Что такое соответствие в математике

СООТВЕТСТВИЕ

— понятие, распространяющее на случай двух, вообще говоря, различных множеств или однотипных математич. структур понятие бинарного отношения. С. широко используют в математике, а также в различных прикладных областях: теоретич. программировании, теории графов, теории систем, математич. лингвистике и т. д.
Соответствием между множествами Аи Вназ. любое подмножество Rдекартова произведения Другими словами, С. между Аи Всостоит из нек-рых упорядоченных пар ( а, b), где Как правило, С. обозначают тройкой (R, А, В )и, наряду с записью пишут также aRb или R (а, b). Иногда вместо лсоответствие

Смотреть что такое «СООТВЕТСТВИЕ» в других словарях:

соответствие — Соответствие … Словарь синонимов русского языка

Соответствие — СООТВЕТСТВИЕ, литературный прием, родственный символу, устанавливает внутреннюю связь между поэтически воспринимаемыми звуками, красками, линиями, формами, запахами, осязательными и другими ощущениями. Соответствие связано с первичным значением… … Литературная энциклопедия

Соответствие — СООТВЕТСТВИЕ, литературный прием, родственный символу, устанавливает внутреннюю связь между поэтически воспринимаемыми звуками, красками, линиями, формами, запахами, осязательными и другими ощущениями. Соответствие связано с первичным… … Словарь литературных терминов

СООТВЕТСТВИЕ — СООТВЕТСТВИЕ, соответствия, ср. Соотношение между чем нибудь, выражающее согласованность, равенство в чем нибудь или чему нибудь в каком нибудь отношении, гармонию. Соответствие исполнения заданию. У них полное соответствие интересов. Между его… … Толковый словарь Ушакова

соответствие — Соответствие, если это существительное достаточно гибко в сочетании с другими словами (можно сказать и соответствие с чем, и между чем и чем, и чему), то образованный с его помощью сложный предлог в соответствии (обратим внимание: он кончается на … Словарь ошибок русского языка

СООТВЕТСТВИЕ — СООТВЕТСТВИЕ, в геометрии свойство двух геометрических фигур, у которых углы, стороны и точки одной находятся в аналогичном отношении к углам, сторонам и точкам другой. В теории множеств говорят, что множества А и В находятся во взаимно… … Научно-технический энциклопедический словарь

СООТВЕТСТВИЕ — СООТВЕТСТВИЕ, я, ср. Соотношение между чем н., выражающее согласованность, равенство в каком н. отношении. Полное с. интересов. • В соответствии с чем, предл. с твор. соответственно чему н., в согласии с чем н. Поступать в соответствии с уставом … Толковый словарь Ожегова

СООТВЕТСТВИЕ — СООТВЕТСТВИЕ. Элемент одного языка, функционально соответствующий элементу другого в данном контексте. Различают постоянные С. и вариантные, или контекстуальные … Новый словарь методических терминов и понятий (теория и практика обучения языкам)

Соответствие — (матем.) см. Отображение … Экономико-математический словарь

соответствие — СООТВЕТСТВИЕ1, гармонизация, согласование, согласовывание, соразмерение СООБРАЗНОСТЬ, гармония, гармоничность, созвучность, сообразность, соразмерность, книжн. адекватность, устар. согласие, разг. ладность СООТВЕТСТВЕННЫЙ,… … Словарь-тезаурус синонимов русской речи

Источник

Соответствия между множествами

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем при условии, что скорость движения постоянна. Начальная частная школа помогает учащимся устанавить соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями, между числом, характеризующим площадь данной фигуры, и самой этой фигурой и т.п.

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, SXY.

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами X= и Y= можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: a Просмотров 82 940 Комментариев 2

Источник

Понятие соответствия между множествами

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. а) (17 – 1) : 4; б) (12 + 18) : (6-6); в) 2´7 + 6. Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество Nнатуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

N 1 N2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

2. Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либоперечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

Выясним особенности их графиков. Построим график соответствия S =

Источник

§8. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий

Пусть заданы два множества X и Y. Если для каждого элемента х Î Х указан элемент y Î Y, с которым сопоставляется х, то говорят, что между множествами X и Y установлено соответствие.

Иначе говоря, соответствием между элементами множеств X и Y называется любое подмножество G декартова произведения X ´ Y этих множеств. Если (х, у) Î G, то множество первых компонентов (D(G)) называется областью определения соответствия G, множество вторых компонентов (E(G)) –– областью значений этого соответствия.

Множество всех y Î Y, которые сопоставляются элементу х Î Х, называется образом х в Y. Множество же всех х Î Х, которым сопоставляют элемент y Î Y, называется прообразом y в Х.

