольной, но и равнобедренной, то ее катеты равны, а углы напротив них составляют по 45 °. При этом любой из катетов всегда в 2 0,5 раза меньше гипотенузы:

Это соотношение можно получить также из теоремы Пифагора.

Другая ситуация, когда один из острых углов равен 30 °. Для лежащего напротив него катета a можно записать следующее выражение:

Иными словами, лежащий против 30 ° катет составляет ровно половину длины гипотенузы.

Таким образом, в любом треугольнике существует прямая пропорциональность между длиной стороны и противолежащим ей углом. Для количественного решения задач по геометрии с этой фигурой следует пользоваться выражениями синусов, косинусов и теоремой Пифагора.

Источник

Теорема о соотношениях между углами и сторонами треугольника

Теорема о соотношениях между углами и сторонами
треугольника звучит так:

В треугольнике напротив большего угла лежит
большая сторона, и обратно, напротив большей
стороны лежит больший угол.

Доказательство теоремы

Эту теорему мы докажем, используя рисунок 1, где изображен
треугольник DFE.

1. Предположим, что в треугольнике DFE сторона FE ∠D.

Отложим на стороне DF отрезок FP = FE. В результате ∠1 = ∠2,
а сторона PF = FE, следовательно треугольник PFE — равнобедренный.

∠1 является частью ∠E, значит ∠1 ∠D. Так, как ∠1 и ∠2 равны, а ∠1
является частью ∠E, ∠2 > ∠D, значит ∠E > ∠D.

2. Допустим, что в треугольнике DFE ∠E > ∠D. Докажем,
что сторона FD > FE.

Предположим, что это не так. Тогда сторона FD = FE, или сторона FD ∠E — напротив большей стороны лежит больший угол.
Утверждение в первом и втором случае противоречит условию: ∠E > ∠D. Из этого
следует то, что наше предположение неверно, и, следовательно DF > FE, ∠E >∠D, ч.т.д.
Теорема доказана.

Следствия из доказанной теоремы

Из теоремы, которую мы сейчас доказали следует вот что:

Источник

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Вы будете перенаправлены на Автор24

Предварительные сведения

Вначале рассмотрим непосредственно понятие треугольника.

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Соотношение сторон и углов в треугольнике

Введем следующую теорему.

В произвольном треугольнике напротив его большей стороны всегда лежит его больший угол.

Из этого всего следует, что

Готовые работы на аналогичную тему

Эта теорема имеет обратную теорему. Сформулируем и докажем ее.

В произвольном треугольнике напротив его большего угла всегда лежит его большая сторона.

Из этих двух теорем можно вывести два следствия. Приведем их также в виде теорем и докажем.

Гипотенуза любого прямоугольного треугольника является большей стороной в этом треугольнике.

Так как прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла, то прямой угол будет в нем большим. Тогда, по теореме 2, напротив прямого угла и будет находиться большая сторона. Она и будет, по определению прямоугольного треугольника, являться гипотенузой.

Если в произвольном треугольнике будут два угла равны между собой, то такой треугольник будет равнобедренным.

Из теорем 1 и 2 будет очевидно, что стороны напротив равных углов будут также равными. Следовательно, по определению равнобедренного треугольника, такой треугольник будет являться равнобедренным.

Отметим, что последняя теорема также называется признаком равнобедренного треугольника.

Неравенство треугольника

Приведем и докажем теперь теорему, которую называют неравенством треугольника.

Сумма любых двух сторон в произвольном треугольника будет больше, чем его третья сторона.

Пример задачи

Для решения используем теорему 2.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 07 2021

Источник