Способы задания соответствия. Поскольку соответствие — это множество, то его можно задать теми же способами, что и любое множество: перечислением всех пар (х, у), где элементы х Î Х и y Î Y связаны данным соответствием; указанием характеристического свойства всех пар (х, у) элементов х Î Х, y Î Y, находящихся в рассматриваемом соответствии.

Когда множества X и Y конечные, то соответствие между элементами можно задать таблицей, где в левом столбце записывают элементы множества Х, а в верхней строке — элементы множества Y. Пары элементов, находящихся в соответствии G, будут находиться на пересечении соответствующих столбцов и строк.

Соответствие между двумя конечными множествами можно показать и при помощи графа. Множества X и Y показывают оваломи, элементы множеств X и Y обозначают точками, а стрелками соединяют соответствующие элементы так, что если имеет место (х, у) Î G, то стрелку проводят из точки х в точку у.

Когда множества Х и Y числовые, то можно построить график соответствия G на координатной плоскости.

Пример, график соответствия «меньше» между элементами множеств Х = <1, 3, 4, 6>и Y = <2, 5, 7>. Выпишем пары элементов, находящихся в данном соответствии: (1, 2), (1, 5), (1, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (6, 7). Если изобразить элементы множества Х на оси Ох, а элементы множества Y на оси Оу, а выписанные пары отметить точками на координатной плоскости, то получим график рассматриваемого соответствия между элементами множеств X и Y (рис. 13).

Источник

Что такое соответствие в математике

Пусть заданы множества А и В. Тогда Соответствием между А и В называется подмножество . О паре говорят, что B соответствует A при соответствии G. При этом Пр1G называется областью определения, а Пр2G – областью значений соответствия G. Таким образом, соответствие, обозначаемое G, представляет собой тройку множеств

Если Пр1G=А, то соответствие называется Всюду определенным, а если Пр2G=В – Сюръективным.

Рис.1.12. Геометрические представления (а) не всюду определенного и не сюръективного соответствия, (б) – всюду определенного, (в) – сюръективного, А=<A1,A2,A3,A4>, B=.

На рис. 1.12. представлены примеры соответствий. Множество всех BÎВ, соответствующих элементу АÎА, называется образом при соответствии G. Например, для рис. 1.12.а <B1,B2>Ì В является образом А2ÎА. Одновременно множество всех АÎА, которым соответствует BÎВ, называются прообразом B в А. Так, на рис. 1.12.б <A1,A2,A3>ÌA является прообразом B2ÎВ. Если С Í ПР1G, то образом С является объединение образов всех элементов С. Аналогично определяется прообраз множества D для любого DÍПр2G.

Соответствие называется Функциональным, если образом любого элемента из Пр1G является единственный элемент из Пр2G. Таким является соответствие, представленное на рис.1.12.в.

Если соответствие g=(A, B,G) одновременно всюду определено, сюръективно, функционально и прообразом любого элемента из Пр2G является единственный элемент из Пр1G, то оно называется Взаимно однозначным.

Для примера рассмотрим на плоскости круг (рис.1.13.)

. (1.53)

Рис.1.13. Пример соответствия, заданного кругом

Полагаем, что Х, уÎR и соответствие G зададим неравенством (1.53), тогда GÍRxR. Очевидно, что Х=3 соответствует единственное значение У=1, однако значению Х=2 соответствует УÎ[0;2]. Т. к. Пр1G=[1;3]ÌR, Пр2G=[0;2]ÌR, то соответствие не всюду определено и не сюръективно.

Если же А=[1;3], B=[0;2], то GÍ[1;3]x[0;2] и Пр1G=A, Пр2G=В и соответствие становится всюду определенным и сюръективным, но в связи с неединственностью образов для ХÎ(1;3) оно не является функциональным.

Если взять А=[1;3],B=[1;2], а в качестве G использовать только дугу окружности АВС, то каждому X будет соответствовать единственное значение Y и, очевидно, соответствие будет всюду определенным, сюръективным и функциональным, но не взаимно однозначным.

Для взаимной однозначности нужно взять A=[1;2], B=[1;2], а соответствие задать четвертью окружности АВ (или BC), для которой для каждого Y прообразом является единственное значение X.

В качестве другого примера можно рассмотреть англо-русский словарь, устанавливающий соответствие английских и русских слов. Такое соответствие не является функциональным (так как одному английскому слову соответствует в общем случае несколько русских), не полностью определено и не сюръективно (так как словарь содержит лишь часть действующих языков).

Пусть задано соответствие g=(A, B,G), GÍAxB. Если соответствие h=(B, A,H), HÍBxA таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие H (или Н) называется обратным к G (или G) и обозначается :

Геометрическая интерпретация прямого и обратного соответствий представлены на рис.1.14, откуда с очевидностью следует, что (g-1)-1=g.

Б

Рис.1.14. Геометрическое представление прямого (a) и обратного (б) соответствий

Рассмотрим теперь два соответствия:

Тогда каждому АÎПр1GÍA cоответствует некоторый образ из Пр2G, а каждому элементу из образа A соответствует образ C из Пр2HÍC.

Таким образом, каждому АÎПр1GÍA соответствует образ из Пр2HÍC и мы получим Композицию соответсвий

Графически иллюстрация композиции соответствий представлена на рис.1.15., для которых можем записать:

Рис.1.15. Геометрическое представление композиции соответствий

Очевидно, что композицию соответствий можно распространить и на произвольное число соответствий.

Функциональное соответствие между А и В называют функцией F и пишут:

Или более привычно

И называют аргументом, а – значением функции.

Полностью определенная функция F:А®В называется Отображением А в В. Образ А при отображении f обозначается F(A) для . Если соответствие при этом сюръективно, то говорят, что имеет место отображение А на В. Если, например, F(A) состоит из одного элемента, то F называется функцией-константой.

Функции f и g Равны, ели равны их области определения (пусть это множество DÍA) и для любых АÎD f(A)=g(A).

Называются N-местными функциями. Примером таких функций могут служить сложение и умножение действительных чисел на R. Это так называемые 2-х местные функции типа R2®R.

Еcли соответствие, обратное к функции F:A®B, является функциональным, то оно называется Функцией, обратной к F И обозначается .

Например, для соответствие F:X®Y, где F(X)=sinX, является взаимооднозначным, а, следовательно, существует обратное соответствие или обратная функция .

Как и для соответствий, для функций f:A®B, g:B®C можно ввести функцию H: A®C, которая называется Композицией F и G и обозначается , если имеет место равенство:

Пусть задана функция f:A®B, тогда она называется Инъективной, если для любых и из и следует, что или иначе:

Если для существует АÎА такой, что , то функция F:A®B называется Сюръективной, а если функция F одновременно сюръективна и инъективна, то она называется Биективной и задает Взаимно однозначное Соответствие между А и В.

Например, о функциях F:R®R можно сказать, что:

Функция f(x)=10x инъективна, но не сюръективна;

Функция f(x)=x3-x сюръективна, но не инъективна;

Функция f(x)=5х-1 биективна.

В соответствии с введенными определениями можем утверждать, что отображение имеет обратное отображение тогда и только тогда, когда F – биективно. Очевидно, что это же справедливо для функций. Заметим также, что композиция двух биективных функций есть биективная функция.

Отображение eA:A®A называется Тождественным отображением множества А в себя, если для любого АÎА eA(A)=A.

Можно для инъективных функций отметить свойства:

А для биективных функций:

.

В более широком смысле Отображением Называют соответствие (X, Y, Г), Г Í X x Y, являющееся всюду определенным, т. е. Пр1Г=Х. В этом случае каждому хÎХ отображение Г ставит в соответствие некоторое подмножество Y, т. е.:

Очевидны простейшие свойства отображений:

A) если то:

Б) если то: .

Поскольку отображение является частным случаем соответствия, то для отображения имеют место введенные для соответствий понятия обратного отображения и композиции отображений.

Рассмотрим подробнее отображения и их свойства. Графическая интерпретация отображения Представлена на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Иллюстрация отображения

Пример 1.4. Пусть множества натуральных чисел. Каждому поставим в соответствие число Тогда: , и т. д. Очевидно, что соответствие, заданная подобным образом, является отображением где или иногда пишут

Если рассмотреть отображение то Образом, Или Изображением Множества Является множество

Которое изображено на рисунке 1.17.

Рис. 1.17. Иллюстрация образа

Для примера 1.4. образом множества Является множество

Композиция двух отображений и это отображение обозначаемое ○ или иначе Иллюстрация композиции представлена на рис. 1.18.

Рис. 1.18.Иллюстрация композиции отображений

Из определения отображения очевидно, что поскольку должно быть: где И .

Пример 1.5. Пусть Множество людей, <январь, февраль,…>— множество месяцев года, Рассмотрим отображение, в котором ассоциируем каждого человека из с месяцем, в котором он родился и отображение , в котором каждому месяцу ставим в соответствие его номер от 1 до 12.

Тогда:

.

Точно так же можно получить композицию нескольких отображений. Можно только заметить, что в общем случае:

Отметим некоторые свойства отображений. Отображения и равны тогда и только тогда, когда каждый имеет один и тот же образ для обоих отображений, т. е.

Отображение Является инъекцией тогда и только тогда, когда двум разным элементам из Соответствуют разные элементы из , т. е.

Инъекция

Инъекция

Из последнего с очевидностью следует, что для инъективных отображений Справедливо (если И — конечные):

Пример 1.6. Пусть а отображение задано формулой . Такое отображение является инъекцией (см. рис. 1.19.)

Рис. 1.19. Иллюстрация примера 1.6

Можно отметить, что композиция иньекций И есть инъекция. Действительно:

А отсюда следует, что

Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда для каждого Существует хоть один элемент Такой, что Т. е.

Сюръекция

Сюръекция

Если И -конечные множества, то

Сюръекция

Пример 1.7. а отображение Определяется операция Взятие целой части действительного числа Тогда является сюръекцией, причем каждому соответствует бесконечное множество Например и т. д.

Заметим, что композиция сюръекций есть сюръекция. Действительно для сюръективных отображений и имеем:

и

Сюръекция.

Отображение называется биективным, если оно иньективно и сюръективно, т. е. взаимно однозначно (рис. 1.20). В этом случае видно, что для конечных множеств И

Рис. 1.20. Иллюстрация биективного отображения

Композиция двух биекций есть биекция. Это следует с очевидностью из предыдущих утверждений о композициях иньекций и сюръекций.

Обратное отображение для отображения определим следующим образом. Отображение такое что причем каждая пара , т. е.:

Вывод. Если — обратное отображение, то Является биекцией.

Пример 1.8. Отображение , задано функцией обратным отображением есть и

Композиция прямого и обратного отображений, является с очевидностью инвариантным (тождественным) отображением, т. е.

Тождественное отображение Это отображение, для которого справедливо Из этого следует

Пример 1.9. Пусть Моноид, т. е. множество всех подмножеств множества Е. Отображение Определим для любого множества Как взятие дополнения

Но тогда для обратного отображения получим

Частным, но достаточно важным случаем отображения, является случай совпадения X и Y, т. е. отображения Г:Х®Х. При этом отображение Х самого в себя определяется парой (Х, Г), где ГÍХ2. Изучением таких отображений занимается, например, теория графов.

Примером графа может служить генеалогическое дерево (рис. 1.16), указывающее связь поколений. В этом графе точки – это люди, а стрелки указывают на «родительство».

Использование композиции отображений Г и Г позволяет записать и, если для графа на рис. 1.21. ГХ – множество детей, то Г2Х – множество внуков .

Рис.1.21. Генеалогическое дерево, представленное графом

В общем случае для любого

А введя по определению

Можем для отрицательных k ввести соотношение

Которое следует из (1.54) и (1.55)

Где Г-1 представляет собой обратное отображение. На графе рис. 1.14 Г-1Х – родители элемента Х, Г-2Х – прародители

Для обозначения некоторых специальных видов отображений, заданных на одном и том же множестве или на разных, применяют также термин «отношение», которые мы рассмотрим в следующем разделе. Рассматривая отображение F:X®Y как функцию, мы не накладывали на множество Х каких либо ограничений. Однако чаще всего мы работаем с функциями действительных переменных – одно или многоместными, которые производят отображения R®R или Rn®R.

Вместе с тем, в задачах управления системами многочисленны случаи, когда из всех видов управления (читай «из определенного класса функций времени») требуется выбрать то, которое доставит некоторому показателю качества управления наилучшее (оптимальное) значение. Таким образом, множество Х в этом случае есть некоторое множество (класс) функций, а Y –множество действительных чисел.

Тогда можем записать отображение

Где M(f(t)) – множество действительных функций некоторого класса (кусочно-непрерывные, непрерывные, гладкие и т. п.). Такое отображение называется Функционалом, который записывается как J=J[f(t)]. Примерами функционалов могут служить следующие выражения:

1. , где yÎM1- множество интегрируемых на функций;

2. , где yÎM2 – множество дифференцируемых на функций.

Действительно для У1=sinX и Y2=-X3 получим:

Еще одним специфическим отображением является Оператор. Оператором L называется отображение

В котором X и Y являются множествами функций с элементами X(t) и Y(t), так что элементами множества L являются пары (X(t),y(t)). Говорят, что оператор L преобразует функцию X(t) в функцию

Представителем операторов является оператор дифференцирования , который можно записать, например, .

В задачах управления роль оператора часто выполняет сама управляемая система (рис.1.22), преобразующая по некоторому закону L входной сигнал Х(t).

Источник